从一道运动学题目的求解谈坐标系选取的重要性

从一道运动学目的求解谈坐标系选取的重要性 D ED UCTED FROM THE SOL UTIO N OF A KINEMATICS P ROBL EM Yang Yannan Hu Dongsheng Lan Xiuf eng ( ) Dep ar t ment of Physics , School of Science , Na nji ng U niver sit y of Aero na utics & A st ro na utics , Na nji ng , J ia ngsu , 210016Abstract By co mp a ri so n of t he app ro xi mat e sol utio n a nd e xact sol utio n of a t ypical ki ne matic s i ssue , t he i mpo r t a nce of coo r di nat e selectio n i n st udyi ng cur vili nea r mo tio n i s di sc u sse d. Key Words cur vili nea r mo tio n ; coo r di nat e ; acceleratio n 有这样一道颇有应用价值和代性的运动学角加速度为 ( ) 题目 :一张致密光盘 CD音轨区域的内半径 R;d r 1 ω ω v d dd r β= = = - 2 d t d r d t d t r 外半径 R; 径向音轨密度 n. 在 CD 唱机内 , 光盘 2 2 v v v 每转一圈 ,激光头沿径向向外移动一条音轨 ,激光 ( )3 = - = - 2 3ππ2r n r2nr 头相对光盘以 v 的恒定线速度运动.在该解法中 , 作者并没有指明选择什么参考 () 求 : 1这张光盘的全部放音时间是多少 ? 系或坐标系 , 而是把激光头的运动看作是圆周运 () 2激光头到达离盘心 r 处时 ,光盘转动的角 动来处理 , 音轨被看为一个个的同心圆 , 所以音轨 速度和角加速度各是多少 ?的总长为每个同心圆周长之和 , 这张光盘的全部 关于这道 题目 , 参 考书 [ 1 ] 给 出 的 解 答 见 解 放音时间为所求音轨的总长除以激光头相对于光 法 1 . 盘的线速度 v. 因为把激光头的运动看成圆周运 解法 1 ω动 , 线速度 v 就成了切向速度 , 所以角速度为 = () 1以 r 表示激光头打到音轨上的点对光盘 v 中 心 的 径 矢 , 则 在 d r 宽 度 内 的 音 轨 长 度 为. 又由于线速度 v 是定值 , 因而 在求 角加 速 度r π 2r nd r. 激光头划过这样长的音轨所用的时间为时 , 很多学生误认为激光束相对于光盘的角加速度 π d t = 2r nd r/ v. 由此可得光盘的全部放音时间为一定 为 零. 该 解 法 有 两 个 理 解 难 点 : 一 是 d t = R 2 ππ2rnd r n 2 2 R R = - 1 T = d t = ( 21) ( ) π2rnd r/ v ;二是既然假设激光头作圆周运动 , 求角 R?? v v 1 加速度时又认为半径随时间变化. ( ) 2激光头到达离盘心 r 处时 , 光盘转动的角 ω 所得的结果.d r v ? = = 2πd t 2n π( ) 1 + 2nr解法 2 R T22激光头相对于光盘 , 既有径向运动 , 又有横向 ( π) 1 + 2nr?( ) d td r 11 = 0 Rv ?? 1 其轨迹为螺旋线运动 , 以光盘中心为极点建 利用积分公式 : 坐标 , 在此极坐标下激光头的运动速度为 2 x 2 2 2( )4 = vθeθ + v e r r + ad x + a+ xx= 2 ? 式中 , vθ为激光头相对于光盘的横向速度; v r 2 a 2 2 )( + a l n x + x+ C 光头相对于光盘的径向速度. 由题意可知 :在 2 上 , 激光头相对光盘向外运动 , v r ?0 . 可解得 所以有 22 2 2 ( )θ + v 5 πvr n v = 1 1 2 2 R1 R++RT = - R + 2 2 1 ππ2n 2n v ( π) 因为光盘每转一圈 2, 激光头沿径向向外 一条音轨 , 所以有 2 1 2 π( )θ 2n R- Rd2 1 R 2 + 2R2+ π= = 2n ( )6 π1 2 n d r R- R 2 1( )l n 12 2 π2n 1 2 θ d r 1 d1 R R + + 11 ω( )7 = = π2n ππd t 2n d t 2n 2 π( ) 当 n ? ?时 , 有 1/ 2n?0 , 此 时 T ? rd ωv r = ? vθ = r, πn d t 2 2 ( ) R2 - R1 , 两种解法结果相同. v 2 2 ω 1 2 2 ωω r1 + =? v = r+ 从解法 2 中可以看出 : 对此曲线运动采用极 ππ2n 2n r 坐标系 , 将速度 、加速度都分解为与位矢垂直和与 ( )8 位矢平行的分量 , 利用各分量之间的关系可求解 v ω( ) 即 :=9 2 与质点运动有关的一系列问题. 所有《大学物理》 1 1 + r π2n r 教科书的“力学部分”都介绍“参考系 、坐标系”的 与解法 1 的结果比较 , 解法 2 的角速度表达 概念 , 并强调在研究物体运动时参考系 、坐标系选 2 取的重要性 , 本题目的求解过程则正好印证了这 1 分母上多一个因子 : 1 +. 可见 , 当 π2n r 种重要性. 解法 1 没有指出选取何种坐标系 , 先是 ?时 , 解 法 1 的 近 似 解 接 近 于 解 法 2 的 精 ( 把激光头的螺旋线运动简化为圆周运动 忽略径 ) 向运动求出光盘的放音时间 , 后在求其角加速度 激光 头 离 盘 心 为r 时 , 光 盘 转 动 的 角 加 速 时又考虑有径向运动 , 虽然在 n 较大时是正确的 , 但从逻辑上看前后存在矛盾 , 令人理解困难. 而解 ω d d rv 法 2 在选用了极坐标之后 , 对所有问题的求解均 β= = -2 r 3 2 d t 2 d t 1 2 可采用教科书中介绍的通用方法. 这种方法逻辑 2 r+ π2n 性强 , 易于理解又具普遍性 , 与教材中对力学问题 2 v ( )10 = - 2 2 求解方法的要求一致. 因此在求解力学题目时 , 坐 1 3π 1 + 2nrπ2nr 标系的选取是非常重要的. 与解法 1 比较 , 解法 2 的角加速度分母上有 参 考 文 2 2 1 献 因子 :, 同样 n 越大 , 解法 1 的1 + π2n r [ 1 ] 张三慧. 大学物理学第二版习题解答. 北京 : 清华大学出版 社 , 2000结果就越接近严格解.