辅助角公式

辅助角公式 22ababsincossin(),,,,，,，，辅助角公式教学应 注意的的几个问 湖北省郧县第一中学(442500) 郑传根 absincos,,， 在三角函数中，有一种常见而重要的题型，即化为一个角的一个三角函数的形式，进而求原函数的周期、值域、单调区间等.为了帮助学生记忆和掌握这种题型的解答方法,教师们总结出公式 2222absincos,,，absincos,,，=或=? ab，，sin(),,ab， ,让学生在大量的训练和考试中加以记忆和活用.但事与愿违,半个cos(),,, 学期不到,大部分学生都忘了,教师不得不重推一遍.到了高三一轮复习,再次忘记,教师还得重推!本文旨在通过辅助角公式的另一种自然的推导,体现一种解决问题的过程与方法,减轻学生的记忆负担;同时说明“辅助角”的范围和常见的取 帮助学生澄清一些认识;另外通过例子说明辅助角公式的灵活应用,优化角方法, 解题过程与方法;最后通过例子说明辅助公式在实际中的应用,让学生把握辅助角与原生角的范围关系,以更好地掌握和使用公式. .教学中常见的的推导方法 一 教学中常见的推导过程与方法如下 1.引例 ,,3例1 求证:sin+cos=2sin(+)=2cos(-). ,,,, 63其证法是从右往左展开证明,也可以从左往右“凑”,使等式得到证明,并得出结论: 3可见, sin+cos可以化为一个角的三角函数形式. ,, ,, 一般地,asin+bcos 是否可以化为一个角的三角函数形式呢? 2.辅助角公式的推导 absincos,,，例2 化为一个角的一个三角函数的形式. ab22,,,, 解: asin+bcos=(sin+cos), ab，2222ab，ab， ab,,? 令=cos,=sin, 2222ab，ab， 22,,,,,,则asin+bcos=(sincos+cossin) ab， 1 b22,,,=sin(+),(其中tan=) ab， a ab,,? 令=sin,=cos,则2222ab，ab， 2222,,,,,,asin+bcos=(sinsin+coscos)=cos(ab，ab， a,,,-),(其中tan=) b ,,,,,其中的大小可以由sin、cos的符号确定的象限,再由tan的值求 b,出.或由tan=和(a,b)所在的象限来确定. a 推导之后,是配套的例题和大量的练习. 一是为什么要令但是这种推导方法有两个问题: ab,,=cos,=sin?让学生费解.二是这种 “规定”式的推2222ab，ab， 导,学生难记易忘、易错! 22absincos,,，二.让辅助角公式=来得更自然 ab，，sin(),, 能否让让辅助角公式来得更自然些?这是我多少年来一直思考的问题.2009年春.我又一次代2008级学生时,终于想出一种与三角函数的定义衔接又通俗易懂的教学推导方法. absincos,,，首先要说明，若a=0或b=0时，已经是一个角的一个三角函数的形式，无需化简.故有ab?0. 1.在平面直角坐标系中,以a为横坐,的终边 标,b为纵坐标描一点P(a,b)如图1所示,y ,则总有一个角,它的终边经过点P.设P(a,b) , r 22OP=r,r=,由三角函数的定义知 ab， bbO x ,sin==, 22rab，图1 aa,cos=. ,22rab， 2222,,,,,,所以asin+bcos==cos sin+sincos ab，ab， 2 b22,=.(其中tan=) ab，，sin(),, a 2.若在平面直角坐标系中,以b为 横坐标,以a为纵坐标可以描点P(b,a),,的终边 y ,如图2所示,则总有一个角的终边经过 ,22P(b,a) 点P(b,a),设OP=r,则r=.由三ab， 角函数的定义知 r aa, sin==, 22rab，x O 图2 bb,cos==. 22rab， 2222,, asin+bcos= absinab，，，,,,,sincoscos a22, =. (其中tan=) abco，,s(),, b 3sincos,,， 例3 化为一个角的一个三角函数的形式. ,3 解:在坐标系中描点P(,1),设角的终边过点P,则OP 2312,,=r==2.sin=,cos=. 31，，，22 ? 3,,,,,3sincos,,，=2cossin+2sincos=2sin().tan=. ,,， 3,,3sincos,,，,，2k,?=2sin(，). ,,, 66 经过多次的运用,同学们可以在教师的指导下,总结出辅助角公式 ab22,,,,asin+bcos=(sin+cos)=ab，2222ab，ab， b22,,(其中tan=).或者 ab，，sin(),, a 3 ab22,,,,asin+bcos=(sin+cos)=ab，2222ab，ab， a22,,(其中tan=) ab，,cos(),, b 我想这样的推导,学生理解起来会容易得多,而且也更容易理解 ab22,,,,asin+bcos凑成(sin+cos)的道理,以ab，2222ab，ab，及为什么只有两种形式的结果. sin3cos,,,化为一个角的一个三角函数的形式. 