成人高考数学试题文科(历年

成人高考数学试题文科(历年 成人高考数学试题文科(历年 成考数学 (文史类) 一、集合与简易逻辑 2001年 (1) 设全集M={1,2,3,4,5}，N={2,4,6}，T={4,5,6}，则(M (2) 命题甲:A=B，命题乙:sinA=sinB. 则( ) (A) 甲不是乙的充分条件也不是乙的必要条件; (B) 甲是乙的充分必要条件; (C) 甲是乙的必要条件但不是充分条件; (D) 甲是乙的充分条件但不是必要条件。 2002年 (1) 设集合A {1,2}，集合B {2,3,5}，则A B等于( ) {2} (B){1,2,3,5} (C){1,3} (D){2,5} (A) (2) 设甲:x 3，乙:x 5，则( ) (A)甲是乙的充分条件但不是必要条件; (B)甲是乙的必要条件但不是充分条件; (C)甲是乙的充分必要条件; (D)甲不是乙的充分条件也不是乙的必要条件. 2003年 (1)设集合M (x,y)x,y 1，集合N (x,y)x,y 2，则集合M与N的关系是 (A)MT)N是( ) (A) {2,4,5,6} (B) {4,5,6} (C) {1,2,3,4,5,6} (D) {2,4,6} 22 22 N=M (B)MN= (C)NØM (D)MØN 1，且 b 1;乙:直线y kx,b与y x平行。则 (9)设甲:k (A)甲是乙的必要条件但不是乙的充分条件; (B)甲是乙的充分条件但不是乙的必要条件; (C)甲不是乙的充分条件也不是乙的必要条件; (D)甲是乙的充分必要条件。 2004年 (1)设集合M a,b,c,d ，N a,b,c ，则集合MN= (A) a,b,c (B) d (C) a,b,c,d (D) (2)设甲:四边形ABCD是平行四边形 ;乙:四边形ABCD是平行正方，则 (A)甲是乙的充分条件但不是乙的必要条件; (B)甲是乙的必要条件但不是乙的充分条件; (C)甲是乙的充分必要条件; (D)甲不是乙的充分条件也不是乙的必要条件. 2005年 (1)设集合P= 1，2，3，4,5 ，Q= 2,4,6,8,10 ，则集合PQ= (A) 2，，2,3,4,5,6,8,10 (C) 2 (D) 4 4 (B) 1 (7)设命题甲:k 1，命题乙:直线y kx与直线y x,1平行，则 (A)甲是乙的必要条件但不是乙的充分条件; (B)甲是乙的充分条件但不是乙的必要条件; (C)甲不是乙的充分条件也不是乙的必要条件; (D)甲是乙的充分必要条件。 2006年 (1)设集合M= ,101，，，2 ，N= 1，2，3 ，则集合M (5)设甲:x 1;乙:x,x 0. (A)甲是乙的充分条件但不是乙的必要条件; (B)甲是乙的必要条件但不是乙的充分条件; (C)甲不是乙的充分条件也不是乙的必要条件; (D)甲是乙的充分必要条件。 2007年 22(8)若x、y为实数，设甲:x,y 0;乙:x 0，y 0。则 2N= (A) 01，，，，，，2，3 ，，2 (C) ,101 (B) 01 (D) ,101 (A)甲是乙的必要条件，但不是乙的充分条件; (B)甲是乙的充分条件，但不是乙的必要条件; 1 (C)甲不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件; (D)甲是乙的充分必要条件。 2008年 (1)设集合A= 2，4，6 ，B= 1，2，3 ，则AB= (A) 4 (B) 1,2,3,4,5,6 (C) 2,4,6 (D) 1,2,3 (4)设甲:x 6, 乙:sinx 1，则 2 (A)甲是乙的必要条件，但不是乙的充分条件; (B)甲是乙的充分条件，但不是乙的必要条件; (C)甲不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件; (D)甲是乙的充分必要条件。 二、不等式和不等式组 2001年 (4) 不等式x,3 5的解集是( ) (A) {x |x 2}{x|x 0} (D) {x|x 2} ,x,8>x 2,, ,x ,8,,或 x 2, 2002年 (14) 二次不等式x,3x,2 0的解集为( ) (A){x|x 0} (B){x|1 x 2}(C){x|,1 x 2} (D){x|x 0} 2003年 (5)、不等式|x,1| 2的解集为( ) (A){x|x ,3或x 1} ( B){x|,3 x 1} (C){x|x ,3} (D){x|x 1} 2004年 (5)不等式x,12 3的解集为 (A)x12 x 15 (B)x,12 x 12 (D)xx 15 2005年 (2)不等式2 3x,2 7的解集为 4,5x ,21 (5,+ ) (B)(, ,3)[5,+ ) (C)(3,5) (D)[3,5) (A)(, ,3) 3x,2 73x,9 0 x1 3 (3x,9)(5x,25) 0 x 5 4,5x ,215x,25 0 2 2006年 (2B)xx ,2(C)x2 x 4(D)xx 4 (9)设a,b (A)a b (B)ac bc(c 0) (C) 2007年 (9)不等式3x,1 1的解集是 22 11 (D)a,b 0 ab 2 (A)R (B) xx 0,,,或 x (C) xx 3 2008年 2 2 3 (10)不等式x,2 3的解集是 (A)xx ,5或x 1 (B)x,5 x 1 (C)xx ,1或x 5 (由x,2 3 ,3 x,2 3 ,1 x 5) 三、指数与对数 2001年 (6) 设a log0.56.7，b log24.3，c log25.6， 则a,b,c的大小关系为( ) (A) b c a (B) a c b (C) a b c (D) c a b b b log2x b c x a b log0.5x (a log0.5x是减函数,x>1时,a为负;b log2x是增函数，x>1时a为正.故 log0.56.7<log24.3<log25.6) 2002年 (6) 设log32 a，则log29等于( ) (A) 1 a3222log392log332 aa (C) (D)log9 2 log2aa233 (10) 已知f(2x) log2 4x,10 ，则f(1)等于( ) 3141 (A)log2 (B) (C)1 (D)2 32 4x/2,10 log2x,10，f(1) log2 1,10 log4 2 f(x) log2222 ,, (16) 函数y 2003年 2x, 1 x1 ,1 2, 0 x log22 x ,1 2 (2)函数y 5x,1的反函数为 (,,- x , ) (A)y log5(1,x), (x 1) (B)y 5 (C)y log5(x,1), (x 1) (D)y 5 x,1 , (, x , ) ,1, (, x , ) 1,x y 5x,1, 5x y,1 xlog55 log5(y,1) x log5(y,1) 按习惯自变量和因变量分别用x和y表示 y log5(x,1);定义域:x,1 0,,,,x 1 ,,, (6)设0 x 1，则下列不等式成立的是 (A)log0.5x2 log0.5x (B)2x 2 (C)sin x sinx (D)x x 3 2 x 2 2 x y 2x2为增函数 0 x 1 值域(0,2)x2 2>2x，排除(B); y 2x为增函数 值域(1,2) 22 0 x 1 x x,sinx<sinx，排除(C); 2 0 x 1 x x，排除(D); 220 x 1 x x,logX为减函数，logx logx，故选(A)0.50.50.5 5，则x等于 4 (A)10 (B)0.5 (C)2 (D)4 (8 )设logx 5lg2555[logx( logx2 ， lgx lg2， lgx lg2，x 2 ] x2 2)lgx444441454 2004年 1= (16)64, log216 2005年 232 2 133,42364,log 4,log2 4,4 12,,22 16 (12)设m 0且m 1，如果logm81 2，那么logm3 2006年 (7)下列函数中为偶函数的是 (A)y 2x (B)y 2x (C)y log2x (D)y 2cosx (13)对于函数y 3x，当x 0时，y的取值范围是 (A)y 1 (B)0 y 1 (C)y 3 (D)0 y 3, (14)函数f(x) log3(3x,x2)的定义域是 (A)(, ,0)1111 1114 (B) (C) (D) log3 log3 log81 2 ,,mmm 4442233 (3,+ ) (B)(, ,,3)(0,+ ) (C)(0,3) (D)(,3,0) ,3x,x2>0 x2,3x<0 0 x 3, 1 2(19)log28, 16= log,6 28 12l2o3g,2 4 3,log 2,4 ,3 42 1 2007年 (x-1)(1)函数y lg的定义域为 (A)R (B)xx 0 (C)xx 2 1 (2)lg48,lg42, = 4 031 1 31 (A)3 (B)2 (C)1 lg48,lg42, =lg442,lg442,1=,,1=1 (D)0 22 4 0 (5) y (B)(,3,) (C)(,3,,8) (D)(,3,, ) 4 x16 (15)设a b 1，则 (A)loga2 logb2 (B)log2a log2b (C)log0.5a log0.5b (D)logb0.5 loga0.5 2008年 0(3)log24,()= yy log1.3xy log2xy log0.5x?同底异真对数值大小比较: 增函数真(数)大对(数)大，减函数真大对小如.log30.5 log30.4, log0.34 log0.35; ?异底同真对数值大 小比较: 同性时:左边[点(1,0)的左边]底大对也大，右边[点(1,0)的右边]底大对却小. 异性时:左边减(函数)大而增(函数)小，右边减小而增大. 如log0.40.5>log0.30.5, log0.45<log0.35; log0.40.5>log30.5, log45<log35?异底异真对数值大小比较: 同性时:分清增减左右边，去同剩异作比较. 异性时:不易不求值而作比较，略. 如:log36 log48(log36 1,y log0.77xlg2lg2lg2lg2,log48 1,, log36 log48)lg3lg4lg3lg41 3 (A)9 (B)3 (C)2 (D)1 log24,()0=log222,1=2,1=1 (6)下列函数中为奇函数的是 (A)y log3x (B)y 3x (C)y 3x2 (D)y 3sinx (7)下列函数中，函数值恒大于零的是 (A)y x2 (B)y 2x (C)y log2x (D)y cosx (9 )函数y lgx (A)(0，?) (B)(3，?) (C)(0，3] (D)(,?，3] [由lgx得x >0得x 3，xx 0 (11)若a 1，则 (B)log2a 0 (C)a y 1 a 1 a， y 0，故选(A) 分析?:设y log1a 2 2 分析?:y loga,是减函数，由y loga,的图像知在点(1,0)右边, y 0，故选(A) 11 22 13 xx 3 = x0<x 3 故选(C)] ,1 0 (D)a2,1 0 四、函数 2001年 (3) 已知抛物线y x,ax,2的对称轴方程为x 1,则这条抛物线的顶点坐标为( ) (A) (1,,3) (B) (1,,1) (C) (1,0) (D) (,1,,3) 2 x0 1, ax ,=1 a ,20 a2,4 (,2)(,2)2,4 (,2) , ,3 y0 , 44 5 (7) 如果指数函数y ,ax的图像过点(3,,)，则a的值为( ) (A) 2 (B) ,2 (C) , 1812 (10) 使函数y log2(2x,x2)为增函数的区间是( ) (A) [1,, ) (B) [1,2) (C) (0,1] (D) (, ,1] 2x,x2 0 x2,2x 0 0 x 2 2? y 2x,x开口向下，对称轴为: x ,b ,2 1 1]为y log2(2x,x2)的增区间. ?(0，yxy=2x,x2y log2(2x,x2) 5x,5,x,6x(13)函数f(x) 是( ) 2 (A) 是奇函数 (B) 是偶函数 (C) 既是奇函数又是偶函数 (D) 既不是奇函数又不是偶函数 (16) 函数y (21) (本小题11分) 假设两个二次函数的图像关于直线x 1对称，其中一个函数的表达式为减函数，真数须在(0,1]之间，对数才为正 log1(4x,3) 0 ,,,, 3 3 0<4x,3 1 3<4x 4 x 1 4 log1(4x,3)的定义域为____________。 3yy x2,2x,1,求另一个函数的表达式。 2解法一 函数y x,2x,1的对称轴为x ,1， 22,4 1 (,1) , ,2 顶点坐标:x0=,1，y0 ,4a4 1 22 设函数y x,b x,c 与函数y x,2x,1关于x 1对称，则 2函数y x,b x,c 的对称轴x 3 ,2 =3，y0顶点坐标: x0 b ,2 1 3 ,6， ,得:b ,2ax0 由x04ay0,b 24 (,2),62b 2,4ac , y0得:c 7 由y04a4a4 2 所以，所求函数的表达式为y x,6x,7 22解法二 函数y x,2x,1的对称轴为x ,1，所求函数与函数y x,2x,1关于x 1对称，则 2所求函数由函数y x,2x,1向x轴正向平移4个长度单位而得。 设M(x0,y0)是函数y x,2x,1上的一点，点N(x,y)是点M(x0,y0)的对称点，则 2 6 2 y0 x0,2x0,1， x0 x,4 x x,42，将 0代入y0 x0,2x0,1 y yy y 0 0 得:y x2,6x,7.即为所求。 (22) (本小题11分) 某种图书定价为每本a元时，售出总量为b本。如果售价上涨x%，预计售出总量 将减少0.5x%，问x为何值时这种书的销售总金额最大。 解 涨价后单价为a(1,x0.5x)元/本，售量为b(1,)本。设此时销售总金额为y，则: x0.5x0.5x0.5x20.5xy=a(1,)b(1,)=ab(1,,)，令y =ab(,)=0，得x 50 1001001001000010010000 所以，x 50时，销售总金额最大。 2002年 (9) 若函数y f(x)在[a,b]上单调，则使得y f(x,3)必为单调函数的区间是( ) A([a,b,3] B([a,3,b,3] C([a,3,b,3] D([a,3,b] 因y f(x)与y f(x,3)对应关系相同，故它们的图像相同;因y f(x)与y f(x,3)的 自变量不同，故它们的图像位置不同，f(x,3)的图像比y f(x)左移3个长度单位. 因f(a) f(x,3)时，必有x,3 a，即x a-3; ,,,,,,,,,,,,f(b) f(x,3)时，必有x,3 b，即x b-3. ,,,,,,,, 所以，y f(x,3)的单调区间是[a,3,b,3] 4x,10(10) 已知f(2x) log2，则f(1)等于( ) 3 141(A)log2 (B) (C)1 (D)2 32 4x/2,10 log2x,10, f(1) log2 1,10 log4 2 f(x) log2， 222 333 (13) 下列函数中为偶函数的是( ) x22(A)y cos(x,1) (B)y 3 (C)y (x,1) (D)y sinx (21)(本小题12分) 已知二次函数y 为2，求b的值。 