第四章 电磁波的传播

第四章 电磁波的传播 教学方法与说明 授课内容 第四章 电磁波的传播 上两章讨论了孤立存在的静电场和静磁场(不随时间变化的情况)。在电荷、电流分布随时间变化的情况(迅变)下，将产生变化着的电场、磁场。变化着的电场、磁场还互相激发，形成在空间中传播的电磁波(电磁场以波动形式存在)。由于在广播通讯、光学和其他科学技术中的广泛应用，电磁波的传播、辐射和激发问题已发展为独立的学科，具有十分丰富的内容。 本章讨论电磁波传播的最基本理论。平面电磁波是交变电磁场存在的一种最基本的形式。 第一节 讨论无界空间(真空或充满介质)中平面单色波的传播。 第二节 讨论平面单色波在介质分界面上的反射和折射。 第三节 讨论平面单色波在导体中的传播。 第四、五节 讨论有界空间中的电磁波，以谐振腔和波导管为例说明电磁波边值问题的解法。 ,B 第六节 讨论等离子体的电磁性质及电磁波在等离子体中的传播。 EdldS,,,,,,,L,tS 第一节 平面电磁波 预习提纲 一、关于波动方程 1、静止电荷产生的电场、恒定电流产生的磁场，在空间中能否以波的形式传播,为什么, 2、对自由空间，如何导出波动方程, 3、对均匀各向同性介质，在无自由电荷、电流分布情况下，能否导出类似于真空中的波动方程那样的方程,为什么, (),,,,,00 二、关于时谐电磁波 1、时谐电磁波的定义。 2、对时谐波，由麦氏方程组可以得出几个独立方程,形式如何, 3、亥姆霍兹方程与波动方程形式上有何不同, ikxt(),,,4、亥姆霍兹方程的基本解是 ，为什么称其为平面波, ExtEe(,),0三、关于平面电磁波特点 1、平面电磁波有何特点, iEBEB2、由,,,E0，,,,B0， 证明，、都是横波，、、 三,,,，BEk, EB，者互相垂直，沿方向。 k E,,3、证明 B 讲授内容 一、波动方程 电磁波的基本方程是麦氏方程组 ,B,D， () J,，,,E,，,，HJf,t,t ,,,B0()， ,,,D,,f ,,0对没有电荷电流分布(，)的自由空间(真空或充满介质)麦氏方J,0f 程变成齐次的，即 ,B,D,,,D0,,,B0 ， , ， ,，,,E,，,H,t,t在真空中(当然无电荷电流分布)满足 ， DE,,BH,,00 E1、关于电场的波动方程 22DE,,,,()EBH,,,, ,，,，,,,，,,,，,,,,000022tttt,,,, 22又由矢量可得 ,，,，,,,,,,,,,()()EEEE 2E,2上两式相等可得 E,,0 ,,,002t, B2、关于电场的波动方程 D,,同理 ()()BHD,,,,，,，,,，,，,,，,,，000tt,, 2,,B = ,,,,,，,,E00002,t,t 22又由矢量分析可得 ,，,，,,,,,,,,,()()BBBB 2B,2上两式相等可得 B,,0,,,002t, 1如果令 c,,,00 221,E1,B22则有 ， (条件:无电荷、电流分布，真空) ,,,E0,,,B02222ct,ct, H这是真空中电磁场的变化规律，称波动方程。可以求出磁场强度与电位 D移矢量的波动方程。是电磁波在真空中的传播速度，一切电磁波、包括各种c 频率范围的电磁波，如无线电波光波，射线等都以速度传播。麦克斯韦提出xc 光的电磁说，说明光是一种电磁波。 问题:那么，对均匀、各向同性的介质，无电荷电流分布时是否可导出 22EB,,22， E,,0B,,0,,,,,,22tt,, 答:导不出。因、是电磁波频率的函数，，当频率随时,,,,,,,(),,,,()间变化时，，并不成立，、也是时间的函数。、,,DtEt()(),,BtHt()(),,,,随而变化，这种现象称为介质的色散。比如 , ,,,111ititit,,, DtDedEedEedEt,,,,,,,,,,,,,,()()()()()(),,,000,,,222 EB、因此在介质内不能导出的一般波动方程，千万不要把，即由,,,,,00真空情况就转在介质情形，这是不正确的。 DE,,当然，对频率一定的电磁波，在均匀、各向同性的介质中，，BH,,是成立的，下面我们讨论这种情况。 二、时谐电磁波 1.时谐电磁波 很多情况下，电磁波的波源往往以大致确定的频率做正弦振荡，因而辐射出的电磁波也以相同的频率做正弦振荡，例如无线电广播就是这样。以一定频率做 正弦振荡(或余弦振荡)的电磁波称时谐电磁波，亦称单色波。如果某个电磁波不是单色波，可用傅立叶分析的方法分解为不同频率的正弦波(或余弦波)的叠加。因而，可以只讨论一定频率的余弦波 ， ExtExt(,)()cos,,BxtBxt(,)()cos,, ,it,,it,或 ， (为计算方便引入，理解为只取实部) ExtExe(,)(),BxtBxe(,)(), 再加上介质电磁性质方程 DE,,， BH,, ,it,e代入齐次方程组，并消去共同因子后有 ,B ,，,,E,,，,EiH,,,t ,D,，,,HiE,, ,，,H,,t ,,,D0,,,E0 , ,,,B0,,,H0 , EB(上面四个式子中的，都是，而不是，)先注意一点Ex()Bx()Ext(,)Bxt(,) ，时即为静电场静磁场。当时，上面的三、四两式可由一、二,,0,,0,,0 两式导出，因为 ，。 ,,,，,()0E,,,，,()0H 2.亥姆霍兹方程 E(1)电场强度矢量的亥姆霍兹方程 2,,，,，,,，,()EiHE,,,,,,22 其中 k,,,,,,，,EkE0,2,，,，,,,,,,()()EEE,, 22,，,EkE0,,,E0称为亥姆霍兹方程。其解不一定满足 ，因此，只有 ,,,E0附加上条件 后，亥姆霍兹方程的解才代电磁波。 E解出后，可由 ,，,,EiHiB,,, i得 ,,,，BE, 总之，在一定频率下(即对时谐电磁波或单色波)，在均匀各向同性介质中，线性情况下，无电荷、电流分布时，麦氏方程组可化为 ,22,,，,EkE0, ,,,E0,,i,BE,,,，,, 这些方程的每一个解代表一种可能的波模。