笔算开立方

笔算开立方 3一天，我遇到了一道需要用到的近似值的物理题。我没带计算器10 或《中学数学用》，只好逐个计算一些数的立方，并与10比较，好不容易才把小数点后第二位数字确定下来。这促使我寻求笔算开立方的方法。 笔算开平方的方法我是掌握的。我想笔算开立方的方法应该与它有些关联，不妨先把笔算开平方的主要步骤回忆一下: 1(将被开方数的整数部分从个位起向左每两位分为一组; 2(根据最左边一组，求得平方根的最高位数; 3(用第一组数减去平方根最高位数的平方，在其差右边写上第二 组数; 4(用求得的最高位数的20倍试除上述余数，得出试商。再用最 高位数的20倍与试商的和乘以试商，若所得的积不大于余数， 试商就是平方根的第二位数，若大于，就减小试商再试。 5(用同样方法继续进行下去。 类似地，若要写出笔算开立方的法则，显然第1步中的“两”应改为“三”，第2、3步中的“平”应改为“立”，而第5步不变化。关键是第4步如何进行。 222当天晚上，我想到完全平方公式是(a+b)=a+2ab+b，完全立方公式是 33223(a+b)=a+3ab+3ab+b。于是我猜想“20倍”应该与“2ab”有关。我先后想出了几种可能的方法，经检验，都是行不通的。那么我有必要分析笔算开平方的本质。 2222以两位数为例，= (10a+b)=100a+20ab+b。这里a代表平方根abab 2的最高位数，b代表试商。事实上，100a已在第3步里被减去了。那么剩 2下的就是20ab+b，即(20a+b)?b，也就是“求得的最高位数的20倍与试 2商的和再乘以试商”。这样，如果被开方数是(10a+b)，那么最后所得的余 2数恰好为零;如果被开方数比(10a+b)大，就把10a+b看作a继续进行下去。同样的道理，这个法则对多位数、一位数和小数也适用。 332233类似地，(10a+b)=1000a+300ab+30ab+b，其中1000a在开立方法则第3 步里被减去了。那么我就应该把求得的最高位数的平方的300倍与试商的积，求得的最高位数的30倍与试商的平方的积和试商的立方写在竖式的左边，用第3 步所得余数减去它们的和。举几个简单的例子验证一下: 222(300=1×300×1 (600=1×300×2 (1200=2×300×1) 222 30=1×30×1 120=1×30×2 60=2×30×1 333 1=1) 8=2) 1=1) 3为了进一步验证这种方法的正确性,我求出了的近似值,并与计算10 器的结果进行比照: (为了书写简便,我把10.000……后面的“0”省略了。) 用这种方法算出10的立方根约等于2.1544，而计算器的结果是2.1544347，这说明求出的结果是正确的。 现将笔算开立方的方法总结如下: 1(将被开立方数的整数部分从个位起向左每三位分为一组; 2(根据最左边一组，求得立方根的最高位数; 3(用第一组数减去立方根最高位数的立方，在其右边写上第二组 数; 4(用求得的最高位数的平方的300倍试除上述余数，得出试商; 并把求得的最高位数的平方的300倍与试商的积、求得的最高 位数的30倍与试商的平方的积和试商的立方写在竖式左边， 观察其和是否大于余数，若大于，就减小试商再试，若不大于， 试商就是立方根的第二位数; 5(用同样方法继续进行下去。 这种方法肯定早就有人发明了。其运算量相当大，实用价值也不高。但我毕竟是独立地发现了它。虽然欣喜无法与发现新大陆相比，但这至少使我体验到在数学世界中探索的快乐。 此后不久，我居然发现这种方法在期中考试中发挥了作用?? 期中考试物理试卷中有这样一道题:“神舟”三号飞船的运行周期约是91分钟～地球半径约是6370?～求飞船的轨道高度,以km为单位～保留两个有效数字,。 这道题并不难。根据所学知识，我很快就列出方程，并求出了结果的 3表达式。经过近似计算和约分、化简，结果大约是(1000-6370)?。300 3我想大多数同学能够算到这里，而对于就束手无策了。 300 但它难不倒我。我运用了笔算开立方的方法。由于法则是自己总结的， 3所以记得很牢，用起来也得心应手。很快，我求出?6.7，最终结果300 2约是3.3×10?。严格地说，这个答案是不可靠的。要保证最终结果的第 3二个有效数字准确，应该把计算到百分位。但因时间有限，且300这300 个数本身就是不准确的，我只好这样写。后来我看到答案，知道我的结果是正确的。 我感到高兴，因为我自己发现并总结出的规律在考试中得到应用。我觉得这种笔算开立方的方法不能为大家所知似乎是个遗憾。