各向同性谐振子径向矩阵元的通项表达式

各向同性谐振子径向矩阵元的通项达式 侯春风 孙秀冬 周忠祥 李 焱 ( )哈尔滨工业大学物理系 ,哈尔滨 150001 ( )1998 年 7 月 14 日收到 p 推导出三维各向同性谐振子径向矩阵元〈 nl | r| n′l〉′和二维各向同性谐振子径向矩阵 qρ元〈 n m | | nm′〉′的通项表达式 . PACC : 0365 1 引 言 各向同性谐振子势是量子力学中为数不多的能够精确求解的问题之一 . 它在原子核 1 壳模型中得到了广泛的应用 ,在原子核结构研究中占有重要地位 . 在处理实际问题的 过程中经常要计算谐振子的径向矩阵元. 本文利用广义拉盖尔函数的一个积分 ,推导 出三维各向同性谐振子径向矩阵元和二维各向同性谐振子径向矩阵元的通项表达式 . 2 三维各向同性谐振子径向矩阵元的通项表达式 (ω ) 三维各向同性谐振子的径向方程 采用自然单位 M = = = 1为 h 2 ( )d 2 d l l + 1 2 Sh an g( ) +2 E -r - ( ) + ( ) R r= 0 . 1nl 2 2 r d r rd r [ 2 , 3 ] 其能量本征值及相应的归一化径向波函数可表示为 E = 2 n + l + 3/ 2 , l 2 2 ( )2 ( ) ( ) ( ) R r= N rexp - r/ 2F - n , l + 3/ 2 , r, nl nl 其中 l +2 - n 1/ 2 ( ) 2 2 n + 2 l + 1! ! r 80 N ( )3 = , nl2π ( ) n ! 2 l + 1! ! n , l = 0 , 1 , 2 , ?; 且 2 n + l = 0 , 1 , 2 , ?, αα(α )α(α ) (α ) + 1+ 1+ 2(αγ) ( )4 ? + F ,, z = 1 +z+ + γ γ(γ ) γ(γ ) (γ ) 1 !2 !+ 13 !+ 1+ 2 为合流超几何函数. 根据文献 [ 4 ]可知 , 合流超几何函数与广义拉盖尔函数有如下关系 : Γ(μ ) n !+ 1μ ( μ ) ( ) ( ) F - n ,+ 1 , z =5 Lz ,n Γ( μ ) n + + 1 μ ( ) ( ) ( ) μ 其中 为不等于负整数的任意实数 ,Lz 为广义拉盖尔函数 . 把 5式代入 2式 , 可把n 三维各向同性谐振子径向波函数重新表为 Γ( ) n !l + 3/ 22 l +1/ 2 2 l ( ) ( )( ) ( ) R r=6 N r exp -r / 2L r . nl n nl Γ( ) n + l + 3/ 2 三维各向同性谐振子径向矩阵元为 p 〈 nl rnl′〉′ | | ? 2 p ( ) ( ) = R rr R rr d rnl nl′′? 0 2? Γ( ) Γ( ) n !l + 3/ 2 n!′l′+ 3/ 2 - r l +1/ 2 2 l+′1/ 2 2 2 l + l+′ p ( ) ( ) = N N r e L r L r r d r nl nl′′n n′ Γ( ) Γ( )? n + l + 3/ 2n′+ l+′ 3/ 20 N N Γ( ) Γ( ) nl n′l′ n !l + 3/ 2 n!′l′+ 3/ 2 = Γ( ) Γ( )n + l + 3/ 2n+′ l′+ 3/ 2 2 2 ? ( ) l + l+′ p +1/ 2 - r 2 l +1/ 2 2 2 2 l+′1/ 2 ( )( ) ( ) ( ) ( )×r e L r L r d r 7 . n n′ ? 0 [ 4 ] 广义拉盖尔函数满足如下积分公式: ? λ μλ μλ - ′ + k - λ μμ - z ′ n + n′ ( ) ( ) ( ) Γ(λ ))( z e L z L z d z , 8a = - 1+ 1n u′6 ? 0k 0 99 k , n′- k n - 9k ? Γ(μ ) + n + 1μ μ μ - z ( )( ) ( ) δ8b e L z L z d z= z , n n′n n′? n ! 0 (λ) ( ( ) ) 其中 Re > - 1 , 以保证积分收敛. 把 8a式代入 7式 , 得 p 〈 nl nl′〉′r|| n + n′ ( ) 1N N -Γ( ) Γ( ) l + l′+ p + 3 nl n′l′ n !l + 3/ 2 n!′l′+ 3/ 2 Γ to hi C = Γ( ) Γ( )n + l + 3/ 2n′+ l′+ 3/ 2 2 2 ( ( ) ( ) ) l′+ l + p - l′/ 2 l + l+ ′ p + 2 k + 1/ 2 p - l / 2 )(× 院高究所 j9 e.s 6 k n′- k n - k k ( ) ( ) (λ) 9式即为三维各向同性谐振子径向矩阵元的通项表达式 , 由于 8a式 Re > - 1 , ( )所以对于任何 p > - 3 , 都 可 利 用 9 式 求 出 三 维 各 向 同 性 谐 振 子 的 任 意 径 向 矩 阵 元 tip 〈 nl | r| nl′〉′. 