百色高中文科数学高考重点内容阐述(知识点及例题说明)

2009级文科数学高考重量级考点汇编 高考数学全卷150分，共22题（1-12题属选择题，13-16题属填空题，17-22题属解答题）难度一般在0.4左右。知识分布5本教科书，考试大纲的考试要求66点，132考点，核心或者高频考点40个。在时间有限的情况下，我们应在全面掌握考点的前提下，把握核心考点，赢取高考。这份资料的主要是以典型例题来展示和阐述高考核心考点，通过例题举一反三，扎实的掌握知识点，以达到高效的复习效果。 第一部分：三角与三角函数、三角与向量结合 这部分内容在高考考试中分有三种形式，一般有三角公式中的三角和差公式考察形式、有三角公式与三角函数结合和有三角形与三角函数结合。考试中这些题目一般分布在第17、18题，属容易题。 类型一：三角和差公式的考察 例1：（04年天津卷17题）已知 ﹒ （Ⅰ）求 的值；（参考： ） （Ⅱ）求 的值﹒（参考答案： ） 考查内容：两角和与差的正切，倍角公式，关于角 的齐次转化﹒ 例2：（2005年全国Ⅱ文17题）已知 为第二象限的角， ； 为第一象限的角， ，求 的值﹒（参考答案： ） 考查内容：已知三角函数值求值的问题，两角和与差的三角函数公式，关键是关注角之间的联系﹒ 类型二：纯三角函数图像与性质（和差角的正余弦公式、辅助角公式在此类型问题中使用频率非常高） 例3：（2008年北京15题）已知函数 的最小正周期为 （Ⅰ）求 的值；（参考答案： ） （Ⅱ）求函数 在区间 上的取值范围﹒（参考答案： ） 考查内容：三角和差公式、辅助角公式的灵活运用，考查三角函数求值域的问题 例4：（07年湖南文16题）已知函数 ﹒求： （Ⅰ）函数 的最小正周期；（参考答案： ） （Ⅱ）函数 的单调区间﹒（参考答案： 为增区间，……） 考查内容：倍角公式、和差角的正余弦，三角函数的性质——周期、单调性 例5：（07年辽宁理17题）已知函数 ， （其中 ） （Ⅰ）求函数 的值域；（参考答案： ） （Ⅱ）若对于任意的 ，函数 ， 的图像与直线 有且仅有两个不同的交点，试确定 的值（不必证明），并求函数 的单调增区间﹒（参考答案： ） 类型三：在斜三角形中考查三角函数问题（全国卷重点题型） 例6：（07年全国Ⅰ17题）设锐角三角形 的内角 的对边分别为 ， ﹒ （Ⅰ）求角 的大小；（参考答案： ） （Ⅱ）（理）求 的取值范围﹒（参考答案： ） （文）若 ，求 ﹒（参考答案： ） 考查内容：正余弦公式的边角互化，三角函数值域的求法 例7：（09年四川17题）在△ 中， 为锐角，内角 的对边分别为 ，且 ﹒ （Ⅰ）求 的值；（参考答案： ） （Ⅱ）若 ，求 的值﹒（参考答案： ） 考查内容：两角和与差的正余弦，正余弦定理的边角互化 例8：（2011年山东17题） 在△ 中，内角 的对边分别为 ，已知 ﹒ （Ⅰ）求 的值；（参考答案：2） （Ⅱ）若 ，△ 的周长为5，求 的长﹒（参考答案：2） 考查内容：正余弦定理的应用——边角互化 例9：（2011年全国18题） 在△ 中，内角 的对边分别为 ， ﹒ （Ⅰ）求 ；（参考答案： ） （Ⅱ）若 ，求 ﹒（参考答案： ） 考查内容：正余弦定理的边角互化，两角和与差的正弦，非特殊角的函数值计算 例10：（2010年浙江18题）在△ 中，内角 的对边分别为 ，设 为△ 的面积，满足 ﹒ （Ⅰ）求角 的大小；（参考答案： ） （Ⅱ）求 的最大值﹒（参考答案： ） 考查内容：面积公式，余弦定理，求三角函数值域 例11：（2011安微16题）在△ 中，内角 的对边分别为 ， ，求 边上的高﹒ 考查内容：正弦定理 第二部分：导函数的应用 这部分涉及到的知识点相对单一，特别是文科只涉及多项式函数的研究。