x2,bx,3的图像与x轴有两个交点，且这两个交点间的距离 ,bx,3=0的两个根， 解 设两个交点的横坐标分别为x1和x2，则x1和x2是方程x2 得:x1,x2 ,b，x1x2 3 又得: x1,x2 2，b= 4 (22)(本小题12分) 建造一个深为4m，容积为1600m3的长方体蓄水池，若池壁每平方米的造价为20元，池底每平方米的造价为40元，问池壁与池底造价之和最低为多少元, 解 设池底边长为x、y，池壁与池底造价的造价之和为u，则xy 1600400 400，y 400400u 40xy,20 4(2x,2y) 40 400,20 4(2x ,2 ) 16000,160( x,) 2 ,40 16000,160 0，即当x 20时，池壁与池底的造价之和最低且等于: 7 u 16000,160 (x,400400) 16000,160 (20,) 22400(元) 答:池壁与池底的最低造价之和为22400元 2003年 (3)下列函数中，偶函数是 (A)y 3x,3,x (B)y 3x2,x3 (C)y 1,sinx (D)y tanx (10)函数y 2x3,x2,1在x 1处的导数为 (A)5 (B)2 (C)3 (D)4 y (11 )y x 1 (6x2,2x)x 1 6,2 4 (A)xx ,1 (B)xx 2 (D) 222 lg(x,x,1) 0 x,x,1 1 x,x,2 0 x ,1或x 2 xx ,1,,或 x 2 y (17)设函数f(t-1) t2,2t,2(20)(本小题11分) 设f(x) ax，g(x) 解 依题意得: x111，f(2) g()=,8，f(),g(3)=，求 a、b的值. f(2) g(1) 2a 2b ,8 a•b ,2 ? a1 2 a2 ,1 2， ，解得 ，,,, 即 1ab1b ,1 b 2 1 2 a,b 1 ? f(),g(3) , 333 3 (21)(本小题12分) 设f(x) ,x2,2ax,a2满足f(2) f(a)，求此函数的最大值. 解 依题意得: ,4,4a,a2 ,a2,2a2,a2，即a2,a,4 0，得:a1 a2 2 f(x) ,x2,4x,4 ,(x2,4x,4) ,(x,2)2,8， 可见，该函数的最大值是8(当x 2时) 2004年 (10)函数f(x) sinx,x3 (A)是偶函数 (B)是奇函数 (C)既是奇函数又是偶函数 (D)既不是奇函数也又是偶函数 3(15)f(x) x,3，则f (3)= (A)27 (B)18 (C)16 (D)12 (17)y 5sinx,12cosx5 y 13(5sinx,12cosx) 13(sinxcos ,cosxsin )=sin(x, )，cos = ， 131313 (20)(本小题满分11分) 设函数y f(x)为一次函数，f(1)=8，f(,2)=,1，求f(11) 解 依题意设y f(x) kx,b，得 f(1) k,b 8k 3，得，f(x) 3x,5，f(11)=38 f(,2) ,2k,b ,1b 5 8 (22)(本小题满分12分) 在某块地上种葡萄，若种50株，每株产葡萄70kg;若多种一株，每株减产1kg。 试问这块地种多少株葡萄才能使产量达到最大值，并求出这个最大值. 解 设种x(x 50)株葡萄时产量为S，依题意得 S x ) 70-(x-5 02，x0 ,1x2,0xb120 , 60，S0=120 60,602=3600(kg) 2a2 (,1) 所以，种60株葡萄时产量达到最大值，这个最大值为3600kg. 2005年 (3)设函数f(x) x2,1，则f(x,2) (A)x,4x,5 (B)x,4x,3 (C)x,2x,5 (D)x,2x,3 (6 )函数y 2222 (A)xx 1 (B)xx 1 (C)xx 1 ,x,1 0 x 1 ,1 x 1，即:x ,1 或 x 1, (9)下列选项中正确的是 (A)y x,sinx 是偶函数 (C)y x,sinx 是偶函数 (18)设函数f(x) ax,b，且f(1) 5， f(2) 453 33 f(1) a,b a 注: ,,,, ,,, ,,,, ,,,f(x) x,1,,,, ,,,f(4) 4,1 7 22 f(2) 2a,b 4b 1 (23)(本小题满分12分) x已知函数y1 x2,2x,5的图像交y轴于A点，它的对称轴为l;函数y2 a的图像交y轴 (a 1) 于B点，且交l于C. (?)求 ABC的面积 (?)设a 3，求AC的长 解(?)y1 x2,2x,5的对称轴方程为:x ,3x2,2x,5b,2 , 1 2a2 依题意可知A、B、 C各点的坐标为A(0,5)、B(0,1)、 C(1,a) 得:AB 在 ABC中，AB边上的高为1(x 1)，因此，S ABC=1 4 1=2 2 (?)当a 3时，点C的坐标为C(1，3)，故AC2006年 (4)函数y x,2x,3的一个单调区间是 (A) 0,, , (B) 1,, , (C),, ,2 (D),, ,3 (7)下列函数中为偶函数的是 (A)y 2 (B)y 2x (C)y log2x (D)y 2cosx 9 x2 (8)设一次函数的图像过点(1，1)和(,2，0)，则该函数的解析式为 12 (B)y x, (C)y 2x,1 (D)y x,2 33 y,11,0112 y,y1y1,y2 3(y,1) x,1 y x, x,xx,xx,11,(,2)333 112 (10)已知二次函数的图像交x轴于(,1，0)和(5，0)两点，则该图像的对称轴方程为 (A)x 1 (B)x 2 (C)x 3 (D)x 4 (17)已知P为曲线y x3上的一点，且P点的横坐标为1，则该曲线在点P处的切线方程是 (A)3x,y,2 0 (B)3x,y,4 0 (C)3x,y,2 0 (D)3x,y,2 0 k y 2 3x,,x 1x 1 3, P点的坐标:(1,1), y,1 3(x,1) 3x,y,2 0 (20 )直线y , 2 180< 0,,,tan y 2007年 ,2 60 , (x-1)(1)函数y lg的定义域为 ( A)R (B)xx 0 (C)xx 2 (5)y x 1 6 (6)二次函数y x2,4x,5图像的对称轴方程为 (A)x 2 (B)x 1 (C)x 0 (D)x ,1 (B)(,3,) (C)(,3,,8) (D)(,3,, ) (7)下列函数中，既不是奇函数又不是偶函数的是 (A)f(x) 1x22f(x) cosf(x) (B) (C) (D) f(x) x,x1,x23x ,f(x) ,(x2,x) 22 (B) f(,x) (,x),(,x) x,x f(x) 0)，则该二次函数的最小值为 (10)已知二次函数y x2,px,q的图像过原点和点(,4， (A),8 (B),4 (C)0 (D)12 q 022函数图像过(0,0)和(, 4,0) y x,4x (x,2),4 y ,4 min 16,4p 0 p 4 2(18)函数y x,x在点(1,2)处的切线方程为 k y (21)设f() 2008年 x 1 (2x,1)x 1 3,,,y,2 k(x,1) y 3x,1 x2121 x,x，则f(x)f(x) (2x)2,2x x2,2x 44 2(5)二次函数y x,2x,2图像的对称轴方程为 (A)x ,1 (B)x 0 (C)x 1 (D)x 2 (6)下列函数中为奇函数的是 10 (A)y log3x (B)y 3x (C)y 3x2 (D)y 3sinx (7)下列函数中，函数值恒大于零的是 (A)y x2 (B)y 2x (C)y log2x (D)y cosx (8)曲线y x2,1与直线y kx只有一个公共点，则(A),2或2 (B)0或4 (C),1或1 (D)3或7 yxx ,,,,,y x2,1的切线y 2x就与y x2,1只有一个公共点， 2 y x,1y 2 y 2x y 2x x 1,k y 2 2xy 2x (9 )函数y lgx (A)(0，?) (B)(3，?) (C)(0，3] (D)(,?，3] [由lgx得x >0得x 3，xx 0 (13)过函数y xx 3 = x0<x 3 故选(C)] 6上的一点P作x轴的垂线PQ，Q为垂足，O为坐标原点，则 OPQ的面积为 x (A)6 (B)3 (C)12 (D)1 [设Q点的坐标为x，则 S OPQ 116yx x 3] 22x 五、数列 2001年 (11) 在等差数列 an 中，a5 8，前5项之和为10，前10项之和等于( ) (A) 95 (B) 125 (C) 175 (D) 70 5(a1,a5)5(a5,4d,a5)5(8,4d,8)===10，d=3 5(a10,a6)5(a,5d,a5+d)5(2a5,6d)5(2 8,6 3) S10=S5,=S5,5=S5,=10,=95 2222 an,1 2an,3bnn 1,2,3,......。 (23) (本小题11分) 设数列 an ， bn 满足a1 1，b1 0且 bn,1 an,2bn注:S5= (ii)求 an ， bn 的通项公式。 (i)求证an,bn和an,bn都是等比数列并求其公比; 1，，， 2 7 29， ， 2an,1,3bn,1 an : 证(i) 0 1 4， an-1,2bn-1 bn : a n, bn:1， 2,, ， ann a , 3b :1， 2, 29, ， a 可见 a,b 与a,3 b的各项都不为 0. a=2a,3b,,=, a,, 3,b=,a , q,， 所以， a ,3b 是等比数列且其公比为q a=2a,3b,=, 2a,, 3,b=,2a, nnnnnnnnn,1n,1nnnnnnnnnnn,1n,1nnnnnnnn 11 所以，an n是等比数列且其公比为q=2 (ii) 由an a1qn,1得 1 n,1n,1 a=(2,,(2n ann=(2, ， 得: n,1 b(2n,1,(2n,1 ann=(2 nn,1 2002年 (12) 设等比数列{an}的公比q 2，且a2 a4 8，则a1 a7等于( ) (A)8 B(16 (C)32 (D)64 (a1•a7 a2 a4q3 a2a4q2 8 22 32) q (24)(本小题12分)数列{an}和数列{xn}的通项公式分别是an 2,2n,1，2n,2n,2 xn 1a2 an。 (?)求证{xn}是等比数列; (?)记 Sn ，求的表达式。 证(?)因an {x}为正数列。当n>2时 xn nxn,1 可见 是等比数列。 x(?)由x1 2，q n n,1 a1(1,qn)Sn x1,x2, ,xn 1) 2) 2 n,3,n,2,22003年 (23)已知数列 (?)求 an 的通项公式， an 的前n项和Sn 2an,3. (?)设bn nan，求数列 bn 的前n项和. n2 解(?)当n 1时，a1 S1 2a1,3，故a1 3， 当n 2时，an Sn,Sn-1 2an,3,(2an,1,3) 2an,2an,1， 故an 2an,1，q an2a n,1 2，所以，an a1qn,1 3 2n,1 an,1an,1 nann 3 2n,13n (?)bn n ， 222n 3nbn?q n ，? bn 不是等比数列 n,1 12 ?d bn,bn,1 3n3(n,1)3, ， ? bn 是等差数列 33(,n)n3n(b1,bn) n (n,1) bn 的前n项和:Sn 2004年 (7)设 an 为等差数列，a5 9，a15 39，则a10 (A) (B) (C) , (D) 1 a a,9d,,,a,a 2a,18d 2a,,,a是a和a的等差中项，a (a,a) 241015151101051510515 2 (23)(本小题满分12分) 设 an 为等差数列且公差d为正数，a2,a3,a4 15，a2，a3,1，a4成 等比数列，求a1和d. 解 由a2,a3,a4 3a3 15，得a3 5， a2,a4 10,,,,,,,? 由a2，a3,1，a4成等比数列，得a2a4 (a3,1)2 (5,1)2 16 ? 由 2005年 (13)在等差数列 an 中，a3 1，a8 11，则a13 (A), (B) , (C) , (D),22 a2,a4 10,,,,,,,,? a21, 2,,,,,, d a3,a2 5,2 3，得 ， a a,d 2,3 ,12 a2a4 16 ? a22 8(大于a3,舍去) 1 a8 a3,(8,3)d 1,5d 11, d 2, a13 a3,(13,3)d 1,10d 1,10 2 21 或者这样解:a是a和a的等差中项，2a=a+a，a=2a,a=2 11,1=21831381331383 (22)(本小题满分12分) 已知等比数列 an 的各项都是正数，a1 2，前3项和为14。求: (?)数列 an 的通项公式; (?)设bn log2an，求数列 bn 的前20项之和。 a1(1,q3)2(1,q3)2(1,q)(1,q,q2)解(?)S3 14， 1,q1,q1,q 得q,q 6， 2 q1 2，所以，an a1qn,1 2 2n,1 2n q2 ,3(不合题意,舍去) (1,20) 20 210 2(?)bn log2an log22n n， 数列 bn 的前20项的和为S20 1,2,3, 2006年 (6)在等差数列 an 中，a3 1，a5 ,7，则a7 ,20 (A),11 (B),13 (C),15 (D),17 a5 a3,(7,3)d 1,2d ,7, d ,4, a7 a5,2d ,7,2 (,4)=,15 1(22)(本小题12分) 已知等比数列 an 中，a3 16，公比q 。求: 2 (?)数列 an 的通项公式; (?)数列 an 的前7项的和。 13 1 1 解(?)a3 a1q2，a1 =16，a1=64，an a1qn,1 64 2 2 2n,1 27,n 26 21,n 27,n 1 7 64 1, 7n2 a1(1,q)11 1281,(?)S7 =128 1, 127 11,q 128 2 1,2 2007年 (13)设等比数列 an 的各项都为正数，a1 1，a3 9，则公比q (A)3 (B)2 (C),2 (D),3 (23)(本小题满分12分) 已知数列 an 的前n项和为Sn n(2n,1), (?)求该数列的通项公式; (?)判断an 39是该数列的第几项. 解(?) 当n 2时，an Sn,Sn-1 n(2n,1),(n,1) 2(n,1),1 4n,1 当n 1时，a1 S1 1 (2 1,1) 3，满足an 4n,1， 所以，an 4n,1 (?) an 4n,1 39，得n 10. 2008年 (15)在等比数列 an 中, a2=6，a4=24，a6=2 a4242 2(A)8 (B)24 (C)96 a2a6 a4 a6 96 (D)384 a26 (22)已知等差数列 an 中，a1 9，a3,a8 0 (?)求等差数列的通项公式 (?)当n为何值时，数列 an 的前n项和Sn取得最大值，并求该最大值 解(?)设该等差数列的公差为d，则 a3 a1,2d，a8 a1,7d，a3,a8 a1,2d,a1,7d 2a1,9d 0 将a1 9代入2a1,9d 0得:d ,2， 该等差数列的通项公式为an a1,(n-1)d 9,(n-1) (,2) 11,2n (?)数列 an 的前n项之和 Sn n(a1,an)n(9,11,2n) 10n,n2 22 n 5 10,2n 0，n 5，Snmax (10n,n2)令Sn 25 六、导数 2001年 (22) (本小题11分) 某种图书定价为每本a元时，售出总量为b本。如果售价上涨x%，预计售出总量 将减少0.5x%，问x为何值时这种书的销售总金额最大。 解 涨价后单价为a(1,x0.5x)元/本，售量为b(1,)本。设此时销售总金额为y，则: 100100 x0.5x0.5x0.5x20.5xy=a(1,)b(1,)=ab(1,,), 令y =ab(,)=0，得x 50 10010000 所以，x 50时，销售总金额最大。 