例4 ,解法一:点(1,-3)在第四象限.OP=2.设角过P点.则 31,,,sin,.满足条件的最小正角为,,cos 22 55, ,,,,,，,2,.kkZ 33 13？,,,,，,,,,,,,,sin3cos2(sincos)2(sincoscossin) 22 55,，,，，,，2sin()2sin(2)2sin().k,,,,,,, 33 ,3解法二:点P(-,1)在第二象限,OP=2,设角过P点.则 31,,,cos,.满足条件的最小正角为,,sin 22 55,,,,,,，, 2,.kkZ 66 13？,,,,，,,,,,,,,sin3cos2(sincos)2(sinsincoscos) 22 55,,,,,,,2cos()2cos(2)2cos().k,,,,,,,66 三.关于辅助角的范围问题 4 22由中,点P(a,b)的位置可知,终ababsincossin(),,,,，,，， 边过点P(a,b)的角可能有四种情况(第一象限、第二象限、第三象限、第四象限). 设满足条件的最小正角为,则.由诱导公式(一)知 ,,,,,，2k11 2222(其abababsincossin()sin(),,,,,,，,，，,，，1 b中，，的具体位置由与决定，的大,,,(0,2),cos,,sin,tan,,111111a b小由决定( tan,,1a 22,类似地，，的终边过点,(,，ababsincoscos(),,,,，,，, ,)，设满足条件的最小正角为，则,,,,，2.k由诱导公式有 ,22 2222，其abababsincoscos()cos(),,,,,,，,，,,，,2 a中,,,(0,2)，，的位置由sin,和cos,确定，的大小,,tan,,222222b a由确定( tan,,2b ,,,,注意:?一般地，;?以后没有特别说明时，角(或,)是所1212求的辅助角( 四(关于辅助角公式的灵活应用 引入辅助角公式的主要目的是化简三角函数式(在实际中结果是化为正弦还是化为余弦要具体问题具体分析，还有一个重要问题是，并不是每次都要化为 22的形式或ababsincossin(),,,,，,，，1 22的形式(可以利用两角和与差的正、ababsincoscos(),,,,，,，,2 余弦公式灵活处理( 例, 化下列三角函数式为一个角的一个三角函数的形式( 3sincos,,,(,); 26,,,，,sin()cos()(,)( ,, 6363 5 31,,,,,,,3sincos2(sincos) 22解: (,) ,,,,,,,2(sincoscossin)2sin(),,, 666 26,,,，,sin()cos(),, 6363 213,,,,，,[sin()cos()],,32323 (,) 2,,,,,,，,[sin()coscos()sin],,33333 22,,,sin(),33 b,,1a,33在本例第(,)小题中，，，我们并没有取点,(，, b3,)，而取的是点,(，,)(也就是说，当、中至少有一个是负值时(我a ,们可以取,(，)，或者,(，)(这样确定的角(或,)是锐角，abba12 就更加方便( ,,1例6 已知向量,, ax,，(cos(),1),，,bx(cos(),) 332 ,,求函数=的最大值及相应的cx,，(sin(),0)hx()abbc,,,，2x 3 的值. ,,,12解:,，,,，，， hxxxx()cos()sin()cos()2 3233 2，，,1cos(2)x1233 = ,，，sin(2)x, 2232 1212 =，,，，,, cos(2)sin(2)2xx 2323 22222，,，，,,[cos(2)sin(2)]2xx = 22323 6 211，，,cos(2)2x = 212 2？,，hx()2. max2 1111这时. ，,,,,,,,,22,.xkxkkZ 1224 此处,若转化为两角和与差的正弦公式不仅麻繁,而且易错,请读者一试. 五.与辅助角有关的应用题 与辅助角有关的应用题在实际中也比较常见,而且涉及辅角的范围,在相应 范围内求三角函数的最值往往是个难点. 例7 如图3,记扇OAB的中心角为 B :,半径为1,矩形PQMN内接于这个扇45 l形,求矩形的对角线的最小值. N M ,解:连结OM,设?AOM=.则 sin,cos,sin,MQ=,OQ=,OP=PN=. , cossin,,,PQ=OQ-OP=. A O Q P 222图3lMQPQ,， 书 22资sin(cossin),,,，, = 料 31 = ,，,,(sin2cos2) 22 351,1,，,,sin(2) =,其中,,,,(0,),,,. tanarctan,111122222 ,11,0,,,？,，,， arctan2arctan.,,,14222 3551,2？,,ll,,. minmin222 51,,11l所以当,,时, 矩形的对角线的最小值为. arctan, 2422 7 8