一定频率下电磁波的基本方程，其解为()。代表电磁波电场强度(磁感应强度)在空间中的分布情况。每Ex()Bx() 一种可能的解称为一种波模。 B(2)磁感应强度矢量的亥姆霍兹方程 类似地，也可象下面这样化麦氏方程组 22 ,，,，,,，,，,,,，,,,,()()()()BHiEiiHHB,,,,,,,,,,,,,,,, 22 ,，,，,,,,,,,,,()()BBBB 两式相等可得 22,，,BkB0， k,,,, B上式即为磁感应强度矢量的亥姆霍兹方程，在一定频率下(即对时谐电磁波或单色波)，在均匀各向同性介质中，线性情况下，无电荷、电流分布时，麦氏方程组可化为 ,22,BkB0,，,,,B0,,, ,,1ii,EHBB,,，,,，,,，,,,,,i,,k,,, 三、平面单色波 由亥姆霍兹方程可解出，可能有各种不同形式的解，天线发出的Ex()Ex() 球面波，沿波导传播的导波。最基本形式的解是存在于全空间的平面波解。这种电磁波其波阵面(等相位点组成的面)为与传播方向正交的平面。由于亥姆霍兹方程导出的前提是频率一定，因而这里所说的平面波实质是平面单色波。 Eyz、最简单的情况是场强与无关，只与有关，=，在这种情况下，Ex()x 2d222,，,EkE0亥姆霍兹方程 ExkEx()()0，,，化为 2dx ikx它的一个解是 (场强的空间部分) ExEe(),0 (1)但必须满足 ,,,E0 iKxiKxiKxiKx即 ,,,,,,,,,,()()0EeEeEiKeeEeiKe0000xx 即 或 Ee,Exe(),Ee,,00xx0x 说明，电场是在垂直于x轴的平面上振动。 ikxt(),,场强的全表示式为 ExtEe(,),0 只要，上式即代表一种可能的波模。 Ee,0x (2)为什么说这是平面波呢, 空间中坐标分量相同的点(处于同一个平面)具有相同的场强(相位相x 等)，可见其等相面垂直于轴。 x (3)传播方向 ikxt(),,至于传播方向、波速可由位相因子看出。前面说过， 理解为取实Ee0部。当时，波峰满足kxt,,=0波峰是的平面，t,0x,0ExtEkxt(,)cos(),,,,0 ,时刻波峰kxt,,=0平面。由此看出传播方向沿方向。 xt,t,xk (4)波速，色散 x,,11c,,,,,,,传播速度 ，或写成， ,tk,,,,,,,,,,,00rrrr、为相对电容率、相对磁导率，它们是的函数，对不同频率，电磁波在,,,rr 介质中有不同的波速——色散现象。 (5)特征量 波长 周期 2,,,,,,,,t2当固定，相差的位相面，。 2,,,,xtT, 2,,当固定，相差的位相面，。 2,,,,t,,,,,kx2x,k上面讨论的只是特殊情况下亥姆霍兹方程的解。满足一般形式的亥姆霍兹方程的 ikxt(),,,平面单色波是，其中大小(波数，为距离内的波数)为ExtEe(,),2,k0 ,,2 方向为沿波传播方向，称为波矢。 ,,,k,,,v, 容易验证上述满足亥姆霍兹方程。 Ext(,) 22()ikxitikxt,,,,,,(1) ,，()EeekEe00 222()2()ikxtikxt,,,,,,,,,,，()kkkEekEe xyz00 ,0 E(2)当然，此必须满足,,,E0才是电磁波解。 ikxtikxtikxt()()(),,,,,,,,,。因此，此,,,,,,,,,,,,,EEeEeEikeikE()0Ek,000 式说明电场的波动是横波(在垂直于传播方向的平面内振动)，可选与垂直的k 两个互相垂直的方向为独立的偏振方向。 (3)又为什么说它是平面波,(1)因在垂直于的平面上，无论场点位置如何k ikxt(),,,=常数(平面的点法式方程)。(2)由位相因子看出，同一时刻垂xkxk,,'e直于的平面上位相相等，此垂面是等相面。因此此解为沿方向传播的平面电kk磁波。 注意到在平面单色波的求解过程中满足对应关系， , iki , ,,,,,t, ikxt(),,,从电场的表达式，可求出磁场 ExtEe(,),0 iiiikxtikxt()(),,,,,, ,,,，,,,，,,，BEeEikeE00,,, kkkk1=，,，,，,，,，,,,, EEEnEnEkk,,, k为波传播方向单位向量。 n,k BEBE,由以上看出平面单色波的、方向, , , Bk,Ek, ,,,B0其中也可由得出: Bk, ikxtikxtikxt()()(),,,,,,,,, ,,,,,,,,,,,,,BBeBeBikeikB0000 EBEB由上面看出、、是三个互相垂直的矢量，由相位因子还可看出、同位k 相，振幅比 EE1,,,,c，真空中 BB,, 可概括平面单色电磁波特征如下: ,B,D(1)由，，可得 ,，,,E,，,H,t,t ,kEB，,,,00 ,kBE，,,,,00, EB这表明电场磁场不独立，而且与互相垂直，振动方向与传播方向三者互相垂 EB，直，并满足右手螺旋法则。横波、，沿方向(由BnE,，,,Ek,Bk,k也可看出) 1EB(2)、同位相，振幅比为相速。(由) ,，BnE,, 平面波的理论价值，是三维空间波动的函数系。数学上称之为傅立叶分析，空间的波都可以写成平面波的叠加。实际生活中，多为平面波。多种不同频率的电磁波在介质中传播。由于波速不同，出现不同的分布-----称之为色散。 