q_玻色湮没算符k次幂本征态的非经典特性

q_玻色湮没算符k次幂本征态的非经典特性 Vol. 27 No.4 27 4 第 卷第 期柳 州 师 专 学 报 Aug. 2012Journal of Liuzhou Teachers oCllege2012 年 8 月 ) qk玻色湮没算符 次幂本征态的非经典特性 蓝海江 ( ，545004)柳州师范高等专科学校 物理与信息科学系广西 柳州 :Fock igner ，q ) igner ; Wk W摘 要利用 态表象下的 函数表示式计算 玻色湮没算符 次幂本征态的 函数并依据Wigner ，。: q 函数在相空间的分布规律讨论这些本征态的非经典特性结果表明通过 形变可以把相干态由准经典态 ; q ) ( Wigner 变为具有非经典特性的量子态玻色湮没算符的本征态都是具有非经典特性的量子态其 函数均出现负 。) 值 :; q ) ; ; Wigner ; 关键词量子光学玻色湮没算符本征态函数非经典特性 :O431, 2: A: 1003 ) 7020(2012)04) 0124 ) 04中图分类号文献标识码文章编号 1 引言 ,1,,2 ) 4,Bedenharn) ，q 。，q iq 自 率先提出 相干态以来形变量子态受到了人们的广泛关注形变参 业已证明 ，q 形变参数的物理意义并且能够在 ，。，数可使原来量子态的非经典效应削弱甚至消失因此如果完全掌握了 q 。，q 的值来调制量子态的某些非经典特性基于此对 形变量子态进行有益 ，实验上实现人们就可以通过控制 ,5 ) 7,。 ，的探索仍然是人们研究的热点gne ，。Wir函数是定义于相空间中的实函数它在描述量子态方面与波函数或密度矩阵是等价的本文利用 k W，W，Fock igner q ) k aigner 态表象下的 函数表达式计算了 玻色湮没算符 次幂 本征态的 函数并具体分析了 q，，，k = 1，2，3 。，q1 q 时为没有 形变因此依据本文的本征态的准概率分布及其非经典特性值得说明的是当 ? k k aWigner ，a。所得出的 本征态的 函数还可以分析 本征态的准概率分布及其非经典特性 q 2q ) k Wgne ir玻色湮没算符 次幂的本征态及其 函数 2, 1 q ) k 玻色湮没算符 次幂的本征态 +,8,q Heisenberg q ) aa构成 形变 代数的 玻色湮没算符 及产生算符 由如下的关系式定义 q q ++ ,N，a,= a，,N，a,= )a ，( 1) q q q q qq +，q ; ,N,= aa。q )F ock {n〉} ( n = 0，1，2，…) 式中为形变参数在 空间有 ?qq q + ( 2)an〉= ,n,n ) 1〉，an〉= ,n + 1,n + 1〉，???? q槡q 槡n )n ) 1 ，,n,= ( q) q ) / ( q ) q ) 。,n, = ,n, ，，0 ,q ,1 。q 1 ，式中定义的情形当 时 由于因而本文只考虑 ? 1 / qq 。,n,= n，q 形变为没有 k k ,2，3,q ) k aa玻色湮没算符 次幂 本征值 为的本征态为 q ?nk + j α( k) nk + j〉， ( 3)〉= A?ψ? k j j? n = 0 j,!,nk + 槡 ?( k) ( k)2( nk + j) ) 2 ，A，A/,nk + j,! ，a ，j = 0，1，2，…，k )1 ，q =式中为归一化常数并且为复参数阶乘定义 α j j ? n = 0 ,n,! = ,n,,n ) 1,,n ) 2,…,1,。 2, 2 q ) k Wigner 玻色湮没算符 次幂本征态的 函数 ,9，10,^ ，Wgne Fock Pir对于密度算符为 的量子态其 函数在 态表象下的表示式为 ,,2012 ) 07 ) 01收稿日期 ,,( 1963—) ，( ) ，，，: 。作者简介蓝海江男壮族广西柳城人教授研究方向量子光学 ? 1^ W( q，p)= P 〈nm〉，( 4)T( q，p) mn? π m，n = 0 n 2 2 2 2 2 ^ T( q，p) ，〈nm〉= 2( ) 1) exp( ) 2r) L ( 4r) ，r= q+ p，Ln Languerre ( Wigner 式中为 阶 多项式由于 函数 nn,11, ，m = n) 。