但它的应用似乎仅限于这类由周期求轨道半径的物理题，除此之外，别的意义很是寥寥。换言之，这种方法仅是雕虫小技而已。然而探索的过程使我体会到初步的数学研究方法，或许将有更大的意义??因为“对真理的探求比对真理的占有更为可贵”。 在没有计算器也没有任何资料的情况下，需要笔算开方怎么算呢,下面就简单地介绍一下: 第一步:先分节。把被开方数分节，从小数点向两边分，每两位数一节。(从个位起向左每隔两位为一节，若带有小数，，从小数点起向右每隔两位一节)用“，”号将各节分开;如625分节为6’25，5625分节为56’25，11278分为1’12’78，等等，一个数可分为几节，开方后就有几位。由于有小数点与无小数点的笔算方法是一样的，所以下面就以整数开方为例来说明。 第二步:在被开方数的上方画一个根号，就开始算了，比如9’61这 个数，上面打上根号，先看第一节9，3×3=9所以在根号上与9对齐的位置“商”3，3×3=9把9写在下面减去，就像除法那样在961下面减。减完后还余下61,为了明白这里的原理，你可以借助于图形去理解，你画一个正方形，边长是两位数，十位是3，个位暂时还不知道,3×3=9 减去就是在左下角挖去一个900的正方形，还余下61就是挖去后剩下的像“7”字形的面积。也可以看作是由两个全等的长方形与一个小正方形组成的.再不明白你就想一想(30+?)的平方展开式中的后两项. 第三步:把“商”3乘以20，3×20=60 考虑(60+?)×?=61 61×1=61 好了,在根号上方与第二节对齐处写1, 61×1=61 从下面减去得0,这样就完了,961开方是31. 那么,这一步的原理又是什么呢?你再观看图形，注意左下角挖去一个900的正方形后还剩下的像“7”字形的面积,把它掰直成”1”字形的长方形,再看这个长方形的长是(2×30+?),也就是(3×20+?),宽是?,它的面积是61，那么不就是考虑(60+?)×?=61吗. 再以625开方来练习一下,先分节为6’25,打上根号,先看第一节6,由于3平方不够,只能在第一节上面“商”2,2平方是4,像做除法那样在下面减4,余下225,2×20=40.考虑 (40+?)×?=225 (40+5)×5=225 好，在第二节上面“商”5，下面减 225得0，完了，625开方是25。 再看一个分节后是三位的，15129分节为 1’51’29 打上根号，第一节“商”1，1的平方是1，(注意这可是100的平方是10000)下面像做除法那样的减去1，余下的拉下来是51’29，看第二节51，1×20=20考虑(20+,)×,接近51但不大于51， (20+2)×2最接近，第二节上面“商”2，再像做除法那样减44，在与51对齐的下面减44，(注意这又相当于减去了4400)还余下729，再看第三节，用根号上的“商”12乘20得240，考虑(240+,)×,接近729但不大于729，(240+3)×3=729再像做除法那样在下面减729得0，完了，15129开方得123。 你可以画一个边长为123的正方形，面积是15129，左下角先挖去一个10000的正方形，余下的是5129，再挖去一个“7”字形的面积4400，又余下一个“7”字形面积为729，分析图形就更明白了。 总结归纳: 一、 先分节，打根号。有点像除法竖式，都要“层层扒皮”。 二、 把眼盯在第一节上，如果第一节是1，4，9，16，25，36，49，64，81这样的完全平方数，就在第一节上方“商”1，2，3，„9，如果不是这样的数，比如是57，因为57比49大而比64小，所以你只能 “商”7，不能“商”8，因为8就不够了。这一步是确定被开方数开方后的首位数。 三、 被开方数开方后的首位数确定后，要从被开方数中减去这个首位数的平方，注意一定要在第一节下面减。 四、 把眼转向余数，用第一节所得的“商”乘20后的积估算开方结果的第二位数，方法是看乘20后的积加“多少”后再乘“多少”接近余数，就在第二节上“商”“多少”，(上面的“多少”都同是一个一位数) 五、 重复第四步的过程，逐节计算。 至于在“商”第二节以及以后各节时为什么老是要用前面的“商”乘20呢,实际上是乘2再乘10，从图形上看前面提到的“7”字形可以认为是由“两”个全等的长方形与一个小正方形组成的，这里两个的“两”就是乘2的原因。再乘10是由“商”的位置决定的。合在一起就是乘20，前面提到的那个“多少”则是小正方形的边长，也就是那次“扒的那层皮的厚度”，“7”字形的展开长度是:“商”乘20后的积加“多少”，宽是:“扒的那层皮的厚度”长乘宽就是“7”字形的面积了。