四、平面电磁波的能量和能流 由第一章第六节，电磁场能量密度为 11122 ,,，,,,,,，(,wEDHBEB())均匀介质22, E1122对平面电磁波 ,，即, ,EB,B,, 122平面电磁波的能量密度为 ,, ,wEB, 1而能流密度 ,，,， ()BnE,，,,SEHEB, 1,,2，，,，，,EnEEnEEn = ,,,,, 12,,,Enwn = ,, S还可计算、的瞬时值、平均值，由于能量密度和能流密度是场强的二次w 式，不能把场强的复数表示直接代入，这是因为 itit,,eett,,,coscos,,， S这就要求计算、的瞬时值时，应把场强的实部代入，即为 w 22wEkxt,,,,,cos()0 12，，,，,,Ekxt1cos2(),,0，，2 S实际上，、都是随时间迅速脉动的量，只需用到它们的时间平均值，即 w TT1112，，wwdtEkxtdt,,，,,,,1cos2()0,,，，00TT2 TT111，，2,，,,Edtkxtdtcos2(),,0,,,,00TT2，， 因为 T1dt,1,0T T1，，,kxtdt,,,cos2()0,，，0T 故得 2B1120,,, wE022, 同理可得 TT11ˆSSdtwndt,,,,,00TT 1,2ˆ,En02, ˆ从而得到 ,,Swn 这里给出复二次式求平均值的一般公式: 11,it,,，iti,,,若， ， ftfe(),gtge(),,,,fgfgfgcosRe()000022 第二节 电磁波在介质界面上的反射和折射 本节所要研讨的问题是:用Maxwell电磁理论来分析在介质的分界面上，电本节所要研讨的问题是:用Maxwell电磁理论来分析在介质的分界面上，电磁波将发生的反射和折射规律。 磁波将发生的反射和折射规律。 电磁波通过介质分界面时，发生反射和折射，我们要研究反射和折射规律，内容包括(1)运动学规律，入射面、反射角、折射角的关系，(2)动力学规律，入射波、反射波、折射波的振幅比和相位关系。运动学规律是直接从光在两种介质的分界面上的反射和折射现象的波动性质及其所满足的边界条件得出的，但不依赖于波的性质或边界条件。而动力学规律完全依赖于电磁场的特定性质以及边界条件。 研究电磁波反射折射问题的基础是电磁场在两个不同的介质界面上的边值关系。下面我们利用电磁场的边值关系来分析反射和折射的规律。 一、反射和折射定律(入射角、反射角、折射角的关系)Law of Reflection and Law of Reflection and Refraction (i.e. Phase Relation) Refraction (i.e. Phase Relation) 任何波动在两个不同界面上的反射和折射现象属于边值问题，它是由波动的 EB基本物理量在边界上的行为确定的。对电磁波而言，、是由的边值关系确定的。 因此， 研究电磁波反射和折射问题的基础是电磁场在两个不同介质界面上的边值关系。 第一章第五节, 我们由麦克斯韦方程组的积分形式导出了电磁场的边值关系 ， (面自由电流密度) nEE，,,()0nHH，,,(),2121 (面自由电荷密度)， nDD,,,(),nBB,,,()02121 在两种绝缘介质的分界面上是不可能有面自由电荷、面自由电流的，， ,,0,,0 , , , nEE，,,()0nHH，,,()0nDD,,,()0nBB,,,()021212121 ,B正如上节证明的，对频率一定的电磁波(时谐电磁波或单色波)，,，,,E,t ,D，,,,D0，,,,B0四个方程不独立，后二个方程可由前二个方程,，,H,t 导出，上面四个边值关系也是不能独立的(对单色波)，后二个可由前二个导出。 下面，证明边值关系式不是完全独立的这个问题。 a) 由法拉第(Faraday)电磁感应定律出发:因为 ,BEdldS,,,, ,,,L,tS 对于单色平面电磁波，上式可改写为 EdliBdS,,,, ,,,LS 设在介质?、?的分界面两侧分别取两个和分界面平行且完全相同的闭合回路，设在介质?、?的分界面两侧分别取两个和分界面平行且完全相同的闭合回路，如图所示: 如图所示: 对于两个回路有 EdliBdS,,,,11,,,L1S1 EdliBdS,,,,22,,,L2S2 考虑到，则 LLLSSS,,,,，考虑到，则 1212 EdliBdS,,,,11,,,LS EdliBdS,,,,22,,,LS 即 EdliBdS,,,,11tn,,,LS EdliBdS,,,,22tn,,,LS 两式相减得 ()()EEdliBBdS,,,, 2121ttnn,,,LS 如果即，故上式左边为0，则得到，即 nEE，,,()0EE,BB,,0BB,2112tt21nn21nn也就是说 ,与只有一个独立 nEE，,,()0nBB,,,()02121 ,Db)同理，由出发，对于单色平面电磁波，有 HdldS,,,,,,L,tS HdliDdS,,,,, ,,,LS 对于两个完全相同的回路 ,HdliDdS,,,,,11,,,L,,S ,HdliDdS,,,,,,22,,,L,S, 两式相减，有 ()()HHdliDDdS,,,,, 2121ttnn,,,LS 如果,即，故上式左边为0，则得到，即nHH，,,()0nDD,,,()0HH,212112tt DD,21nn 也就是说 ,与只有一个独立 nHH，,,()0nDD,,,()02121 因而，讨论单色波的边值关系时只须保留,。nEE，,,()0nHH，,,()02121 BHHB虽然是比更基本的量，但由于只与自由电流有关，而与磁化电流、极 H化电流有关。使用比较方便。 ,,当面的曲率半径，界面可看作平面。电场传到界面，界面上出现极化电荷，磁化电流，此时，场由自由电荷、传导电流，极化电荷、磁化电流共同激发。 假设:? 界面为的平面、无穷大平面，空间为介质2，空间为介z,0z,0z,0 z质1，即界面法向为轴正向。 ?由Fourier频谱分析可知，反射波和折射波与入射波一样，也是平面单由Fourier频谱分析可知，反射波和折射波与入射波一样，也色波。否则不满足边值关系。或者说由于要满足麦克斯韦方程组，所以是解。(麦克斯韦方程组完备性定理)，在这里要满足亥姆霍兹方程和边值关系即可。 ?