2002年 14 (7) 函数y 12x,x,3的最小值是 5(A), (C),3 (D),4 21217 y 2x,1,x ,,y 2 (,,(,,3 ,min (22)(本小题12分) 计划建造一个深为4m，容积为1600m3的长方体蓄水池，若池壁每平方米的造 价为20元，池底每平方米的造价为40元，问池壁与池底造价之和最低为多少元, 解 设池底边长为x、y，池壁与池底造价的造价之和为u，则xy 1600400 400，y x4 400400u 40xy,20 4(2x,2y) 40 400,160(x,y) 16000,160(x,)， u =160(1,2)xx 400令u =0，得1,2 0，x 20(x ,20舍去)x 400 x 20) umin 16000,160 (x, 16000,160 (20,400) 22400(元) 答:池壁与池底的最低造价之和为22400元 2003年 (10)函数y 2x3,x2,1在x 1处的导数为 (A)5 (B)2 (C)3 (D)4 y 2004年 (15)f(x) x3,3，则f (3)= (A)27 2005年 (17)函数y x(x,1)在x 2处的导数值为 y x 2x 1 (6x2,2x)x 1 4 ,f (3) 3x2x 3 27, (B)18 (C)16 (D)12 (2x,1)x 2 5 (21)求函数y x3,3x在区间[0,2]的最大值和最小值(本小题满分12分) 解 令y 3x2,3 3(x2,1) 3(x,1)(x,1) 0，得x1 1，x2 ,1(不在区间[0,2] yx 1 13,3 1 ,2, yx 2 23,3 2 2 可知函数y x3,3x在区间[0,2]的最大值为2，最小值为,2. yx 0 2006年 (17)已知P为曲线y x3上的一点，且P点的横坐标为1，则该曲线在点P处的切线方程是 (A)3x,y,2 0 (B)3x,y,4 0 (C)3x,y,2 0 (D)3x,y,2 0 k y 2007年 2x 1 ,3x2,x 1 3, P点的坐标:(1,1), y,1 3(x,1) 3x,y,2 0 (12)已知抛物线y 4x上一点P到该抛物线的准线的距离为5，则过点P和原点的直线的斜率为 (A)或,4 5554 (B)或, (C)1或,1 ( D 445 1y 2 2由y 2px和y 4x得p=2, x,p 5,, x 4 y 4,,, k 1 2(18)函数y x,x在点(1，2)处的切线方程为 15 ,k y )x 1 3，y,2 k(x,1)，即y 3x,1, x 1 (2x,1 2008年 (8)曲线y x2,1与直线y kx只有一个公共点，则k (A),2或2 (B)0或4 (C),1或1 (D)3或7 yxx ,,,,,y x2,1的切线y 2x就与y x2,1只有一个公共点， 2 y y x,1 2 y 2x y 2x x 1,,,k y 2 2x y 2x 2)(25)已知函数( 24 fx) x4,mx2,5，且f( (?)求m的值 fx)(?)求(在区间 ,2，2 上的最大值和最小值 x) 2)解(?)f( 4x3,2mx，f( 4 23,2m 2 24，m ,2 x)(?)令f( 4x3,2mx=4x3,4x 0，得:x1 0，x2 ,1，x3 1 (f0)=5，(f,1)=1,2,5=4，(f1)=1,2,5=4，(f-2)=16,8,5=13，(f2)=16,8,5=13 fx)所以，(在区间 ,2，2 上的最大值为13，最小值为4. 七、平面向量 2001年 (18)过点(2,1)且垂直于向量a (,1,2) a (,1,2)所在直线的斜率k ,2，与a垂直的直线的斜率k 2002年 (17)已知向量a (3,4)，向量b与a方向相反，并且|b| 10，则b 解 设b (x,y)，因向量b与a方向相反(一种平行)，故 1 ，所求直线y,1 k (x,2) 2 34 ，即4x 3y ?， a•b 3x,4y |a||b|cos180 10 ,50,,,,,,? 将?与?组成方程组: 也可这样简单分析求解: 因|a| 5，|b| 10，|b|是|a|的二倍，b与a方向相反，故b ,2a=,2 (3,4)=(,6,,8) 2003年 (13)已知向量a、b满足|a|=4，|b |=3， a,b =30，则a b= (A a b=a bcos a,b =4 3cos30 (C)6 (D)12 4x 3y ? x ,6，解得: ，故b (,6,,8) y ,83x,4y=,50,,,,,? 2004年 (14)如果向量a (3,,2)，b (,1,2)，则(2a+b) (a-b)等于 (A)28 (B)20 (C)24 (D)10 2a=2(3,,2)=(6,,4), 2a+b=(6,,4)+(,1,2)=(5,,2)，a,b=(3,,2),(,1,2)=(4,,4) (2a+b) (a ,b)=(5,,2)(4,,4)=28 16 2005年 (14)已知向量a,b满足a 3，b 4，且a和b的夹角为120，则a b (A ) (B ), (C) (D),6 2006年 (3)若平面向量a (3,x)，b (4,,3)，a b，则x的值等于 (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 3 4,(,3x) 0, x 4 2007年 (3)已知平面向量AB=(2,,4)，AC=(,1,2)，则BC= (A)(3,,6) (B)(1,,2) (C)(,3,6) (,1,2),(2,,4)=(,3,6) (D)(,2,,8) 2008年 (x ，) 2，b (,2 ， 3)(18)若向量a ，a//b，则x x24 , x , ,223 八、三角的概念 2001年 (,5，)12，则cot ,sin 等于( ) (5) 设角的终边通过点P (A) 7779 (B) ,, 1315613 ,51251279 cot =, sin , cot ,sin =,,= 12131213156 17(5) 已知 sin ,cos ，sin ,cos ，则tan 等于( ) 3 (B), (C)1 (D) ,1 4 sin ,cos 1 ? ?+?得: 882sin = 55, tan =2sin ==,4 , 76, sin ,cos ??-?得:2cos =, 2003年 (4)已知 2< < (A) sin co (B),sin co (C )sin2 (D),sin2 (sin cos >0时) sin cos ，sin cos = ,sin cos ,(sin cos <0)时 ?< < , ? sin >0,,,,,cos <0, sin cos <0, ,sin cos 2 2007年 (11)设 sin =1， 为第二象限角，则cos = 2 =1501 (C) (D (B), 2cos150= 17 九、三角函数变换 2002年 (3) 若x [ ,2 ]，cosx ,3，则x等于( ) 2 4 5 11 (B) (C) (D) 336 x2n ,150(x在第二象限时) 7 x [ ,2 ] x arccos( x 210 210 1806 x2n ,210(x在第三象限时) 2003年 (19)函数y cos3x, sin3x y2 cos23x,sin23x,2cos3xsin3x 1,sin6x, y=ymax y 2004年 (9)sinsin6x 1 12cos 12= (A)1 21 1 (C (D 原式 sin 264 (17)函数y 5sinx, 12cosx5 y 13(5sinx,12cosx) 13(sinxcos ,cosxsin )=sin(x, )，cos = 131313 2005年 (10)设 (0,)，cos =，则sin2 = 235 (A)8912 (B) (C) 252525 324 ? (0,), ?sin >0, sin2 =2sin cos = 2525 2006年 (, )在 ABC中， C=30，则cosAcosB,sinAsinB的值等于, (A)11 (B (C), 22 原式=cosAcos(150,A),sinAsin(150,A) =cosA(cos150cosA,sin150sinA),sinA(sin150cosA,cos150sinA) 22 =cosAcos150,sinAcos150=cos150= 2007年 (19)sin(45, )cos ,cos(45, )sin 的值为 sin(45, )cos ,cos(45, )sin =sin(45, , )=sin45 18 十、三角函数的图像和性质 2001年 (14)函数y cos3x,3sin3x ) 2 2 (D) 2 ， 1 12 ， 1y cos3x,x=2 (cos3x,x)=2(sin cos3x,cos sin3x)=,2cos(3x, ) T 2 2 sin 1 cos 当cos(3x, )=,1时，函数取得最大值2 (A) 2005年 (4)函数y sin x 的最小正周期是 2 2 4 (C)2 (D) (A)8 (B)4 T 1/2 (20)(本小题满分11分) (?)