为相空间中的实函数因而取 k ( 3) a 〉 由式可得出 本征态?ψ 的密度矩阵 qk j ?* nk + j mk + j ( ) αα ( k) 2 ^ = ( A) ( 5)P。 mk + 〉j〈nk + jkj j ? m，n = 0,mk + j,! ,nk + j,! 槡k aWigner ( 4) 、( 5) 〉 由式可算出 本征态?ψ 的 函数 qk j ?nk + j 2 2( nk + j) ( )1 ) L( 4r) /,nk + j,! α nk + j? n = 0 2 ( k) ( r) = 2exp( )2 r )。( 6)W j ?2( nk + j) /,nk + j,!πα ? n = 0k k 。，,nk ) k aWigner q1 + j,= nk + j，( 6) a( 6) q 式即为 湮没算符 次幂 本征态的 函数当 时有式变为 本 ? q,12, Wigner 。征态的 函数k ，。k = 1，2，3 ，( 6) a不失一般性以 讨论 本征态的准概率分布及其非经典特性 为例依据式 qk 3 aWigner 本征态 函数在相空间的分布及其非经典特性 q 3, 1 aWigner 本征态 函数在相空间的分布及其非经典特性 q q ) a，k = 1，j = 0。( 3) a1 对于 湮没算符 次幂 有 即可得到 的本征态 把它们代入式q q ?n α ( 1) n〉，( 7)〉= Aψ 1 00? n = 0 ,n,! 槡 ? )2( 1)2n =， ， /,n,! 。q 1 ( q ) 本征态( 即相干态) 。 〉 a 式中当 即没有 形变时态 ψ 为 A? α 1 0? 0 n = 0 W( 6) aigner k = 1，j = 0 把 代入式即可得到 本征态的 函数 q ?n 2 2 2n ( )1 ) L ( 4r) /,n,!2exp( )2 r) α n? n = 0 ( 1) W( r)。( 8) 0 ?2n /,n,!πα ? n = 0 。，( 8) ，a| | = 1, 5，q1，根据式本征态在相空间的准概率分布及其非经典特性不失一般性取 α 可分析 ?q 。W，。q = 0, 65，0, 30 ( 8) ，aigner r 1 作图分析由式本征态的 函数随变量 变化的分布图如图 所示 可绘出 q aWigner 1 图 本征态的 函数在相空间的分布 q ，，a 。q1( q ) ( ) Wigner 1 由图 可知当 即没有 形变时的本征态即相干态的 函数总是非负的相干态为理 ? 。想的准经典态 W，〉Wigner igner q 1 ，q a的 函数分布随之偏离相干态的 函数分布偏离 越 ψ随着 形变的产生本征态1 0 q ，。 大偏离的程度也越大 。W 〉gne gne Wirir，，1 q ψ的 函数出现了负值由于 函数取负值是量子态具有 由图 可知产生 形变后态1 0 ，，。a非经典性质的反映由此说明的本征态具有非经典特性 q 2 3, 2 aWigner 本征态 函数在相空间的分布及其非经典特性 q 2 2 ，k = 2，j = 0，1。( 3) aa对于 即可得到 的本征态把它们代入式则有 qq ?2n + j α ( 2) 2n + j〉，( 9)〉= Aψ 2 jj ? n = 0,2n + j,! 槡 ?2 ( 2))22( 2n + j) ( 、) 。 〉 a，式中，j = 0，1， =/,2n + j,! 。q 1 ψ 为 本征态即偶奇相干态〉 当 时态 ψ 与A? α2 02 1 ? j n = 02 ( 6) aWgner k = 2 i把 代入式即可得到 本征态的 函数 q ?2n + j 2 2( 2n + j) ( )1 ) L( 4r) /,2n + j,!α 2n + j? ( 2)2n = 0 W( r) = 2exp( )2 r )。( 10) j ?2( 2n + j) /,2n + j,!πα ? n = 02 ，( 10) a。，| | = 2, 5 ，，同理根据式本征态在相空间的准概率分布及其非经典特性不失一般性取 α 可分析 q2 。W，。q1，q = 0, 65，0, 30 ( 10) ，igner r a2 作图分析由式本征态的 函数随变量 变化的分布图如图所示可绘出? q 2 igner 2 aW图 本征态的 函数在相空间的分布 q 2 2 ，、。