频率最高的是三次函数，部分省份考查到四次或者五次。由于大部分考查的都是以三次函数为载体，考查导数的几何意义，函数的单调性、极值和最值。求导之后导函数为二次函数类型因此函数落脚点的重点在二次函数。题目在高考中 一般都在20-22题，属中高档题，略有难度。 例1：已知函数 ﹒ （Ⅰ）设 ，求 的单调区间； （参考答案：略） （Ⅱ）设 在区间 中至少有一个极值点，求 的取值范围﹒（参考答案： ） 考查内容：函数的单调性，判断函数的极值点 例2：（2011全国21题）已知函数 ， ﹒ （Ⅰ）证明：曲线 在 处的切线过点 ； （Ⅱ）若 在 处取得极小值， ，求 的取值范围﹒（ ） 考查内容：利用导数求切线，判断极值点 例3：（2010年湖北八校联考）设 在 处取得极大值，且存在斜率为 的切线﹒ （Ⅰ）求 的取值范围；（参考答案： ） （Ⅱ）若函数 在区间 上单调区间，求 的取值范围；（参考答案： ） （Ⅲ）是否存在实数 使得对于任意 ，都有 ﹒（参考答案：不存在） 考查内容：二次函数的根问题，求函数的单调区间，求函数的值域 例4：（2009全国Ⅰ文21题）已知函数 ﹒ （Ⅰ）讨论函数 的单调性；（参考答案：略） （Ⅱ）设点 在曲线 上，若该曲线在点 处的切线 通过坐标原点，求 的方程﹒ （参考答案： ） 考查内容：函数的单调性，导数的几何意义 例5：（2009江西17题）设函数 ﹒ （Ⅰ）对于任意实数 ， 恒成立，求 的最大值；（参考答案： 的最大值为 ） （Ⅱ）若方程 有且仅有一个实根，求 的取值范围﹒（参考答案： 或 ） 考查内容：二次函数恒成立问题，函数方程思想，数形结合思想 例6：（2009陕西20题）已知函数 ﹒ （Ⅰ）求函数 的单调区间； （Ⅱ）若 在 处取得极值，直线 与 的图像有三个不同的交点，求 的取值范围﹒（参考答案： ） 考查内容：函数的单调性，函数的极值，数形结合思想 例7：（2006全国Ⅰ文22题）设 为实数，函数 在 和 上都是增函数，求 的取值范围﹒（参考答案： ） 考查内容：函数的单调性，二次函数根的分布 例8：（2004年浙江文21题）已知 为实数， ﹒ （Ⅰ）求导数 ；（参考答案： ） （Ⅱ）若 ，求 在 上的最大值和最小值；（参考答案： ） （Ⅲ）若 在 和 上都是单调递增的，求 的取值范围﹒（参考答案： ） 考查内容：函数的导数，函数的最值，函数的单调性 例9：（2004全国Ⅱ文19题）已知函数 在 上是减函数，求 的取值范围﹒ （参考答案： ） 考查内容：函数的单调性，二次函数恒成立问题 例10：（2009浙江）已知函数 ﹒ （Ⅰ）若函数 的图像过原点，且在原点处的切线的斜率是-3，求 的值；（参考答案： ） （Ⅱ）若函数 在区间 上不单调，求 的取值范围﹒（参考答案： ） 考查内容：导数的几何意义，函数的单调与极值的关系 例11：若函数 在区间 内为减函数，在区间 上为增函数，试求 的取值范围﹒（参考答案： ） 考查内容：函数的单调性，二次函数根的分布 例12：已知函数 在区间 上是增函数，在区间 上是减函数，而 ﹒若方程 恰好有四个不等的解，求 的取值范围﹒（参考答案： ） 考查内容：函数的增减性，数形结合思想，函数的极值 第三部分：数列 这部分内容从本人参加工作至今，09年之前基本都算是21-22题的难度，即属于压轴题，很有 难度，是区分度非常明显的一道题，考查内容一般为递推公式等特殊求通项，各种求数列前 项和的方法（裂项相消法，错位相减法，分组求和法，倒序相加法）。