参照上表中的数据，在下面的直角坐标系中画出函数y tanx-sinx在区间 0 上的图像 4 (?) 19 2006年 (18)函数y sin2x2007年 (4)函数y sin 1 x的最小正周期为 3 (A) (B)2 (C)6 (D)8 3 2008年 (2)函数y cos x 的最小正周期是 3 (A)6 (B)3 (C)2 (D) 3 十一、解三角形 2001年 (20) (本小题11分) 在 ABC中，已知 A 45， B 30，AB=23.26，求AC(用小数 表示，结 果保留到小数点后一位)。 解 23.26sin3023.26ACABAC 12.0 =， ， AC== sinCsinBsin75sin(180,45 ,30)sin30 。 ，求sinC(精确到0.001) 2002年 (20)(本小题11分) 在 ABC中，已知 A 60 ，且BC ABBC解 = sin 60 sinC= 2003年 ABsin60 0.612 BC (22)(本小题12分) 如图，某观测点B在A地南偏西10方向，由A地出发有一条走向为南偏东12的公路， 由观测点B发现公路上距观测点10km的C点有一汽车沿公路向A驶去，到达D点时，测 得 DBC 90， BD 10km，问汽车还要行驶多少km才可到达A地(计算结果保留两 位小数) 解 BAD 10,12 2 2 ? DBC 90，BC BD， ? BCD是等边直角三角形， BDC 45 ABD BDC, BAD 45,22 23 BD10 sin ABD sin23 10.43(km) AD sin BADsin22 答:为这辆汽车还要行驶10.43km才可到达A地 2004年 结果保留小数点后两位) (21)(本小题满分12分) 已知锐角 ABC的边长AB=10，BC=8，面积S=32.求AC的 长(用小数表示， 20 解 S=AB BC sinB= 10 8sinB=32， 1212 43 得:sinB=,,55 3 AC2=AB2,BC2,2AB BCcosB=102,82,2 10 8 =68 5 8.25 2006年 C A B (23)(本小题12分) 已知在 ABC中， BAC=60，边长AB=5，AC=6. (?) 求BC的长 (?)求AB AC值 解 (?) A (?)AB AC=AB ACcos BAC=5 6 cos60=15 2007年 (?) B的正弦值; (?) ABC的面积. 解(?) B=45，sin B=sin45= B (22)(本小题满分12分) 已知 ABC的三个顶点的坐标分别为A(2，1)、B(1，0)、 C(3，0)，求 2 1 (?) ABC的面积S ABC= 2 1=1 2 2008年 (20)在 ABC中，若sinA= 1 ， C=150，BC=4，则AB= 3B A BC ABBCsinC4sin150 , AB 6 CsinAsinCsinA 3 (23)如图，塔PO与地平线 AO垂直，在A点测得塔顶P的仰角 PAO 45，沿AO方向前进至B点，测得仰角 PBO 60，A、B相距44m，求塔高PO。(精确到0.1m) 解 由已知条件得: BPO 30，AO PO，BO POtan BPO POtan30 PO P AB AO,BO PO,BO PO, PO 44 3 PO 104.1(m) O 十二、直线 2001年 21 (2，1)(18)过点且垂直于向量a (,1,2)的直线方程 。 (2,x,1,y)(,1,2)=0，x,2y 0 设在所求直线上取点(x,y)，得向量b (2,x,1,y)，则a b，即: 2002年 (4)点P(3,2)关于y轴的对称点的坐标为( ) (A)(3,,2) (B)(,3,2) (C)(0,2) (D)(,3,,2) (18)在x轴上截距为3且垂直于直线x,2y 0的直线方程为 。 11 , 2，所求直线的方程:y 2(x,2) x,2y 0的斜率k ,,所求直线的斜率为 k 2k 2003年 2)到直线y 2x,1的距离为 (16)点P(1， d 5 2004年 (4)到两定点A(,1,1)和B(3,5)距离相等的点的轨迹方程为 . (A)x,y,4 0 (B)x,y,5 0 (C)x,y,5 0 (D)x,y,2 0 2222 (x,1),(y,1) (x,3),(y,5)，x,y,4 0 (12)通过点(3,1)且与直线x,y 1垂直的直线方程是 . (A)x,y,2 0 (B)3x,y,8 0 (C)x,3y,2 0 (D)x,y,2 0 (20)(本小题满分11分) 设函数y f(x)为一次函数，f(1)=8，f(,2)=,1，求f(11) 解 依题意设y f(x) kx,b，得 2005年 f(1) k,b 8k 3，得，f(x) 3x,5，f(11)=38 f(,2) ,2k,b ,1b 5 (2，1)(16)过点且与直线y x, 12006年 (8 (1,1))和(,2,1)，则该函数的解析式为 12 (B)y x, (C)y 2x,1 (D)y x,2 33 (20 )直线y ,2 2008年 60 , (14)过点(1,1)且与直线x,2y,1 0垂直的直线方程为 (A) 2x,y,1 0 (B)2x,y,3 0 (C)x,2y,3 0 (D)x,2y,1 0 ,直线x,2y,1 0 的斜率为k ,1，所求直线的斜率为k 2，由点斜式方程可知应选(A), 2 (19)若 是直线y ,x,2 的倾斜角，则 3 tan ,1, 0, arctan(,1) 145= 4 十三、圆 2006年 22 (24)(本小题12分) 已知 o的圆心位于坐标原点, o的方程; o与x轴的正半轴交于A，与y轴的正半轴交于B ，AB (?)求 (?)设P为 o上的一点，且OP//AB，求点P的坐标。 2 2 解(?)依题设得2r =AB， r 2， 故 o的方程:x2,y2 4 (?)因为A(2,0)，B(0,2)，所以AB的斜率为,1。 过o且平行于AB的直线方程为y ,x. y ,x x1 x2 由 2得: 2 x, y 4 y1 y2 所以，点P 的坐标为 或( 2008年 x2y2 , 1的右焦点，并且此圆过原点. (24)已知一个圆的圆心为双曲线 412 (?)求该圆的方程; (?)求直线y 被该圆截得的弦长 . 解 (?)c 4， x2y2 (4，0), 1的右焦点坐为 双曲线， 412 4，0)圆心坐标O(，圆半径为r 4。 2 圆的方程为( x,4),y2 16 (?)因直线y 的倾角为60， 故OA=OBcos AOB=2 4cos60=4 所以，直线y 被该圆截得的弦长为4 412 十四、圆锥曲线 2001年 (3) 已知抛物线y x2,ax,2的对称轴方程为x 1,则这条抛物线的顶点坐标为( ) (A) (1,,3) (B) (1,,1) (C) (1,0) (D) (,1,,3) a 2 x , 1, a ,2, y x,ax,2 1,(,2) 1,2 ,30000 (8) 点P为椭圆25x,9y 225上一点，F1和F2是焦点，则PF1,PF2的值为( ) (A) 6 (B) 5 (C) 10 (D) 3 2 2 ,25x 2 ,9y2 225 a 5,,,PF1,PF2 2a 2 5 10, x2y2 , 1的左焦点F1的直线与这双曲线交于A,B两点，且AB 3，F2是右焦点，则(9) 过双曲线 369 AF2,BF2的值为( ) (A) 21 (B) 30 (C) 15 (D) 27 23 ， xB AB AF1,BF1=3 ,AF1,AF2=2a=12 ,AF2,BF2,,,,, AF2,BF2=27 BF1,BF2=2a=12 x2y2 (24) (本小题11分) 已知椭圆2,2 1和点P(a,0)，设该椭圆有一关于x 轴对称的设椭圆的 关于x 轴对称的，y ，2, ，223yya3b 3b2 23b2x2 2(a,2ax,x),2 3b,,,,, 1,2 x,2ax,a2,3b2 0 aa 2222 22 a,3ba x1 22 x a,3b 3ba,3b x a2 1, 2 2 aa a2,3b2 a 由于,a x a，所以，x 2a,3b2 a-x 因，AB=2y，于是 PAB 的边长为 y yx a2,3b2 22222 AB=2y 21,21, 2 2a,3ba,3b 2002年 x(8) 平面上到两定点F1(,7,0)，F2(7,0)距离之差的绝对值等于10 y2y2x2x2x2y2, 1 (B), 1 (C), 1 (A)2 (B) 点的轨迹为双曲线，排除(C);2 a 10，a 5，a 25， 排除(A)、 24 x2y2 , 1( 0)的焦点在x轴上，O为坐标原点，P、Q为椭圆上两 (23)(本小题12分) 设 椭圆 6 2 点，使得OP所在直线的斜率为1，OP OQ，若 POQ的面积恰为 ，求该椭圆的焦距。 