由介质1射向介质2，介质1中总场强为入射波与反射波的叠加，介质2中只有折射波。 入射波 反射波 折 波 ,,,电场强度 EEE 波矢 ,,, kkk ,,,ikxt(),,,ikxt(),,,ikxt(),,,电场表达式 ,,,,,, EEe,EEeEEe,,000 在的平面上有一些边界条件，该平面上的一切点必须永远满足这些边界条z,0 ,,,件，()。这个事实意味着:在处，所有场z,0nEE，,,()0nEEnE，，,，()21 的空间和时间变化必须相同。因此，所有的相因子在处必须相等，即在边z,0界面上 EE,21tt 将平面电磁波代入上式有 ,,,,,,ikxtikxtikxt()()(),,,,,,,,,,,,[]EeEeEe ，,00000ttztz,, 要使该式成立，只要 ,,,EEE，, ,,00000ttztz,, ,,,,,,以及kxtkxtkxt,,,(指数因子相等)成立 ,,,,,,,,zzz,,,000 ,,,,,,,,, kxkytkxkytkxkyt,,,，,,，,,，,xyxyxy 因为,,都是独立变量，若相等，必有它们的系数应各自相等，即有 ytx有即有 ,,,(1) ,,,,, ,,,(2) kkk,,xxx ,,,(3) kkk,,yyy (1)式说明反射波、折射波的频率与入射波的频率相同。 取入射波矢所在的平面为平面，即选择坐标系使得，由此可得 k,0xozky,,, kkk,,,0yyy 即得出入射波矢、反射波矢、折射波矢在同一平面内，(1) ,,,设入射角为 ，反射角为 , ，折射角为 , , ,,,,,,,,,则有 ，， kk,sin,kksin,kksin,,,xxx ,,,,,,由(2)式 可得 kkksinsinsin,,,,, ,,,kk,,,其中 ,,，k,,,, 。 1122 ,因此有 ,,,， (2) ,,,,vsink,221 。 (3) ,,,,n21,,sinkv,,,211 这是我们熟知的反射和折射定律。对一般介质，除铁磁质外都有 。,,,0 n,,,因而介质2相对于介质1的折射率，但应注意，单色波的频率不,2121 同，就不同，这是色散在折射问题中的表现。 , 二、振幅关系 菲涅耳公式(入射波、反射波和折射波的振幅比和相对相位) Fresnel’s Formula(i.e. Amplitude Relation) 所谓菲涅耳公式就是在边值关系条件下求得的入射波、反射波和折射波的振 E幅关系。由于对每一个波矢有两个独立的偏振波，所以我们只需要分别讨论k E垂直于入射面和平行于入射面两种情形 ,,,EEEE，,1、垂直入射面 由 , (1) nEE，,,()0,21 ,,,,,, (2) HHHcoscoscos,,,,,nHH，,,()0,21 ,,k,,,，,，HEnE由第一节中 ， 得 HEE,,,(),,,0k,,,,0,,,112,,,,,,？ HE,HE,HE,,,,000 ,,,,,因此 ,,,,()coscosEEE (2) ,,12 ,,,EEE，,由下面三个式子联立 ? ,,,,, ,,,,()coscosEEE ? ,,12 ,sin,2 ? ,,,sin,,1 ,E,,,,,,,,()cos()cosEEEE可解出:?代入? ,,， 12E ,,EE,,两边同除 E,,,,(1)cos(1)cos,,，12EE ,E,,,, (coscos)coscos,,,,,,,,，,,1212E ,2,,coscos,,,,,coscos,,,,,,,E121 ,,E,,coscos，,,,,,122,,coscos，,,,1 sin,,,,coscos,,,,,,,sincoscossin,,,,,,sin, ,,,sin,,,,,，sincoscossin,,,,,,，coscos,,,,sin, ,,sin(),,,,, ， ,,sin()，,, ,,,,,,,EE2cossin2cossin,,,,1 ,，,,。(2.12) ,,,,,,EEsincoscossinsin()，，,,,,,, E(2)平行入射角 ,,,,, 由, ? EEEcoscoscos,,,,,nEE，,,()0,21 ,,, HHH，, ? nHH，,,()0,21 ,sin,2 ? ,,,sin,,1 联立可解 ,,,112,,,,,,将 代入? HE,HE,HE,,,,000 ,,, 即 ,()EEE，,,12 ,1,,,, 代入上式得 EEEEcoscos()cos,,，,,,,2 ,,,EE1,, 两边除 Ecoscos(1)cos,,，,,,EE,2 ,,,E11,,,, (coscos)coscos，,,,,,,E,,22 ,1,,sin,,,coscos,,,,,coscos,,,,,,,,,Ecossincossin,,,,,2sin, ,,,,,sin,,,,Ecossincossin，,,,,,,1,,coscos，,,,,coscos，,,sin,,2 1，，,,tg(),,,,,,,sin2sin2(),,,,,,tgsinsin,,,2 = ,,,,1,,,,sin2sin2(),，tgsinsin，,,,,,,,,，tg(),,，，2 ,,,,,,,,,,EEsincossincossin,,,,,,1,，,，(1)(1) ,,,,EEsincossincossin，,,,,,,2 ,,,,sin2cossin2cossin,,,,, = (2.15) ,,,,,,,,,sincossincossinsin()cos()，，,,,,,,,,,, ,,,,,,,,,,,,sin()cos()(sincoscossin)(coscossinsin),,,,,,,,,,,, ，,,，，, ,,,, =cossincossin,,,, ，, (2.12)、(2.15)两式称菲涅耳公式，表示反射波、折射波与入射波场强之 ,,,EE00比，也是振幅比(，)。