参数法求轨迹方程[会要]

参数法求轨迹方程[会要] 参数法求轨迹方程 一、教学目标 (一)知识教学点 深入理解曲线的参数方程与普通方程的区别与联系，进一步掌握参数方程与普通方程的互化( (二)能力训练点 掌握运用参数求轨迹方程的方法，了解设参的基本原则和选参的一般依据，能顺利消参并讨论轨迹的纯粹性和完备性，培养多向思维的流畅性( (三)学科渗透点 通过学习选参方法，学会透过现象挖掘本质的哲学思想方法( 二、教材分析 1(重点:运用参数求轨迹方程的方法( 2(难点:选择参数应遵循的一般依据，消参的技术与轨迹的纯粹性完备性讨论( 3(疑点:设参的基本原则( 三、活动设计 1(活动:问答、思考( 2(教具:投影仪( 四、教学过程 (一)回忆、点题和明确任务 求动点的轨迹方程，如果动点坐标x、y之间的关系比较明显，那么可以用直接法，也就是建系、列式、化简(如果动点坐标x、y之间的关系比较隐蔽，但动点在运动过程中符合某种二次曲线的定义，那么可以用定义法，也就是定型(曲线类型)、定位(曲线位置)、定量(曲线几何量)，然后直接运用二次曲线的方程写出动点的轨迹方程(如果动点坐标x、y之间的关系很隐蔽并且很难判断动点符合某种二次曲线的定义，那么就可以引进一些参数，用这些参数把x、y之间的那种隐蔽关系间接地连起来，然后消掉参数，这就是所谓的参数法求轨迹方程( 同学们常用的交轨法、换标法，实际上也是消去一些元，留下动点坐标x、y的方法，都可以叫参数法(在实践中大家已经知道，参数法求轨迹方程的步骤是:首先根据运动系统的运动规律设参，然后运用这些参数列式，再从这些式子中消参，最后讨论轨迹的纯粹性和完备性，我们称之为议参(其中，最关键的一步是设参，参设得不同，整个思维和运算过程不同，参设得不好，运算量增大，甚至根本就算不出来;最畏难一步是消参，经常遇到参消不了而越消越复杂的情况;最易错的一步就是轨迹的纯粹性完备性讨论(如何做到设参合理、列式简易、消参顺利、议参严密，大家可以从下面的例子中来思考和( (二)讲例1，设参基本原则 请看屏幕(投影，读题)( 例1 矩形ABCD中，AB=2a，BC=b，a,b，E、F分别是AB、CD的中点，平行于EC的直线l分别交线段EF、FC于M、N两点，求直线AM与BN交点P的轨迹(图3-9)( 首先需要建立坐标系，请考虑，建立直角坐标系一般应选择什么位置, 学生1答: 选择边界、中心等特殊位置( 那么，这一题如何建立坐标系, 解:以E为原点，EB为x轴建立直角坐标系(各点坐标如图(投影换片，加上坐标系与相关点坐标)( 运动系统中，l主动，M、N从动，P随之 运动，请思考，在这一运动系统中有几种设参方法, 学生2答: (1)l的纵截距c， (2)|OM|=t， (3)|FM|=t( … 为什么可以这样设参, 一参对一点P，一P对一参，参变化P运动，参固定P静止，一句话:一切可以控制运动系统的量都可以设参( 这就是设参的基本原则( |FM|=t，t?[0，b]，P(x，y)( 设 学生3答: 不必要，只要找x、y、t间的最简单式子，从中能消参即可，这是列式的基本要求( 上面的消参方法，可以视x、y为常数代入消参，也可以是两式作用消参(参数t?