4.4高斯

4.4 高斯公式 一、教学目标及基本要求 通过对本节课的学习，使学生掌握积分的高斯求积公式。 二、教学内容及学时分配 本节主要介绍高斯求积公式。具体内容如下：高斯点、基于埃尔米特插值的高斯型求积公式、高斯型求积公式的数值稳定性。 三、教学重点难点 1．教学重点：高斯型求积公式。 2. 教学难点：高斯型求积公式数值稳定性。 四、教学中应注意的问题 多媒体课堂教学为主。适当提问，加深学生对概念的理解。 五、正文 Gauss公式 1 引言 牛顿—柯特斯型求积公式是封闭型的（区间[a,b]的两端点a, b均是求积节点）而且要求求积节点是等距的,受此限制，牛顿—柯特斯型求积公式的代数精确度只能是n (n为奇数)或n+1 (n为偶数)。而如果对求积节点也适当的选取,即在求积公式中不仅 而且 也加以选取,这就可以增加自由度，从而可提高求积公式的代数精确度。 2．高斯求积公式和高斯点 例: 其中, 固定在 , 可以适当选取,得到的是梯形公式,其代数精确度只有1。如果对求积节点 也进行适当选取,得到如下公式: 这个积分公式的代数精确度为3,这就是高斯型求积公式,上面的求积节点 称为高斯点。 定义1：高斯型求积公式和高斯点 对于含有2n+2个参数 的求积公式: ,适当选取这2n+2个参数,可以使得数值积分公式的代数精确度达到2n+1,我们称这一类求积公式为高斯型求积公式，称这类求积公式的积分节点为高斯点。 定义2:如果n+1个求积节点的求积公式的代数精确度为2n+1,则这n+1个求积节点称为高斯点。 高斯公式求积区间为[-1，1]，对于任意求积区间[a,b]，可通过变换： ，可以转到区间[-1,1]上，这时： 求积公式写为 由于 式是插值型求积公式，只要节点 确定了，求积系数     也随之确定，因此，解决问题的关键在于节点 的选取，即构造高斯求积公式的关键是求高斯点。 3. 高斯点的特征 定理:插值型求积公式 中，节点 为高斯点的充分必要条件是：在区间[-1,1]上，以这些点为零点的n+1次多项式 与任意的次数都不超过n的多项式 正交，即： 证明:(必要性)设 为高斯点,则对于任意次数不超过 次多项式 , 是次数不超过 次的多项式,高斯公式对 是准确成立的，且注意到 ,故 。 可见以高斯点为零点的n+1次多项式 与一切次数不超过n的多项式 正交。 (充分性)设对于一切次数不超过 次的多项式 ,成立 ， 又设 是次数不超过 次的多项式,用 去除 ,商 ,余 ,即 ,可知, 和 均是不超过n次的多项式,从而 由正交条件 有 又因求积公式是插值多项式的构造导出的,由 的选取,其代数精确度可以达到n,而 是次数不超过n次的多项式,因此成立 又注意到 由于 是次数不超过 次的多项式,因此该积分公式的代数精确度至少为 ,因而节点 是高斯点。 可以根据正交条件直接求得高斯点，但涉及解线性方程组，需要寻找新。 4 高斯—勒让德求积公式 Legendre多项式 称为勒让德(Legendre)多项式。其具有前面提到的正交性质,即对于任意次数不超过 的多项式 ,成立 。 因此,多项式 的零点就是相应的高斯—勒让德求积公式的高斯点。勒让德多项式的前几项如下: , , 当取一个节点 时，因 ，其零点为 ，以 为节点，其公式为 ，令其对 精确成立，得 ，所以，高斯－勒让德求积公式为：   (一点高斯公式) 当取两个节点 时，因 其零点为 ， 。以 为节点构造其公式为： 令其对 都精确成立，得 从而得两点高斯－勒让德公式： (两点高斯公式) 当取三个节点 时，因 其零点为 ， ， 。以 为节点构造其公式为： 令其对 都精确成立，得 例 用三个节点的高斯－勒让德求积公式，求 解：积分区间是[0,1]，先做变换： ,把区间[0,1]化为[-1,1]上的积分，有： 用复合梯形求积公式计算，对积分区间二分11次，用2049个函数值，才取得7位有效数字，用龙贝格积分公式，对积分区间二分三次，用了9个函数值，取得了同样的结果。本例仅用了三个函数值，取得同样结果，这说明高斯求积公式的精度是非常高的。 （1）含义： 积分公式的一般形式； 以前的节点是按等间距来选择，为了获得更高的代数精度节点也可以作为待定值。 （2）一点高斯公式 设一点高斯公式的形式为： 其实 都是需要待定的值。根据代数精度概念， 令 ，使积分公式准确成立，有 解得： ， ，故一点高斯公式为： ，即为中矩形公式，它具有1次代数精度。 （3）二点高斯公式 设一点高斯公式的形式为： 其实 都是需要待定的值。根据代数精度概念， 令 ，使积分公式准确成立，有 该方程组不是线性方程组，故其求解比较困难，最后解得： 解得： ， ，故二点高斯公式为： ，它具有3次代数精度。 n点高斯公式具有至少2n－1次代数精度。 （4）勒让德多项式 ， ……….. 可以证明，勒让德多项式的零点可以作为节点来构造高斯公式： （5）三点高斯公式 确定公式 中的6个参数。 分析3次勒让德多项式 则其零点为： 。令 ，使积分公式准确成立，有 解线性方程组，得 ，故三点高斯公式为： 小结 这节课我们主要学习了高斯型求积公式及其数值稳定性的探讨。 作业：课后相应习题。