因振幅满足同样边值关系 EE00 ,. nEE，,,()0nHH，,,()020102010 由两个式子可看出，垂直入射面偏振的波与平行入射面偏振的波的反射、折射行为不同。因而，如果入射波为自然光(两种偏振光的等量混合)，则经过反射、折射后，反射波、折射波都变为部分偏振光。 由(2.12)(2.15)可得到光学中的布儒斯特定律和半波损失。 (1)布儒斯特定律 ,,,,,E由(2.15)平行入射角，当,,，,90时，在 ，，即E,0tg(),,，,, 平行于入射面的分量没有反射波或反射波中没有平行于入射面的分量，反射光变为垂直于入射面偏振的完全偏振光，此即布儒斯特定律，满足此条件的入射角,称布儒斯特角。 (2)半波损失 ,E,,EE由(2.12)垂直入射面，当时，,,，对垂直入射面的情况，,,,,21E为负值，即反射波与入射波电场反相，这种现象称反射过程中的半波损失。光疏介质入射光密介质。 这些结果与光学实验完全符合。 三、全反射 ,sin,2由 可知，若 (光密介质入射光疏介质)， 电,,nn,1,,,211221,,sin,,1 ,,磁波由介质1入射，则折射角,,,，是固定的，而可变化， ,n21 ,2,,,,,,90当 时，sin1,, ， 折射波沿界面掠过，如果入射sin,,n,21,1 角继续增大，使 ，此时不能定义实数的折射角，将出现不同于一般,sin,,n21 反射、折射的物理现象，称全反射。 ,2在这种情况下( ，由1入射 sin,,n) ,,,,2112,1 ,,ikxt(),,,,,zx,,其电磁波解为 EEee ,0 z主要结果是，折射波电场强度沿方向(界面法线方向)指数衰减，即场强 只在于界面附近的薄层内。透入第二种介质中的平均能流密度为零，而反射波平均能流密度等于入射波平均能流密度，但透射波的瞬时能流密度不为零:在半个周期内电磁能量透入介质2。在界面附近薄层内储存起来，在另半个周期内，储存的能量释放出来，变为反射波能量。 第三节 有导体存在时电磁波的传播 在?1中讨论了电磁波在真空和绝缘介质中的传播，对真空及理想的绝缘介质(，不漏电)电磁波没有损耗，无衰减地传播。 ,,0 电磁波在导体中的传播，主要特点是:导体中有自由电子，在电场作用下会形成传导电流，引起焦耳热，使电磁能量不断损耗(变为热量)。因此，导体中的电磁波是衰减的。 一、导体中的自由电荷 1、导体内的电荷分布 对静电，导体内无自由电荷(否则，电荷流动，即未达到稳定)，自由电荷只能分布在 导体表面。交变情况下如何, 设导体内有自由电荷分布 , 由 麦克斯韦方程 ,,,D, DE,,电磁性质方程 JE,,欧姆定律 ,,电荷守恒定律 J0,,，,t, ,,,,得 JED,,,,,,,,,,,,,,,,t,,, ,其中表明当导体内某处有电荷密度,出现时，就有电流从该处向外流,,,J,, 出。从物理上看这是很明显的。因为假如某区域内有电荷积聚的话，电荷之间相 ,互排斥，必然引起向外的电流。由于电荷外流，每一体元内的电荷密度减小。的变化率由电荷守恒定律确定。 ,t,,积分后得出，其中为时的电荷密度 ,,,et,0,00 2、衰减的特征时间 上式说明，电荷密度随时间指数衰减，衰减的特征时间定义为:由衰,,0 ,,0减到所需要的时间间隔，以表示 。显然，导体的导电性越好(即电,,,e, 导越大)则越小，衰减越快。导体中的电荷衰减没了，起不了什么作用。 ,, 3、良导体的条件 1如果电磁波的周期，即 ，亦即， T,,,,, ,， ,,1,, 未达到一个周期时电荷已完全衰减掉。这就是导体内没有自由电荷的条件， 也就是良导体的条件。在良导体内部没有自由电荷分布，电荷只能分布于导体表 面上。静电时()，所有导体都是良导体。 ,,0 二、导体内的电磁波 1导体中的麦克斯韦方程组 ,,0由导体内，得麦氏方程组为 ,B,D， ,，,,E,，,，HJ,t,t ,,,D0,,,B0， 2、单色波解 复介电常数 (1)单色波解 单色波解若传播的是频率一定的电磁波，即时谐电磁波或单色波，仿照?1介质 中的情况， ,it,可令 ExtExe(,)(), ,it, HxtHxe(,)(), DE,,JE,,再考虑到电磁性质方程 BH,, ,，,,，HiEE,,,可得 ， ,，,EiH,, ,,,E0,,,H0， 这与?1中对自由空间(无电荷电流分布)，均匀介质，频率一定条件下的结果 ，,，,,HiE,, ,，,EiH,, ,,,E0， ,,,H0 相比，差别仅在于导体中，第二式多了,E项，如果引入“复介电常数” ,, i,，,,, ,则 ,，,,HiE,, 与介质中的方程完全一致，原来对介质得到的解的结果都可拿到这里来，只需把 ,换成，即可得到导体中的电磁波的解。 ,, ,(2)复介电常数的物理意义: , ,,，,,，,,HiEEiE,,,,,由 ,D,，H看出中的两项分别表示位移电流密度，和传导电流密度,,,,,iE,tJE,, 而传导电流与电场位相相同，其平均耗散功率密度， 11ikxt(),,,,2 EEe,JERJEE,,,,,()e0022 ,E而位移电流 与电场有位相差,其平均耗散功率密度， JD2 1, JERJE,,,,()0DeD2 ,因而,,的实部代表位移电流的贡献,不引起电磁波功率的耗散。 , ,,,的虚部代表传导电流的贡献，引起能量的耗散。 , (3)亥姆霍兹方程的解 相位常数 衰减常数 在绝缘介质中,电场的空间部分满足亥姆霍兹方程,因而,在导体内也满Ex() 22,,，,EkE0,,,E0k足亥姆霍兹方程。，这里的为。方程的解在满足k,,,, EHE的条件下代表导体中的电场。解出后,可由，求出。导体中，,，,EiH,, ikx,,也有平面波解 。