[0，b]范围明显，但由于没有显参数方程，所以不便通过议参来确定x、y的范围，此时可根据运动系统的运动全过程，由几何直观讨论轨迹的纯粹性和完备性( l过F时，P合于F，l?OC时，P?B故x?0，y,0( 影片，显示轨迹)( (三)讲例2，选参的一般依据 上面例1，设一个参数就可以了，并且消参也容易，下面的例2就不是这种情况，请看屏幕(投影，读题)( 例2 点A(1，1)、B、C是抛物线y2=x上的动点，满足AB?AC，作矩形ABPC，求P点的轨迹方程(图3-10)( 运动系统中，面上看有B、C两个动点，实际上由于AB?AC，所以若B主动，则C从动，P随之运动，故实际上只有一个自由变量就可以控制整个运动系统(请思考，这题有几种设参方法,各种设参通过什么途径把参数与动点坐标连系起来, 学生4答: (2)设点B坐标(t2，t)?kAB?kAC?C?P( 上述两种设参方法中，参数与动点P的关连都比较远，课后大家可以计算一下，实现这一关连，计算很是复杂(那么再考虑，能否再找一种设参方法，这种设参 方法不局限于一个参数，但确使参数与动点P间的关连比较近, 学生5答: 解:设B(t12，t1)，C(t2，t2)?P(x，y)( 2 参数与P的关连很近，但参数多了一个，大家向来怕参数多，实际上，t1、t2之间本身有一个关系，F(t，t2)=0，而这一关系在消参的运用上或许无需显1 解成t1=f(t)，只需要将F(t1，t2)=0用一下就可以达到消参目的(而前面的两2 种设参方法在消参过程中，实际上就是把t1、t2的关系F(t，t2)=0显解成1 t1=f(t)，然后消参时又恢复成F(t1，t2)=0的重复计算过程(这种重复计算就2 是一开始所说的有时很复杂，有时根本就算不出来(是否真的如此，算算看: ? (t1+t)2=t2+t22+2tt2， 211 ? (y+1)2=x+1+2[-(y+1)-2]( 即:(y+2)2=x-2( 想一想看，如果显解出t1=f(t2)再两式消t2，将会出现两个关于t2的二次方程，这就是消参计算复杂性的原因，因此在根据设参基本原则确定的所有可设的参数中，选择与动点坐标关连密切的为参数( 这就是选参的一般依据，并且选参不要求唯一，多个参之间不一定独立(例1中一个参数需二个式，例2中二个参数需三个式，所以一般来说，n个参数需列n+1个式，而消参时更要充分运用恒等式进行整体消参( 最后来讨论纯粹性和完备性(同例1不一样，显然x、y是参数的显示数，但是两个参数的函数，且两个参数有关连，并非独立，所以x、y范围难求(而用几何直观也比较困难，把两者结合起来: 示轨迹)( 由此可知，讨论轨迹的纯粹性和完备性，可以把几何直观与参数函数相结合( (四)小结(已在教学过程中逐条总结并板书) 参数法求轨迹方程的步骤: 设参:一切可以控制运动系统的量都可以设参(基本原则)，从中选择与动点关连密切的为参数(一般依据)(设参数不要求唯一，多个参数之间不一定独立( 用参:列式要弃繁就简，n个参数需列n+1个式( 消参:视x、y为常数，代人消参，两式作用消参，整体元消参(假含参式(即虽有x、y，但并非动点坐标)不能参与消参( 议参:几何直观与参数函数相结合( 五、布置作业 1(E、F是边长为2的正方形ABCD的边AD、BC中点，长为 的轨迹(图3-11)( 解:以EF为x轴，EF中点为原点建立直角坐标系，则E(-1，0)， 2即 x2-y=1( 据M点从A到OA中点及角到O的运动过程，画图可知，轨迹为双 22(点A(1，1)，B、C是圆x2+y=4上的动点，且AB?AC，求BC中点P的轨迹方程(图3-12)( 解:设B(2cosα，2sinα)、C(cosβ，2sinβ)、P(x，y)( 2? x2+y=2+2(cosαcosβ+sinαsinβ)( kAC?kAB=-1,4(cosαcosβ+sinαsinβ)=2(cosα+cosβ)+2(sinα+sin β)+2( 2? x2+y-2=2x+2y+2( 2即(x-1)2+(y-1)=2( 3(教材第121页第7、8题( 六、板书设计