辅助角公式辅助角公式
辅助角公式
目录
综述
辅助角公式的应用
特殊的辅助角公式
应用辅助角公式的函数特征
综述
辅助角公式的应用
特殊的辅助角公式
应用辅助角公式的函数特征
展开
编辑本段综述
对于acosx+bsinx型函数,我们可以如此变形
acosx+bsinx=?(a^2+b^2)(acosx/?(a^2+b^2)+bsinx/?(a^2+b^2)),令
点(b,a)为某一角φ终边上的点,则
sinφ=a/?(a^2+b^2),cosφ=b/?(a^2+b^2)
?acosx+bsinx=?(...
辅助角公式
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辅助角公式的应用
特殊的辅助角公式
应用辅助角公式的
特征
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特殊的辅助角公式
应用辅助角公式的函数特征
展开
编辑本段综述
对于acosx+bsinx型函数,我们可以如此变形
acosx+bsinx=?(a^2+b^2)(acosx/?(a^2+b^2)+bsinx/?(a^2+b^2)),令
点(b,a)为某一角φ终边上的点,则
sinφ=a/?(a^2+b^2),cosφ=b/?(a^2+b^2)
?acosx+bsinx=?(a^2+b^2)sin(x+arctan(a/b))
这就是辅助角公式(
设要证明的公式为acosA+bsinA=?(a^2+b^2)sin(A+M) (tanM=a/b) 证明过程
设acosA+bsinA=xsin(A+M)
?acosA+bsinA=x((a/x)cosA+(b/x)sinA)
由题,(a/x)^2+(b/x)^2=1,sinM=a/x,cosM=b/x
?x=?(a^2+b^2)
?acosA+bsinA=?(a^2+b^2)sin(A+M) ,tanM=sinM/cosM=a/b
编辑本段辅助角公式的应用
例1 求sinθ/(2cosθ+?5)的最大值
设sinθ/(2cosθ+?5)=k 则sinθ-2kcosθ=?5k
??[1+(-2k)^2]sin(θ+α)=?5k
平方得k^2=sin^2(θ+α)/[5-4sin^2(θ+α)]
令t=sin^2(θ+α) t?[0,1]
则k^2=t/(5-4t)=1/(5/t-4)
当t=1时 有kmax=1
辅助角公式可以解决一些sin与cos角之间的转化 编辑本段特殊的辅助角公式
利用sin30=(1/2),cos30=(?3/2),sin60=(?3/2),cos60=(1/2),
sin45=(?2/2),cos 45=(?2/2)等进行计算。
如 求sinx+cosx的最大值和最小值
sinx+cosx=?2×sin(x+45)
当 x=45 +360k(k为整数)时 sinx+cosx 最大为?2
当 x=225+360k(k为整数)时 sinx+cosx 最小为-?2 编辑本段应用辅助角公式的函数特征
f(A)asinA+bsinA=?a^2+b^2(asinA/?a^2+b^2+bcosA/?a^2+b^2)
=?a^2+b^2(cosMsinA+sinMcosA)
=(?a^2+b^2)sin(A+M)
f(A)max=?a^2+b^2
f(A)min=-?a^2+b^2
其中cosM=a/?a^2+b^2
sinM=b/?a^2+b^2
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