由于的大小为复数,因而为复矢ExEe(),k,,,,kk0 量,设 ，则 ki,，,, ,,,,,,,xixt() ExtEee(,),0 可见波矢的实部描写波传播的相位关系,称为相位常数。虚部描写振幅,, 的衰减，称为衰减常数。只要求出，即可得到电磁波解 ,, 222由 ki,，,,ki,,，,()2,,,, ,222, 又 ki,,，(),,,,,,, 222得 ,,,,,,, 1 ,,,,,,,2 再加上边值关系，可解出矢量、 。 ,, 二、趋肤效应和穿透深度 (1) 穿透深度 趋肤效应 由于的作用，使电磁波在导体内衰减，对良导体，电磁波只能透入导体内, 表面附近的薄层内。对其它导体，透入的深度不同。下面我们具体讨论一下电磁 波透入导体内的深度及导体内的电磁场。 为简单计，只考虑垂直入射。 (0)z设入射波波矢为，透入导体内的电磁波波矢为，界面法线为轴 kk (0)(0)(0)因垂直入射 kk,,0 沿方向 ekxyz (0)(0)由边值关系 kk,,0kk,,0yyxx z只有分量 kieie,，,，,,,,kzz ikxziz,,,，,, ,,,,,zizt()导体内电场 EEee,0 当，出现振幅无穷大，只有时才是解。即沿Z轴方向振幅快速衰减。 ,,0,,0 1在这种情况下 (1) ,,,,,,,,,,2 222而又有 (2) ,,,,,,, 22211,,,2,,,由(1)式得 ,,,,,,224, 2221,,,22带入(2)式得 ,,,,,,24, 2422222,,,,,,,,,,，2解得 ,,2 2,221，，,,,,,,2222,,因>0 舍掉负根后得 ， ,,,2 122，，1, ， (11,，，,,,,,,222,,,,，， 2,221，,,,,,,,22222,,， ,,,,,,,,2 122，，1, 。 (11,，,,,,,,,222,,,,，， ,,22对良导体，因 ,,1ki,，(),,,,,, ,2k的虚部与实部之比，实部可略去不计 ,,1,, ,i22 kie,,,,,,,, ,i4 kei,,，,,,,, 1,,,,,,故 k(对良导体) ,,22 1使波幅降到导体表面处的深度称穿透深度，以表示 ,e 12,,z,,,e (衰减因子) ,,,, 穿透深度与电导率及频率的平方根成反比。例如，对于铜，当频率为100,, ,3,~0.710，cm兆赫时，。可见，对高频电磁波，电磁场及电流仅集中于表面很 薄一层内，这种现象称趋肤效应。 (2)良导体内磁场与电场关系 下面，看一看良导体内磁场与电场关系 由 iHE,,,,， 11ikxt(),,,ikxt(),,,，，HEeikEe， ,,，= 00，，,,,,ii ,i11k4 ,，,，,，,,,kEnEenE,,,,,, ,i,4,，enE ,, ,,H,,,,1由此看出，磁场位相比电场落后，而且 (在金属导体中) E4,,, E1BH,,H,,,1,,,而对真空或绝缘介质 由 ，，得 EEBE,,,, 因此，相对于真空或绝缘介质来说，金属中磁场比电场更重要。金属导体内的能 22量主要是磁场的能量，因 ,,HE,, 四、导体表面的反射 与绝缘介质的情况类似，可用边值关系分析导体表面上电磁波的反射和折 射。为简单计，只讨论垂直入射的情况，设平面单色波由真空入射到导体表面， 在界面处得到反射波和透入导体内的折射波。 E由?2的图4-4(a)，当垂直入射(垂直入射面)，且垂直入射面时 k ,,,EEE，, (1) ,,,HHH,, (2) ,,00,,因为 HE,HE,,,00 ,,,,0i,,,4,,,,,,,,,,HenEHiEiE(1)(1),，,，,,，而 ，可得 22,,,,,, ,,0,,,,,,因此由(2)式得 HHEEHiE,,,,,，()(1)2,,,00 ,,,,即 EEiE,,，(1)2,,0 ,,,EEE,，而由(1)式得， ,,,故 EEiEE,,，，(1)() 2,,0 ,,EE,同除得， E1(1)(1)i,,，，EE2,,0 ,1(1),，i2,,,E0 ,E,1(1)，，i2,,0 ,2,,0，,(1)1i，,1i2,,0, ,,,,2,,,0(1)1，，i，，1i2,,0, ,2SEn,反射系数定义为反射能流与入射能流之比(由?1 )可得， R, 2,,20,，(1)12,E,R, = E2,,20，，(1)1, 2,,,0因 ,, (良导体 ,,1) 1,,, 22,,,,00,，,121122,,,,2,,00 ,,,,,,R(1)1222,,,,,,00，，，1211,, 此式表明，电导率越高，反射系数R越接近于1，实验证实了这一点。对波长较 长的微波或无线电波(小)R更接近于1。因而，对微波或无线电波，常把金, 属看成理想导体。良导体内无电荷电流，能量全部反射出去。 例题:证明在良导体内，非垂直入射情形有 ,,,,,， ,,,,zzxz2 (0)z解:设入射波波矢为，透入导体内的电磁波波矢为，界面法线为轴，入kk (0)(0)(0)射面为。由边值关系kk,,0，。由于空间中波矢为kki,,，,,xzkyyxxxx (0)实数，可得， ,,k,,0xxx 222由波矢与矢量，的关系式，可得 ,ki,，,,,ki,,，,()2,,,,k ,222,又 ki,,，(),,,,,,, ,,2由良导体条件，的虚部与实部之比，实部可略去不计 k,,1,,1,,,, 222因此有， kii,,,，,,,,,,,,()2 22得 ,,,,0 111,2(0)2,,,,k ,,,,,,,,,,zz00222,,0(，与同级) ,,,,,00 11(0)(0)2(0)22由，和上式得。 ,,K,,,kk,,,0zzxxxxx22 12222，略去，即， ,,,，,,0,,,,,,,,,,,,,,xzzzzzzx2可得 ,,,故 ,,(对良导体)， ,,,,zzxz2 第四节 谐振腔 一、有界空间中的电磁波 前面第一节讨论的是无界空间中的电磁波，在无界空间中电磁波存在的最基本形式是平面电磁波，其电场、磁场都与传播方向垂直——沿横向振荡，这种类型的波称为横电磁(TEM)波。 