换路后两个连接电容电场能量变化分析

换路后两个连接电容电场能量变化分析 1 1 1 2 齐 超,王子誉,杨瀚潮,齐赛 ()1 . 哈尔滨工业大学 ,黑龙江 哈尔滨 150001 ;2 . 黑龙江电力职工大学 ,黑龙江 哈尔滨 150030 摘 要 :在“电路理论”课程暂态分析中 ,换路后两个电容直接并联 ,或两个电感直接串联 ,电容电压和电感电流不再服从换路定律 ,当电荷与磁 链重新分配后满足电荷 、磁链守恒 ,但静电场能量与磁场能量均有损失 ,看似系统能量不守恒 。本文将从串联暂态电量 、串联稳态电压整体 、并 联稳态电压分体和功率密度等角度分析了能量变化 ,最终从线损耗和电磁辐射两方面解释了静电能的损失 。 关键词 :静电场能量 ;暂态过程 ;等效电路 ;功率密度 ( ) 中图分类号 : 0441 文献标识码 : A 文章编号 : 100820686 20110420038203 Analysis of Electrostat ic Energy Transf ormat ion in Two Connect ion Ca pac itances af ter S witching 1 1 1 2QI Chao, WA NG Zi2yu, YA NG Han2chao, QI Sa i ( )1 . H a rbi n I nst i t ute o f T ec hnol o g y , H a rbi n 150001 , Chi na ; 2 . H ei l on g j i an g El ect ric Pow e r S t a f f U ni ve rsi t y , H a rbi n 150030 , Chi na Abstract :D uri ng t ra n sie nt st at e a nal y si s of Ci rc uit Theo r y co ur se , af t er swit c hi ng if t wo cap acit a nce s a re i n p a rallel o r t wo i nduct a nce s a re i n se rie s , neit her t he cap acito r volt a ge no r t he i nduct a nce c ur re nt will o bey t he swit chi ng law . Cap acitive cha r ge co n ser vatio n a nd ma gneti sm chai n co n se r vatio n still st a nd af t e r re di s2 t ri butio n , ho weve r , bo t h t he elect ro st atic e ner gy a nd ma gnetic e ner gy ha ve lo sse s w hich see m s t he syst e m i s no n2co n se r vatio n . Thi s p ap e r mai nl y co nce nt rat e s o n t he e ner gy a nal ysi s of t he ci rc uit w hich ha s o nl y t wo cap acit a nce s af t e r swit chi ng f ro m t he poi nt of view of serie s t ra n sie nt si gnal , w hole se rie s st ea dy2st at e volt a ge , i ndivi dual p a rallel st ea dy2st at e volt a ge a nd po we r de n sit y a nd t he n a nal yze t he lo ss of t he elect ro2 st atic e ne r gy i n t er ms of li ne lo sse s a nd elect ro ma gnetic ra diatio n . Key words :elect ro st atic e ner gy ; t ra n sie nt p roce ss ;equivale nt ci rcuit ;po we r de n sit y 2 ( ) ( )( )Q+ Q/ 2 C+ C2 1 2 1 2 W = 0 0 引言 显然 ,系统的静电能比原来减少了 。静电能损 我们现在讨论在如图 1 所示的两个电容相连的 失的值为 2 情况下 , t = 0 时刻开关闭合 ,带电量为 Q的电容器 1 ( ) CQ- CQ2 1 1 2 Δ( )W = W W - = 3 00( ) 2 C1 C2 C1 + C2 C与另一带电量为 Q的电容器 C将并联 。不妨设1 2 2 [ 1 ,2 ] 由此看似系统能量没有守恒 。其原因可以 C的电压 U 大于 C电压 U 。 1 1 2 2 并联 看成是 : ?