解 设P(x1,y1)、Q(x2,y2)，因OP OQ，故 POQ=90.又因OP 所在直线的斜率为1，故 S POQ 21 122OPOQ x12 y12 x2 y2 。 21 x2y2 将x y 代入,2 1( 0)，得: 6 , 1( 0)，即 2,,6=0， 244y Q 2.5 P 0.50.50.5 0.5 解得: 1 222 2 2=b=18>a=6,舍去) 由a2003年 2 ,2.5 =6， b= = 22 =2得该椭圆的焦距:2c 2 4 0)、(5，0)且过点(3，0)的双曲线的标准方程为 (14)焦点(,5， 2y2x2y2x2x2y, 1 (B), 1 (D), 1 (A) 222 焦点在x轴，排除(A)、(D);c 5, a 3, b 5,3 16, 排除(B),选(C) 2x2y, 1与圆(x,4)2,y2 2的公共点的个数是 (15)椭圆49 (A)4 (B)2 (C)1 (D)0 y 椭圆与x轴的交点是2，圆(x,4)2,y2 2的圆 心是(,4,0),与x轴的交点是因， 故椭圆与圆相离，没有交点. 2 (24)已知抛物线y 8x的焦点为F，点A、C在抛物线上(AC与x轴不垂直). (?)若点B在抛物线的准线上，且A、B、C三点的纵坐标成等差数列，求证BF AC; (?)若直线AC过点F，求证以AC为直径的圆与定圆(x-3),y 9相内切. 证明:(?)由 y 8x得抛物线准线方程x , 2 2 p8/4 , ,2，F(2,0) 2 y12y2y,y2 设A(,y1)、C(,y2)，则B(,2,1) ， 882 2 AC的斜率kAC y2,y18 ， BF的斜率kBF 2 21212 ,25 y1,y2 ,y1,y2 0, ? kAC kBF y,y 8 , ,1 ， ? BF AC y1,y2 8 (?)设AC的斜率为k，则A、C、F所在的直线的方程为y k(x,2) 设A(x1,y1)、C(x2,y2)，因A、C在抛物线上(AC与x轴不垂直)，故k满足下列方程组: y k (x,2) ? 将?代入?消去y得: 2 y 8x ? k 2(x,2)2 8x，k2x2,(4k2,8)x,k2 0， 242 因 b,4ac 12k,64k,64 0 ,(4k,8)4k2,8c 故x1,x2 , , 22 kky8 将x ,2代入?消去x得:y2,y,16 0， 因 b 2 2 (以k 2作图) 8 1 ,4ac ,k ,4 1 (,16) 64(2,64) 0 k , 2 8 2k2,448故y1,y2 ,因此，以AC为直径的圆的圆心为D(,) ，y1 y2 ,16， k2 因csc2 1, 1，，故，得: 180csc 2AC csc y2,y1 y,y 21 k2,1 82 k ACk2,1 AC为直径的圆的半径R 42， 又定圆心为E(3,0)，半径r 3，可得 k k2,4k2,1k2,4DE ，又R,r 42,3 DE k2kk2 因此，这两个圆相 (C)13 (D)18 (13 (A)4 (B)8 (C)16 (D)32 26 1 x2 ,y2 1上，点M (24)(本小题满分12分) 设A、B两点在椭圆 1, 是A、B的中点. 4 2 (?)求直线AB的方程 (?)若椭圆上的点C 的横坐标为 ABC的面积 解(?)所求直线过点M(1, 11 )，由直线的点斜式方程得所求直线的方程为y k(x-1),， 22 1x2 ,y2 1，即A、B两点的坐标满足方程组 A、B两点既在直线y k(x-1),，又在椭圆 24 x22 ,y 1,,,,,,,,,,,,,? 4111222 ，将?代入?得:(,k)x,2k(,k)x,(,k),1 0,,,,,,,,? 422 y k(x-1),1 ? 2 此方程的判别式: 111 b2,4ac 2k(,k) ,4(,k2) (,k)2,1 24 2 111 4k2(,k)2,4k2(,k)2,(1,4k2),(,k)2 222 13222 (1,4k),(,k) 3k,k, 24 22 211 331 5 3 k,k, ,, 3 k, , 0 364366 6 因此它有两个不等的实数根x1、x2. 2 122k(,k)4k,2k,, 2，解得k ,1 b ,由x1,x2 ,得:x1,x2 ,1a21,4k2,k24111 将k=,代入y k(x-1),得直线AB的方程:y ,x,1 222 (?)将k , y 1 x 01 代入方程?，解得 1，又得 1， 2 x2 0 x2 2 即A、B两点的坐标为A(0，1)，B(2，0)，于是 AB 由于椭圆上的点C 的横坐标为C的坐标为C ( 点C到直线AB的距离为: 1 ) 2 或 所以， ABC的面积为: S ABC= 11 或 S ABCAAB 2227 3 2005年 (5)中心在原点，一个焦点在(0,4)且过点(3,0)的椭圆方程是 x2y2x2y2x2y2焦点在y轴上 2 (B9,16 1 (C25,41 1 (D9,4 1 c 4，b 3， a 25 x2y2 , 1的焦距是 (8)双曲线(A ) (B ) (C) 12 2c 12 (D)6 (24)(本小题满分12分) y ,, x2y2 , 1长轴的两个端点，如图，设A1、A2是椭圆C1: 43 l是C1的右准线，双曲线C2: (?)求l的方程; (?)设P为l与C2的一个交点，直线PA1与C1的另一个交 点为Q，直线PA2与C1的另一个交点为R.求QR 2xy, 1 4322xa24 4 解 (?)椭圆的半焦距c 1，右准线l的方程x c1(?)由P为l与C2的一个交点的设定，得P(4,3)或P (4,,3)。由于C2是对称曲线，故可在此两点 中的任意一点取作图求QR，现以P(4,3)进行计算。 由题设和直线的两点式方程得PA1的方程为y x,2)，PA2的方程为y x,2) 1 232 13 y x,2)y x,2) 3333 1，,) 解 222 得Q(1，解 222 得R(，QR=,(,)=3 2222 x,y 1 x,y 1 33 4 4 2006年 x2y2 , 1，则该椭圆的离心率为 (15)设椭圆的标准方程为1612 2007年 (12)已知抛物线y 4x上一点P到该抛物线的准线的距离为5，则过点P和原点的直线 的斜率为 (A)2 e c1 (B (C (D a2 4455或, (B)或, (C)1或,1 ( D 5544 1y 2 2由y 2px和y 4x得p=2, x,p 5,, x 4 y 4,,, k 1 2x (14)已知椭圆的长轴长为8，则它的一个焦点到短轴的一个端点的距离为 28 (A)8 (B)6 (C)4 ,d a 8/2 4, (D)2 (,3，8)(24)(本小题12分)已知双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，离心率等于3，并且过点，求: (?)双曲线的标准方程 (?)双曲线焦点坐标和准线方程 x2y2c 解(?)由已知得双曲线的标准方程为2,2 1， 3，c 3a， aab x2y2222222故b c,a (3a),a 8a，2,2 1 a8a x2y2 (,3，8)将点代入2,2 1， a8a 得:a2 1，b2 8，c 3 y2 1 故双曲线的标准方程为x,2 a21 (,3，0)(3，0) (?)双曲线焦点坐标:，双曲线准线方程:x c3 十五、排列与组合 2001年 (12) 有5部各不相同的手机参加展览，排成一行，其中2部手机来自同一厂家，则此2部手机恰好相邻 的排法总数为( ) (A) 24 (B) 48 (C) 120 (D) 60 解法一 分步法 ?