由上一节看出，对导体，电磁波只能透入表面很薄的一层内。而对理想导体()，穿透深度为零，因而导体表面构成电磁波存在的边界，这一点有广,,, 泛的应用，例如可用金属制成波导管——中空金属管，用来传输电磁能量，以及中空的金属腔——用来产生一定频率的电磁振荡。 二、理想导体的边界条件 银或铜等金属导体，对无线电波来说，透入其内而损耗的能量一般很小，接 近于理想 导体。(良导体的很大，导电性好，为理想导体，电荷电流分布在导体,,,, 表面，内部没有电磁场) (1)两个介质界面的边界条件 在?2中我们曾阐明，对一定频率的电磁波(定态，能量不随时间变化)，在两种不同介质(包括一方是导体的情况)的分界面上的边值关系可归结为 nEE，,,()021 ( 由1指向2) nnHH，,,(),21 这两个边值关系满足后，其它两个关系 ， nDD,,,(),nBB,,,()02121 自然满足。 (2)一侧为导体另一侧为介质的边界条件 由于在导体一侧， 因而在介质(或真空)一侧有 E,0H,011 nE，,0nH，,, ， 这两个条件满足后，另两个条件 nD,,, ， nB,,0 自然能满足。(这是为什么,) (3)以导体为边界的电磁波问题的解 E对一定频率的电磁波， 满足 22,，,EkE0 ,,,E0 nE，,0 E,,,E0nE，,0实际求解时，往往先看，对边界电场的限制。若取界面 ,E,EyxzE0nE，,0,,为xoy平面(沿轴方向)，因 ，因此 EE,,0xy,,xy ,E,E,Eyxz0,,,，，,E ,,,xyz ,Ez即 0,,z ,En,,,E0一般地，不论界面坐标如何选取，都表现为 (法向) 0,,n 22,，,EkE0,,,E0即腔内电场满足方程 ,EnnE，,0边条件 ， 0,,n 理想导体的边界条件可以形象地表述为，在导体表面上，电场线与界面正交 ,EnnE，,0()，磁感应线与界面相切()。 0,,n EHE在理想导体情形下，我们先求，后求，原因是因为的边界条件是齐 H次式。而的边界条件是非齐次式。 数学上，我们知道求二阶微分方程，要知道其在某一点的值，还要知道其一 阶导数在该点的值。当然求阶的时候，要知道阶及其以下导数的值，即个n,1nn 条件。 在求解空间内部，要求满足满足亥姆霍兹方程与边界条件。只有这样的电磁 波才能存在。 (4)电磁波的模式 (i)TEM模式 ,,电磁波的电场，磁场均垂直于传播方向。 EH (ii)TE模式 ,,电磁波的电场垂直于传播方向，但磁场不垂直。 EH (iii)TM模式 ,,电磁波的磁场垂直于传播方向，但电场不垂直。 HE (5)例题(教材160页)证明两平行无穷大导体平面之间可以传播一种偏振TEM 电磁波。 证:设直角坐标系中的坐标轴y与两导体板垂直，边界条件为在两导体平面上， z设电磁波沿方向传输。 ikzt(),,ExyztExye(,,,)(,),xx0 ikzt(),,ExyztExye(,,,)(,),yy0 ikzt(),,ExyztExye(,,,)(,),zz0 由边界条件 EE,,0 xx,,0yyd EE,,0yy,,0yyd 可得 (在两导体板间) EE,,0xz 另一方面，由 eeexyz ,,EE,,,iiiyy= ,,,()ee,,,，HExz,,,,,,,,,xyzzx,, 00Ey ,Ey0，(或边界条件,) ,,H0y,y z若沿轴传播的平面电磁波的电场沿轴偏振，则此平面波满足导体板上的y 边界条件，因此可以在导体板之间传播。另一种偏振的平面电磁波(电场与导体面相切)不满足边界条件，因而不能在导体面间存在，所以在两导体板之间只能传播一种偏振的TEM平面波。 三、谐振腔 谐振腔的用途是激发一定频率的电磁振荡，LC振荡电路只能产生低频的振 1荡，因其激发的频率为 ，要产生高频振荡，要很小，但,L、CL、Cf,2LC 太小时，电感、电容不能使电场集中分布于它们内部，向外辐射损耗随频率提高而增大，另一方面由于趋肤效应，焦耳损耗将增大。因而LC回路不能有效地产生高频振荡。在微波范围，常用有金属壁面的谐振腔来产生高频振荡。在光学中，也采用由反射镜组成的光学谐振腔来产生近单色的激光束。 下面讨论谐振腔内的电磁振荡， 取金属壁面分别为，; ; xL,0,yL,0,zL,0,123 腔内电磁场的每一直角分量都满足亥姆霍兹方程。 EH若以 表 ，任一直角分量，有 uxyz(,,) 22,，,uku0 分离变量法，令 uxyzXxYyZz(,,),=X(x)Y(y)Z(z) 则亥姆霍兹方程可分，，，，，， 解为3个方程 2,dX2，,kX0x,2dx,2,dY222222 ，,kY0kkkk，，,,,,,,yxyz2dy,2,dZ2,，,kZ0z2dz, 得驻波解: uxyzCkxDkxCkyDky,,(cossin)(cossin),，,，,，，1122xxyy (cossin)CkzDkz，33zz ,En六个 ， 为任意常数，由 ， nE，,0确定 0,CDii,n y,0(1)界面，， x,0z,0 ,E,Exn0,对的面 即 即中含x的项是 x,00,,D,0Ecoskx1xx,x,n,0x eE，,0EE,,0nE，,0 即 即，中含E,Exyzyz,0x,0x,0x 的项是 。 xsinkxx ,Eny,0nE，,0同理，对 的面使用 ， 可得出 0,,n 中含y的项是，，中含y的项是 。 