虚数的定义

虚数的定义 虚数的实际意义 feiniaowuhen 发表于 2005-11-22 22:51:00 大多数人最为熟悉的数有两种，即正数(，5， ，17(5)和负数(,5，,17(5)。负数是在中世 纪出现的，它用来处理3,5这类问题。从古代人看来，要 从三个苹果中减去五个苹果似乎是不可能的。但是，中世纪 的商人却已经清楚地认识到欠款的概念。“请你给我五个苹 果，可是我只有三个苹果的钱，这样我还欠你两个苹果的钱。” 这就等于说:(，3),(，5),(,2)。 正数及负数可以根据某些严格的规则彼此相乘。正数乘 正数，其乘积为正。正数乘负数，其乘积为负。最重要的是， 负数乘负数，其乘积为正。 因此，(，1)×(，1),(，1); (，1)×(,1),(,1); (,1)×(,1),(，1)。 现在假定我们自问:什么数自乘将会得出，1,或者用 数学语言来说，，1的平方根是多少, 这一问题有两个答案。一个答案是，1，因为(，1) ×(，1),(，1);另一个答案则是,1，因为(,1) ×(,1),(，1)。数学家是用?,(，1),?1来 表示这一答案的。(碧声注:(，1)在根号下) 现在让我们进一步提出这样一个问题:,1的平方根是 多少, 对于这个问题，我们感到有点为难。答案不是，1，因 为，1的自乘是，1;答案也不是,1，因为,1的自乘同 样是，1。当然，(，1)×(,1),(,1)，但这是 两个不同的数的相乘，而不是一个数的自乘。 这样，我们可以创造出一个数，并给它一个专门的符号， 譬如说,1，而且给它以如下的定义:,1是自乘时会得出 ,1的数，即(,1)×(,1),(,1)。当这种想法 刚提出来时，数学家都把这种数称为“虚数”，这只是因为 这种数在他们所习惯的数系中并不存在。实际上，这种数一 点也不比普通的“实数”更为虚幻。这种所谓“虚数”具有 一些严格限定的属性，而且和一般实数一样，也很容易处理。 但是，正因为数学家感到这种数多少有点虚幻，所以给 这种数一个专门的符号“i”(imaginary)。我们可以把正 虚数写为(，i)，把负虚数写为(,i)，而把，1看作 是一个正实数，把(,1)看作是一个负实数。因此我们可 以说?,(,1),?i。 实数系统可以完全和虚数系统对应。正如有，5， ,17(32，，3,10等实数一样，我们也可以有 ，5i，,17(32i，，3i,10等虚数。 我们甚至还可以在作图时把虚数系统画出来。 假如你用一条以0点作为中点的直线来表示一个正实数 系统，那么，位于0点某一侧的是正实数，位于0点另一侧 的就是负实数。 这样，当你通过0点再作一条与该直线直角相交的直线 时，你便可以沿第二条直线把虚数系统表示出来。第二条直 线上0点的一侧的数是正虚数，0点另一侧的数是负虚数。 这样一来，同时使用这两种数系，就可以在这个平面上把所 有的数都表示出来。例如(，2)，(，3i)或 (，3)，(,2i)。这些数就是“复数”。 数学家和物理学家发现，把一个平面上的所有各点同数 字系统彼此联系起来是非常有用的。如果没有所谓虚数，他 们就无法做到这一点了。