将同一厂家的2部手机看成“一”部手机，从“四”部手机任选“四”部的排列数为P44; ?被看成“一”部手机的二部手机可交换位置排列，排列数为P22。 42 根据分步计数原理，总排列数为P4P2=48(种) 解法二 分类法 将同一厂家的2部手机看成手机“1 ”. 3 2，3，4、1 ，2，4，31 ，3，2，4、1 ，3，4，2、1 ，4，2，3、1 ，4，3，2)?手机“1 ”排在1位，有P3种排法(1 ，; 3 ?手机“1 ”排在2位，有P3种排法; 3?手机“1 ”排在3位，有P3种排法; 3?手机“1 ”排在4位，有P3种排法; 上述排法共24种，每种排法中手机“1 ”各有二种排法，故总排列数为:24 2=48(种) 2002年 (11) 用0，1，2，3可组成没有重复数字的四位数共有( ) (A)6个 (B)12个 (C)18个 (D)24个 解法一 ?从0，1，2，3这四个数字中取出四个数字的总排列数为P4; ?将0排在首位的排列数为P3，而0不能排在首位; 总排列数P4减去0排在首位的排列数P4即为所求。因此，用0，1，2，3可组成没有重 4 复数字的四位数的个数为P4 ,P33=4 3 2 1,3 2 1=18(个) 4 3 43 解法二 第一步:从1，2，3这三个数字中任取一个排在第一位，有P3种取法; 第二步:从剩下的三个数字中任取一个排在第二位，有P3种取法; 第三步:从剩下的二个数字中任取一个排在第三位，有P2种取法; 第四步:从剩下的一个数字中任取一个排在第四位，有P1种取法 . 29 111 1 根据分步计数原理，可组成没有重复数字的四位数共有P3P3P2P1个。 1111 . P3P3P2P1=3 3 2 1=18(个) 1111 解法三 第一步:从1，2，3这三个数字中任取一个排在第一位，有P3种取法; 第二步:把剩下的三个数字分别排在百位、十位、个位，有P3种取法; 根据分步计数原理，可组成没有重复数字的四位数共有P3P3个。 13 P3P3=3 3 2 1=18(个) 1 3 13 解法四 第一类:把0固定在个位上，1，2，3排在千位、百位、十位的排法有P3; 第二类:把0固定在十位上，1，2，3排在千位、百位、个位的排法有P3; 第三类:把0固定在百位上，1，2，3排在千位、十位、个位的排法有P3; 根据分类计数原理，可组成没有重复数字的四位数的个数共有: P33,P33,P33=3P33=3 3 2 1=18(个) 2003年 (7)用0，1，2，3，4组成的没有重复数字的不同3位数共有 (A)64个 (B)16个 (C)48个 (D)12个 解法一 ?从0，1，2，3，4这五个数字中取出三个数字的总排列数为P5; ?将0排在首位的排列数为P4，而0不能排在首位; 总排列数P5减去0排在首位的排列数P4即为所求。因此，用0，1，2，3可组成没有重复数 3 字的四位数的个数为P5 ,P42=5 4 3,4 3=48(个) 333 3 2 32 解法二 第一步:.从1，2，3，4这四个数字中任取一个排在第一位，有P4种取法; 第二步:从剩下的四个数字(含0)中任取一个排在第二位，有P4种取法; 第三步:从剩下的三个数字中任取一个排在第三位，有P3种取法; 根据分步计数原理，可组成没有重复数字的四位数共有P4P4P3个。 111 . P4P4P3=4 4 3=48(个) 1 1 1 111 解法三 第一步:从1，2，3，4这四个数字中任取一个排在第一位，有P4种取法; 第二步:从剩下的四个数字(含0)中任取二个排在十位、个位，有P4种取法; 根据分步计数原理，可组成没有重复数字的四位数共有P4P4个。 12 P4P4=4 4 3=48(个) 1 2 12 解法四 第一类:把0固定在个位上，1，2，3，4中任取二个排在百位、十位的排法有P4; 第二类:把0固定在十位上，1，2，3，4中任取二个排在百位、个位的排法有P4; 第 三类:0不参加排列，1，2，3，4中任取三个的排法有P4; 根据分类计数原理，可组成没有重复数字的三位数的个数共有: 3 2P42,P4=2 4 3+4 3 2=48(个) 22 3 解法五 列举法(麻烦且容易漏列，但直接明了) 103，104，120，123，124，130，132，134，140，142，143，共12个; 第一类:1排在百位的数是102， 第二类:2排在百位，与1排在百位同理，2排在百位的数也是12个; 第三类:3排在百位，与1排在百位同理，2排在百位的数也是12个; 第四类:4排在百位，与1排在百位同理，2排在百位的数也是12个; 根据分类计数原理，可组成没有重复数字的三位数的个数共有:12 4=48个。 2004年 (8)十位同学互赠贺卡，每人给其他同学各寄出贺卡一张，那么他们共寄出贺卡的张数是 2 (A)50 (B)100 (C)10 (D)90(2C10) 10 2005年 30 (11)从4本不同的书中任意选出2本，不同的选法共有 (A)12种 (B)8种 (C)6种 (C24) (D)4种 2006年 (11)4 个人排成一行，其中甲、乙两人总排在一起，则不同的排法有 3(A) 种 (B) 种 (C), 种 (P3P22) (D) 种 2007年 (16)在一次共有20人参加的老同学聚会上，如果每二人握手一次，那么这次聚会共握手多少次, 2 (A)400 (B)380 (C)240 (D)190C20 ,, 2008年 (12)某学生从6门课程中选修3门，其中甲课程必选修，则不同的选课方案共有 (A)4种 (B)8种 (C)10种 (D)20种 Pnmn(n-1)…(n-m,1)5 4 (甲课程必选，从其他5门课程任选2门的组合数为C m 10) Pmm!2 25 十六、概率与统计初步 2001年 (15)任意抛掷三枚相同的硬币，恰有一枚国徽朝上的概率是( ) (A) 2002年 (15) 袋中装有3只黑球，2只白球，一次取出2只球，恰好黑白各一只的概率是( ) 113 1 P3(1) C3 0.51 (1,0.5)3,1 3/8 (B) (C) 434132P31P21 (A) (B) (C) (D 5105C52 (19 则 的数学期望是 ,0.2 0.3+0 0.2+1 0.1+2 0.4)。 2003年 (12)从3个男生和3个女生中选出二个学生参加文艺汇演，选出的全是女生的概率是 (A C32 111 (B) (C) (D) 2 C4310 6 (18)某篮球队参加全国甲级联赛，任选该队参赛的10场比赛，其得分情况如下 99， 104， 87， 88， 96， 94， 100， 92， 108， 110 2004年 (11)掷两枚硬币，它们的币值面都朝上的概率是 (A) 111 (B) (D) 238 (19)从篮球队中随机选出5名队员，他们的身高分别为(单位cm) 31 180， 188， 200， 195， 187 2005年 (15)8名选手在8条跑道的运动场上进行百米赛跑，其中有2名中国选手。按随机抽签 的方式决定选手的跑道，2名中国选手在相邻的跑道上的概率为 1(A) 2 2P77 8 P8 11 (C) (D) 816 (19)从一批袋装食品中抽取5袋分别称重，结果(单位:g)如下: 98.6，100.1，101.4，99.5，102.2 g2)(精确到0.1g2) 2006年 (16)两个盒子 P ) (C) (D) 933 (21)任意测量一批相同型号的制作轴承用的滚球8个，它们的外径分别是(单位mm) 13.7 12.9 14.5 13.8 13.3 12.7 13.5 13.6 2007年 (17)已知甲打中靶心的概率为0.8，乙打中靶心的概率为0.9，两人各打靶一次，则两人都打不中的概率为 (A)0.01 (B)0.02 (1,0.8)(1,0.9) (C)0.28 (D)0.72 (20)经验表明，某种药物的固定剂量会使人心率增加，现有8个病人服用同一剂量的这种药物，心率增加的次数分别为13 15 14 10 8 12 13 11 2008年 (16)5个人排成一行，则甲排在中间的概率是 (A)121 (B) (D) 2510 (21)用一仪器对一物体的长度重复测量5次，得结果(单位:cm)如下: 1004 1001 998 999 1003 2 32