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斯托克斯公式

2017-10-07 4页 doc 14KB 29阅读

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斯托克斯公式斯托克斯公式 第七节 斯托克斯公式 环流量与旋度 斯托克斯公式是格林公式的推广,格林公式建立了平面区域上的二重积分与其边界曲线 上的曲线积分之间的联系,而斯托克斯公式则建立了沿空间曲面的曲面积分与沿的边,, 界曲线的曲线积分之间的联系. , 内容分布图示 ? 斯托克斯公式 ? 例1 ? 例2 ? 例3 ? 空间曲线积分与路径无关的条件 ? 三元函数的全微分求积 ? 环流量与旋度 ? 例4 ? 例5 ? 例6 ? 斯托克斯公式的向量形式 ? 向量微分算子 ? 内容小结 ?课堂练习 ? 习题10-7 ?返回...
斯托克斯公式
斯托克斯公式 第七节 斯托克斯公式 环流量与旋度 斯托克斯公式是格林公式的推广,格林公式建立了平面区域上的二重积分与其边界曲线 上的曲线积分之间的联系,而斯托克斯公式则建立了沿空间曲面的曲面积分与沿的边,, 界曲线的曲线积分之间的联系. , 内容分布图示 ? 斯托克斯公式 ? 例1 ? 例2 ? 例3 ? 空间曲线积分与路径无关的条件 ? 三元函数的全微分求积 ? 环流量与旋度 ? 例4 ? 例5 ? 例6 ? 斯托克斯公式的向量形式 ? 向量微分算子 ? 内容小结 ?课堂练习 ? 习题10-7 ?返回 内容要点: 一、斯托克斯公式 ,,定理1 设为分段光滑的空间有向闭曲线,是以为边界的分片光滑的有向曲面,, ,,,的正向与的侧符合右手规则,函数在包含曲面在内的一个P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)空间区域内具有一阶连续偏导数, 则有公式 ,,,,,R,Q,P,R,Q,P,,,,,,,dydz,,dzdx,,dxdy (7.1) ,Pdx,Qdy,Rdz.,,,,,,,,,L,y,z,z,x,x,y,,,,,,, 公式(7.1)称为斯托克斯公式. 为了便于记忆,斯托克斯公式常写成如下形式: dydzdzdxdxdy ,,,,Pdx,Qdy,Rdz ,,,,,x,y,z,PQR 利用两类曲面积分之间的关系,斯托克斯公式也可写成 cos,cos,cos, ,,,dS,Pdx,Qdy,Rdz. ,,,,,x,y,z,PQR 二、空间曲线积分与路径无关的条件 三、环流量与旋度 设向量场 ,,,,A(x,y,z),P(x,y,z)i,Q(x,y,z)j,R(x,y,z)k, ,A则沿场中某一封闭的有向曲线C上的曲线积分 ,,Pdx,Qdy,Rdz,C ,称为向量场沿曲线C按所取方向的环流量. 而向量函数 A ,,,R,Q,P,R,Q,P,,,,, ,,,y,z,z,x,x,y,, ,,称为向量场的旋度,记为,即 ArotA ,,,,,,,,,R,Q,P,R,Q,P,,,,,,rotA,,i,,j,,k. ,,,,,,,y,z,z,x,x,y,,,,,, 旋度也可以写成如下便于记忆的形式: ,,,ijk,,,,. rotA,,x,y,z PQR ,,,,,, 四、向量微分算子: ,,i,j,k,,x,y,z 例题选讲: 利用斯托克斯公式计算 ,例1(讲义例1)计算曲线积分 其中是平面被三坐标面x,y,z,1zdx,xdy,ydz,,, 所截成的三角形的整个边界, 它的正向与这个三角形上侧的法向量之间符合右手规则(图 10-7-2). 222222,例2 计算曲线积分 其中是平面(y,z)dx,(z,x)dy,(x,y)dz,,, x截立方体:的表面所得的接痕,从轴的正向看x,y,z,3/20,y,1,0,x,1,0,z,1 法,取逆时针方向. 222222例3(讲义例2)计算 式中C是 (y,z)dx,(x,z)dy,(x,y)dz,,C 22222x,y,z,2Rx,x,y,2rx(0,r,R,z,0). 222x,y,z,2Rx此曲线是顺着如下方向前进的: 由它所包围在球面上的最小区域保持在 左方(图10-7-3). ,,,,22A,xi,2xyj,zk,,M1,1,2 例4 求矢量场在点处的散度级旋度. 0 环流量与旋度 222u,xy,2xy,3yz,例5(讲义例3)设 求gradu div(gradu);rot(gradu). ,uu是一单值函数,我们称向量场=gradu 为势量场或保守场,而称注:一般地,如果A,为场的势函数. A ,,,,,,,i,,j,,k例6(讲义例4)设一刚体以等角速度绕定轴旋转,求刚体内任Lxyz ,意一点的线速度的旋度. Mv 课堂练习 2221.计算其中是螺线(x,yz)dx,(y,xz)dy,(z,xy)dz,AmB,AmB ,h,,从到的一段曲线. x,acos,y,asin,z,B(a,0,h)A(a,0,0)2,,,,2.物体以一定的角速度依逆时针方向绕Oz轴旋转, 求速度和加速度在空间点vw和已知时刻t的散度和旋度. M(x,y,z)
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