，a( ) Wigner q a2 图 中的实线分别为 本征态即偶奇相干态的 函数分布随着 形变的产生本征态 q 2〉〉gne a Wgne 。Wirirψ与 ψ的 函数分布随之偏离 本征态的 函数分布 2 0 2 1 2 〉〉Wgner ，，ai，q ，2 与 ψ的 函数均出现了负值由此说明的本征态具有 ψ由图 可知不论 取何值态2 0 2 1 q 。非经典特性 3 , 33aWigner 本征态 函数在相空间的分布及其非经典特性 q3 3 ，k = 3，j = 0，1，2。( 3) aa对于 即可得到 的本征态 把它们代入式 qq3n + j ?α ( 3) 3n + ( 11)j，〉= Aψ 3 jj? n = 0,3n + j,! 槡 ?3 2( 3n + j) ( 3))2 。 〉 a=/,3n + j,! 。，q 1 ，，j= 0，1，2， ψ 为 本征态时态 同样地当 式中? Aα 3 j ? j n = 03 W( 6) aigner k = 3 把 代入式即可得到 本征态的 函数 q ?3n + j 2 2( 3n + j) ( )1 ) L( 4r) /,3n + j,!α ? 3n + j n = 0 ( 3)2 W( r) = 2exp( )2 r )。( 12) j ?2( 3n + j) /,3n + j,!πα ? n = 03 ，。( 12) ，a| | = 2, 5，q 1，同样地根据式本征态在相空间的准概率分布及其非经典特性仍取 α 可分析 ? q3 q = 0, 65，0, 30 。( 12) ，aWigner r ，。3 作图分析由式本征态的 函数随变量 变化的分布图如图 所示可绘出 q 3 igner 3 aW图 本征态的 函数在相空间的分布 q 3 3 〉( j = 0，1，2) Wigner W。，aigner q a3 ψ 的 函数图 中的实线为 本征态的 函数分布产生 形变后本征态 q3 j 3 W。agner i分布随之偏离 本征态的 函数分布 3 ，，。，q 〉( j = 0，1，2 ) Wigner a3 由图 可知不论 取何值态的 函数均出现了负值由此说明的本征态是 ψ3 j q 。具有非经典性质的量子态 k 2, 4 aWigner 本征态 函数在相空间的分布及其非经典特性 q k 。，a〉( j = 0，1，2，…，k )1 ) Wigner ( 6 ) 为了得到 本征态ψ 的 函数的分布规律进一步地本文还依据式 qk j k W，。gner : k ai对 其它本征态的 函数进行了数值计算并分析了这些函数在相空间的分布情况结果表明当 取 qk 2 k ，WW，aigner aigner ; k a偶数时本征态的 函数的分布与 本征态的 函数的分布一致而当 取奇数时本征态的 qqq 3 k 〉( j = 0， W。，Wigner aigner : aψ 函数的分布则与 本征态的 函数的分布一致由此本文得出结论的本征态 qqk j k 。，。1，2，…，k ) 1) Wigner a的 函数均出现负值因此的本征态都是具有非经典性质的量子态 q 4 结论 k W，W。Fock igner ) k aigner q 本文利用 态表象下的 函数表示式计算了 玻色湮没算符 次幂 本征态的 函数 qk k ，，: q 1 aa; q 数值结果表明偏离 越大的本征态就越偏离与之对应的 的本征态相干态通过 形变后可由准经典 q k ，; a〉( j = 0，1，2，…，k )1 ) Wigner 态变为具有非经典特性的量子态的本征态ψ 的 函数均出现负值由于 qk j k ，，。Wigner a函数取负值是量子态具有非经典性质的反映因此的本征态都是具有非经典性质的量子态 q ,,参 考 文 献 ,1,Biedenharn L C, The quantum group SUq( 2) and )a a q nalogue of the bosoonp erators,J,, J, Phys, A，1989，22( 17) : L873) 878,,2,, q ) J,, 1993，42( 5) : 757) 761,,，韦联福玻色湮没算符二次方的本征态物理学报 ,3,，, q ) ,J,, ，1994，14( 10) : 1043 ) 1048,玻色湮没算符高次幂的本征态及其性质光学学报 王继锁王传奎 ,4,Wei