3 二维各向同性谐振子径向矩阵元的通项表达式 ( ω ) 二维各向同性谐振子的径向方程 采用自然单位 M = = = 1为 h 2 2 d 1 d m 2 ( ρ ) Ch + e A -( )+ 2 E - (ρ) 10 R = 0 . 2 2 n m ρρ d ρρd 387 3 期 侯春风等 :各向同性谐振子径向矩阵元的通项表达式 | m | 2 2 (ρ) ( ρ) ( ρ) ρR , exp - / 2F - n ,m + 1 ,, n m | | | m | ρ(ρ)其中 n = 0 , 1 , 2 , ?, m = 0 , ?1 , ?2 , ?, 且 2 n + | m | = 0 , 1 , 2 , ?. 设 R = N n mnm ? 2 2 2( ( ρ) ( ρ) (ρ) ρρ ) ×exp - / 2F - n , | m | + 1 ,, 由 归 一 化 条 件 [ R ]d= 1 , 以 及 5 和n m ? 0 ( ) 8b式 , 可求得归一化因子为 1/ 2 ( ) 2 n +m !| | ) ( )11 N = . n m2() n ! m ! | | 由此可知二维各向同性谐振子的归一化径向波函数为 1/ 2 ( ) 2 n +m !| | 2 | m | 2 ρ) ( )(ρ) ρ( ρ) ( m + 1 ,. 12 R = exp - / 2F - n ,n m | | 2() n ! m ! | | 二维各向同性谐振子径向矩阵元为 qρ〈 n m nm′〉′ | | ? q (ρ)ρ (ρ)ρρ= R R dn m nm′′? 0 ? 2 | m | +| m|′ + q- ρ2 2 ρ( ρ ) ( ρ )ρρN N n,′e F - n ,m + 1 ,F -m′+ 1 ,d= n m n′m′| | | | ? 0 Γ() () Γn !m + 1 n′m′+ 1N N n m nm′′| | | | = 2 Γ( ) Γ( )n +m + 1n′+m′+ 1| | | | ? 2 ( ) ρ| m | +| m|′ + q/ 2 - | m | 2 2 | m|′ 2 2 (ρ ) (ρ ) (ρ ) (ρ ) ×e L L d . n n′ ? 0 ( ) 把 8a式代入上式 , 即得 qρ〈 n m nm′〉′ | | n + n′ Γ() () Γ( ) n !m + 1 n′m′+ 1- 1N N n m n′m′| | | | m +m′+ q + 2| | | | Γ = l 2 Γ( ) Γ( )n +m + 1n′+m′+ 12 | | | | ((() ) ) m′- m + q/ 2m - m′+ q/ 2m +m′+ q + 2 k/ 2| | | | | | | | | | | | . × , 由 + 6 k k n - k n′- k 此式即为二维各向同性谐振子径向矩阵元的通项表达式 . 利用该式可以算出任何 q > - 2 qρ时二维各向同性谐振子任意径向矩阵元〈 n m | | n′m〉′. ( ) 1 M . G. Mayer ,J . H. D. J ensen , Elementary Theo ry of Nuclear Shell St ruct ure Wiley ,New Yo r k ,1955. ( ) P. Goldhammer , Rev . M od . Phys . , 35 1963,40 . 2 ( ) () Zeng J in2yan ,Quant um Mechanics Vol . I ,2nd ed. Science Press ,Beijing ,1997,Ch . 6 in Chinese. 3 ( ) ( Wang Zhu2xi , Guo Dun2ren , An Int ro ductio n to Special Functio ns Science Press ,Beijing , 1965 , pp . 361 —365 in 4 ) Chinese. GENERAL FO RM UL AS FO R RAD IAL MATRIX EL EM ENTS OF ISOTROPIC HA RMO NIC OSCILL ATO RS HOU CHUN2F EN G SUN XIU2DON G ZHOU ZHON G2XIAN G L I YAN ( )Depart ment of Physics , Harbi n I nst it ute of Tech nology , Harbi n 150001 ( )Received 14 J uly 1998 ABS TRAC T pqρThe general for mulas for radial mat rix element s〈 nl| r| nl′〉′and〈 n m | | nm′〉′of t hree2di2 mensio nal and t wo2dimensio nal isot ropic har mo nic oscillators are derived. PACC : 0365