由于电容 器 间导 线存 在 内阻 , 电 荷重 新 之前电容器储存的静电能为 2 2 W = Q/ 2 C+ Q/ 2 C( )分配过程产生电流 , 会 产生 焦耳 热 消耗 部分 能量 ; 0 1 1 2 2 1 开关闭合较长时间后系统稳定 ,并联储存的静 ?电场的改变要向空间辐射电磁波 ,能量以电磁辐 射的形式消耗 。电能为 收稿日期 :2010212207 ;修回日期 : 2011203231 ( ) ( )基金项目 :黑龙江省新世纪高等教育教学改革项目 2010047; 哈工大研究生主干课建设基金 ZG0610 ( ) 作者简介 :齐 超 19702,女 ,博士 ,教授 ,主要从事电路教学 、电网络分析及光电测控技术研究 , E2mail : qichao @hit . edu . cn ( ) 王子誉 19902,男 ,本科生 ,研究方向为电路分析和光电测量技术工作 , E2mail : wzy_1990 @163 . co m 示的电路 。 于短路 ,与并联时一致 ,而能量的变化只与 始末 态 有关 ,与过 程 无 关 。而 且 上 面 的 分 析 是 根 据 基 尔 霍夫电路 定 律 讨 论 的 结 果 , 不 论 串 联 还 是 并 联 都 可成立 。 下面 ,我们 将 从串 联稳 态电 压 角 度 进 行 分 析 。 现将两个电容看做一个串联整体 ,等效电容和其电 图 1 两个连接电容 图 2 考虑两种损耗的等效电路 压分别为 C( ) = SCC/ C+ C;1 2 1 2 1 从串联暂态电量角度分析 U = U U - S 12开关闭合后 ,电容器 C对电容器 C充电 , 经过1 2 串联前两电容的能量为 t 时间 t , 电容器 C2 的电量为 Q2 + f0 id t , 电容器 C1 的 1 1 CCQQ2 2 1 2 1 2 t ( ) W = CU =- 0 S S ( ) 电量为 Q1 - id t 电荷守恒。由基尔霍夫电压定律f0 2 2 C + C CC 1 2 1 2 得 t 时刻的电路方程 串联稳态后对于整体电路相当于零输入响应 , tt 最终电容电压为零 , 即能量为( ) ( ) + Ri 1- id t/ CQ+id t/ C= 1 12 20 0 ? ? W = 0 0两边对 t 微分得 能量损失为 τ (τ )d i/ d t + i/= 0 = RC ; C = C? C1 2 1 2 Δ W= W 00S U SW C- = = QQ 1 1 2 2 )- ? (初始条件为 t = 0时 , i 0 I+ + = = 0 1 C C 2R 2 ( ) C1 C2 CQ- CQ 1 1 2 1 1 2 2 [ 3 ] ) ( ( ) U8 1 2 - U = 此零输入一阶微分方程解)( 2 C+ C2 C CC + C2 1 21 2 1 QQ 1 2 1 τ 2t/2t/ RC ( ) ( ) - 可见结论与式 3和式 7一致 , 我们可将其理 ? e 4 ( ) i = Ie=0 CC R 1 2从电压 解为串联等效电容 为放电到 0 时损失 CU S S 换路后电容 C1 的电量 的电场能量 。t Q = Q- id t= 1 1 0 ? 3 从并联稳态电压分体角度分析 t Q1 Q2 1 2t/ RC ? e d t = Q1- - 现若将两个电容不看做串联整体 ,按并联分开 01 CR C ? 2 考虑 ,则有两个电容的终态电压 U 相等 , 且满足电 0 C Q - C1 Q 2 2 1 2t/ RC 1 - ( )[ 1 -Q5 e]荷守恒 。不妨设 U > U , 由电荷守恒 , 电容 C放电 1 2 1 C+ C 1 2 电荷应等于电容 C充电电荷 :2 换路后电容 C2 的电量 - C QC Q 2 1 1 22t/ RC ( )+ [ 1 -6 e Q = Q] 2 2 ( ) ( ) = U - U C U 1 - U C0 1 0 2 2C+ C1 2 得到的并联稳态电压为 损失的电场能量 2 2 2 2 ( ) ( )U = U = U = CU + CU / C+ C 1 2 01 1 2 2 1 2 Q1 Q2 Q1 Q2ΔW = + + - = 2 C2 C2 C2 C电容 C损失的能量为 12121 22 2? ( ) Δ( CQ) CQW = CU - U / 2 = 2 12 - 1 2 1 1 1 1 ( )= Ri d t 7 22 2 0( ) ? 2 C1 C2 C1 + C2 ( CC2 CU + CU - 2 CU U ) 1 2 1 1 2 1 1 1 2- CU 2 2 2( ) 可见 , 其结论和式 3一致 , 说明损失的电场能 ( ) 2 C+ C1 2 被等效的导线电阻和辐射电阻所消耗 。 电容 C2 损失的能量为 2 2 Δ) ( W 2= - = CU U 2 / 22 2 2 从串联稳态电压整体角度分析 222 ( ) 2 CU U CC2 CU + CU 2 CU - 2 1 2- 1 2 2 2 1 1 1 2如果仔细分析图 2 ,在有电阻的情况下两个电 ( ) 2 C+ C1 2 ΔΔΔ W = W 1+ W 2 =式中 , d S是电容 C圆柱形空间侧表面面元 ; r是电 2 2 2 2 ( ) 容 C极板半径 ; d是电容 C正负极板间距离 。 