L F，Wang S J，Xi D P, Inverse q )boso n operators anthdei r relation to photon) adde d and phot)ond epleted states ,J,, J, Opt,B : QuantumS emiclass Opt, ，1999，1( 6) : 619) 623, ,5,Meng X G，Wang JS , The q) A naogues of Squeezed States and SomPropee rties,J,, nt, J, Theor, Phys, ，2007，46( 5) : 1307 ) 1317, lI ,6,，，Ahmad M A，, q ,J,, ，2007，56( 2) : 845) 853,一类 变形广义相干叠加态的量子统计性质物理学报 任珉马爱群等 ,7,, q J,, ( ) ，2008，31( 6) : 728) 731,,江俊勤变形相干态的亚泊松特性与反聚束效应四川师范大学学报自然科学版 ,8,Macfarlane A J, On q )a nalogues of the quantumha rmonic oscillator and the quantum group SU( 2,)J ,q, J, Phys, ，A，1989，22( 21) : 4581 ) 4588, ,9,，, J,, ( ) ，2011，34( 1) :8 0 )、,蓝海江侯邦品增减光子压缩真空态的维格纳函数及其非经典特性四川师范大学学报自然科学版 85, ,10,, J,, ( ) ，2010，35( 5) : 851) 855,,蓝海江叠加激发相干态及其非经典特性广西大学学报自然科学版 ,11,，, k Wigner ,J,, ，2010，27( 2) : 187) 192,湮没算符 次幂本征态的 函数及其非经典特性量子电子学报 蓝海江韦联福 ,12,，, Wigner ,J,, ，2009，44( 6) : 940) 945,湮灭算符任意次幂本征态的 函数西南交通大学学报 蓝海江韦联福 ( : )责任编辑李洁坤 Non )c lassical Properties for K )t h Power Eigen )s tates of Q )b oson Annihilation Operators LAN Haijiang ( Department Phof ysics and Information Science，Liuzhou Teachers College，Liuzhou，Guangxi，545004 China) Abstract: Non )c lassical properties for the eigen )s tates okf )th power of )q boso n nnaihilation operators werec alculated by their epresentations in Fock spaces, The non) c lassical properties of these igeen )s tates were further isdcussed by numerically discussing their r quasiprobability distributions in phases paces, It is shown that thec ertain non )c lassical quantum statecso uld be generated froqmua siclas- sical coherent states by )q d eformations; these iegen )s tates arety pically non )c lassical quantum states，atsh eir relevant Wigner functions reveal negatives for certain parameters, Key words: quantumo ptics; q )boso n nnaihilation operator;i geen )s tate;W igner function; non )c lassical property