而09，10，11年这三年题目全国卷对这个内容的考查略有变化，将对数列的考查提前到17-18题进行考察，也就意味着这个难度属于容易题或者送分题，基本上都是考查等差、等比数列的基本量（ ）计算（知二求三），用两个通项公式和四个求和公式即可解决的，此种题型主要是考查学生的基本计算能力。 例1：（2009全国Ⅰ文17题）设等差数列{ }的前 项和为 ，公比是正数的等比数列{ }的前 项和为 ，已知 的通项公式﹒（参考答案：略） 考查内容：等差、等比数列的通项公式计算，即计算 例2：（11年全国文17）设等比数列 的前n项和为 ﹒已知 ，求 和 ﹒ 考查内容：等比数列的通项公式及前 项和公式 例3：（2011年福建17）在等差数列 中， ， ﹒ （Ⅰ）求数列 的通项公式 ；（参考答案： ） （Ⅱ）若数列 的前 项和 ，求 的值﹒（参考答案： ） 例4：（2010年山东18）已知等差数列 满足： ， 的前 项和为 ﹒ （Ⅰ）求 和 ；（参考答案： ） （Ⅱ）令 （参考答案： ） 考查内容：等差数列的通项公式，求和公式，裂项相消法求和等知识 例5：（2011吉林重点中学联考）数列 满足 ， ， ﹒ （Ⅰ）证明：数列 是等差数列；（参考答案：略） （Ⅱ）求数列 的通项公式 ；（参考答案： ） （Ⅲ）设 ，求数列 的前 项和 ﹒（参考答案： ） 考查内容：等差数列定义，错位相减法求和 例6：（2006福建文22题）已知数列 满足 ， ， ﹒ （Ⅰ）证明：数列 是等比数列；（参考答案：略） （Ⅱ）求数列 的通项公式；（参考答案： ） （Ⅲ）若数列 满足 ，证明 是等差数列﹒ 考查内容：等差数列、等比数列定义，迭加法求数列通项，指数的运算法则 例7：（2004浙江文17题）已知数列 的前 项和为 ， ， ﹒ （Ⅰ）求 ；（参考答案： ） （Ⅱ）求证：数列 是等比数列﹒（参考答案：略） 考查内容：数列通项与前 项和递推式求数列通项 例8：（2007年天津理21题）在数列 中， ， ，其中 （Ⅰ）求数列 的通项公式；（参考答案： ） （Ⅱ）求数列 的前 项和 ﹒（参考答案：略） 考查内容：待定系数法求数列通项，错位相减法求和问题 例9：（2006山东文22）已知数列 中， ，点 在直线 上，其中 ． （Ⅰ）令 ，求证数列 是等比数列； （Ⅱ）求数列 的通项； （Ⅲ）设 分别为数列 、 的前 项和，是否存在实数 ，使得数列 为等差数列？若存在，试求出 ；若不存在，则说明理由． 例10：（2006湖北）设数列 的前 项和为 ，点 均在函数 的图像上 （Ⅰ）求数列 的通项；（参考答案： ） （Ⅱ）设 ， 是数列 的前 项和，求使得 对所有 都成立的最小正整数 ．（参考答案：10） 考查内容：利用通项与前 项和的关系求解通项，裂项相消法求和 例11：已知数列 满足： ﹒ （Ⅰ）证明数列 为等比数列，并求数列 的通项公式； （Ⅱ）设 ，数列 的前 项和为 ，求证： ﹒ 例12：设 是首项为1的正项数列，且 （n=1,2,3…），求数列 的通项公式﹒ 例13：（2001年全国理21题）从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入比上一年减少 ，本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加 ． （Ⅰ）设 年内（本年度为第一年）总投入为 万元，旅游业总收入为 万元，写出 的表达 式． （Ⅱ）至少经过几年，旅游业的总收入才能超过总投入？