1 CQ- CQ2 2 2 C1 C2 2 2 1 1 2 1 ( ) ( ) 9 U1 - U = 2 )2 C+ C( + C 1 22 CCC2 1 2 1( ) ( ) 将式 4和式 6代入上式整理得 ( ) 可见 , 上述结论与式 8一致 。 CQ- CQ2 1 1 2 C 2 Q 1 - C1 Q 2 ( ) 2 +11 QW in = ( )( ) 2 C1 + C2 CC+ C2 1 2 4 从功率密度角度分析 ( ) ( ) 10减去式 11, 可得 将式 2电磁场理论中 ,麦克斯韦认为能量是存在于场 ( ) CQ- CQ1 2 1 1 2 Δ= W W W - = o ut in ( )2 CCC+ C 1 2 1 2 中的 。电容两个极板上聚集起等量正负电荷时 ,就 ( ) ( ) ( ) 7、式 8及式 9一致 。由此再次 其结果与式 会在电容两端之间建 立 起电 场 , 也就 存 储了 能量 。 说明电容 C放电过程中发出的能量一部分转移到 1 单位时间内穿出与能流方向垂直的 单位 面 积上 的 [ 4 ]充电电容 C中 , 还有一部分被损失掉 。2 () 能量 即功率密度也称坡印亭矢量为 S = E ×H5 讨论 电容 C的电压 U 大于 C电压 U , C放电 , 内 1 1 2 2 1 如果导线为理想导体 ,即 R= 0 , 则i 部电流从“- ”极板流向“+”极板 。设 E为电容 C正1 1 ( ) C2 Q1 - C1 Q2 1 ( ) 负极板间瞬时电场强度 , 矢量方向如图 3 中 a, 从ΔΔW = 0 , W = l r 2 ( ) CCC+ C1 2 1 2 正极板指向负极板 ; H为电容 C板间圆柱侧表面 1 1 系统损失的电场能量全部转化为电磁辐射能 。 处磁场强度 , 根据电流方向由右手定则 , 在点 A 处 如果导线为一般导体 , 即 R?0 , 则l 指进纸面里 。可见 E与 H的叉积坡印亭矢量 S 指 1 1 2 ( ) RCQ- CQl 2 1 1 2 Δ W l =向 C圆柱空间外侧 。1 ( ) R+ R2 C C l r 1 2 C1 + C2 2 ( ) R CQ- CQ r 2 1 1 2 ΔW = r ( )R+ R2 CCC+ C l r 1 2 1 2 系统损失的电场能量一部分转化为焦耳热能 , 一部分转化为电磁辐射能 。()( )a 电容 C电容 C b 12 由此可见 ,两个带电的电容器并联时损失的静 图 3 两个电容功率密度 电能与这两个电容器串联时损失的静电能相等 ,这 从换路到放电结束 , C板间圆柱形空间侧表面 1 反映了静电场是保 守场 , 静 电能 是 状态 函数 , 损 失 输出的能量为 的静电能只与始末态有关而与中间过程无关 。 ) ( ×Hd S d t = W = E1 1 o ut 1κ 编者按 :该文讨论无耗情况下 ,两充电电容相连所产生 ? ? Q 1 i 的能量损失问题 。此问题在 80 年代本刊已经有多篇文章讨 ( π) ? πEH2rdd t = 2rdd t 1 1 1 1 1 1 π002r d 1 1? ? C1 论 ,最后由周长源教授作出总结 性 论 性 。本 文 讨 论 此 问 题 式中 , d S是电容 C圆柱形空间侧表面面元 ; r是电 1 1 1 时 ,除从稳态电路分析方面讨论外 ,又增加了从暂态与场方 面的讨论 ,更为全面 ,有一定新意 。我们认为 ,经历了近 容 C极板半径 ; d是电容 C正负极板间距离 。 1 1 1 30 年之后 ,许多从事一线教学的年轻教师亦应该了解这个 ( ) ( ) 将式 4和式 5代入上式整理得 问题 。 CQ- CQ C 2 Q 1 - C1 Q 2 2 1 1 2- ( )QW = 1 10 o ut ( )( ) C1 C1 + C2 2 C1 + C2 参考文献 : 电容 C2 充电 , 内部电流从“+”极板流向“- ”极 ( ) 板 。电场强度 E和 B 点处磁场强度 H如图 3 b所 2 2 程荣龙 ,杨春兰. 关于电容器连接中能量损失问题的讨论 [ J ] . [ 1 ] ( ) 滁州 :滁州学院学报. 2010 ,12 2:35236 示 。E与 H的叉积坡印亭矢量指向 C圆柱空间内2 2 2 祁翔. 两电容器连接时的能量损失初探[ J ] . 贵州 : 贵阳学院学 部 。从换路到充电结束 , C板间圆柱形空间侧表面 [ 2 ] 2 ( ) ( ) 报 自然科学版. 2009 ,4 2: 10212 吸收的能量为 ( ) 陈希 有. 电路 理论 基础 第 三版[ M ] . 北京 : 高 等教育 出 版 ?[ 3 ] 社. 2004 ( ) ( π) W = E×Hd Sd t = EH2rdd tin 2 2 2 2 2 2 2 ( ) 倪光正. 电磁场原理 第二版[ M ] . 北京 : 高等教育出版 0 κ? 社. 2009 ?[ 4 ] Q 2 i ? π2rdd t 2 2 = π 02 2 2 2C d r ?