coskysinkyEEEyyyxz ,EnnE，,0对的面使用， 可得出 z,00,,n zz中含的项是，，中含的项是 EEcoskzEsinkzyzzxz 故 EAkxkykz,cossinsinxxyz1 (4.15) EAkxkykz,sincossinyxyz2 EAkxkykz,sinsincoszxyz3 (2)界面 ，， xL,yL,zL,123 ,Ex再考虑 面 sinsinsin0,xL,,,,AkkxLkykz111xyz,x,xL1 mk,, xL1 同理对 面、z=面， yL,L23 np,,,,kk可得 ， ,最多只能有一个为零，若两个(123,)mnp,,,,,yzLL23 为零，则导致整个电场为零) (面上;面上;面上已自动EE,,0EE,,0yL,EE,,0xL,zL,yzxy12xz3 满足) (3)本征频率 另外，由腔内,,,E0得 ()sinsinsin0,,,,kAkAkAkxkykzxyzxyz123 即 kAkAkA，，,0xyz123 m、、中只有两个是独立的(即只有两个场模)，当满足此式及k,, ， AAAx123L1 np,,， ,, 时，(4.15)代表腔内电磁场的一种可能模式，称为一种kkyzLL23 本征振荡。只有满足一定的条件时，相应的函数形式，即为本征态(固定频率)，也称为谐振频率。相应的器件称为谐振腔。对每一组值，有两个独立的(,,)mnp 偏振波型，谐振频率 1,mnp222222 其中， ,，，,，，k,,,,kkk()()(),mnpxyz,,LLL,,,,123 称为谐振腔的本征频率。若中有两个为零，则，，中有两,k(,,)mnpkkmnp,,yxz E,0个为零。故腔内 ，若 则最低频率的谐振波型为(1,1,0)，LLL,,,,123 其谐振频率为 ,1111,1,0 ,,，f1,1,0222LL,2,,12 1,,,,由 ， ，得到与频率相应的波长 f,1,1,0f,, ,2 ,, ,1,1,0f111,1,0，LL12 它与谐振腔线度 、同数量级。 LL12 微波技术中通常用最低频率的波型来产生电磁振荡，更高频情况下也用到谐振腔的一些较高波模。由于谐振腔有损耗，又要维持一定的输出功率，必须从外界供给能量来维持腔内的电磁振荡。一般用腔内电子束与电磁场相互作用把直流电源的能量转变为腔内高频电磁波的能量。 第五节 波导 一、高频电磁能量的传输 近代无线电技术如雷达、电视和定向通讯等都广泛地应用到高频电磁波，因此，需要研究高频电磁能量的传输问题。我们知道能量是在场中传播。在低频时，由于场与线路中电荷和电流的关系比较简单，因而场在线路中的作用往往可以用线路的一些参数(电压、电流、电阻、电容和电感等)表示出来。在这情况下，我们可以用电路方程解决实际问题，而不必直接研究场的分布。在高频情况下，场的波动性显著，集中的电容、电感概念已不再适用，而且整个线路上的电流不再是一个与位置无关的量，而是和电磁场相应地具有波动性质，此外，电压的x 概念亦失去确切的意义。因此，在高频情况下，电路方程逐渐失效，我们必须直接研究场和线路上的电荷电流的相互作用，解出电磁场，然后才能解决电磁能量传输的问题。 低频电力系统常用双线传输，频率变高时，为避免因电磁波向外辐射引起的损耗(正比于频率的四次方)及周围环境的干扰，可改用同轴线(电缆)传输(限制场的能量在圆筒层内)。频率更高时，趋肤效应明显(同轴线解决不了)、支持轴心导线的介质损耗也随频率的增大而加剧，同轴线传输的损耗也太大，要用波导。波导是一根空心的金属管，截面通常为矩形或圆形。波导适合于传输微波。我们只讨论矩形波导。 二、矩形波导中的电磁波 取管内壁为和; x,0xa, y,0和 ya, z取传播方向为轴。 与谐振腔相同的是管内电场(一定频率下)也满足 22,，,EkE0，,,,E0， nE，,0 EB与谐振腔不同的是电场、磁场要沿z轴传播，因而，都应有传播因子 ikzt(),,ikzzze，e为传输项沿z轴传播。因此取电场的空间部分为Exyz(, ,) ikzz，为依赖于的参量。 ExyzExye(, ,)(, ),Exy(, )(,)xy22,，,EkE0代入 22,,22()(,)()(,)0，，,,ExykkExy得 z22,,xy ikzz同理 BxyzBxye(, ,)(, ), 22,,22()(,)()(,)0，，,,BxykkBxy也满足 Bxy(,)z22,,xy 设，的六个直角分量中任一个为 Bxy(,)Exy(, )uxy(), 22,,22(),(),0，，,,uxykkuxy()()它满足， z22,,xy 分离变量，令u, uxyXxYy(),,，，，， 22dd22()YXXYkkXY，,,,则, z22dxdy 2211dXdY22，,,,(),kk方程两边同除XY得:，可分离变量， z22XYdxdy 221d1d222222Yk,,,令 ， 其中 kkkk，,,,Xk,,yxxyz22YdyXdx 22dYdX22，,kY0即原方程分解为两个方程:， 0,，,kXyx22dydx 特解:, ， XxCkxDkx,，cossinYyCkyDky,，cossin，，，，11xx22yyuxyCkxDkxCkyDky,cossincossin,，， ，，，，，，1122xxyy ,EnnE，,0对、的某特定分量，由,， 0Exy(,)Bxy(,),,n 可得到对常数的限制条件，这两个条件具体化为: ,Exxa,0,时 , EE,,00,yz,x ,Ey0时 , yb,0,EE,,0,xz,y ,Ex面,由 得中含的项是 x,00,Excoskxxx,x 由 得,中含的项是 EE,,0EExsin kxyzyzx ,Eyy,0面,由,0 得 中含 的项是 ycoskyEyy,y 由 得,中含 的项是 ysin kyEE,,0EEyxzxz ikzz因此 EAkxkye,cossin1xxy ikzz EAkxkye,sin cos2yxy ikzz EAkxkye,sinsin3zxy m,面, 由，得 EE,,0,kxa,yzxa n,面, 由，得， 多一个为零，否则电k,yb,EE,,0(,0,1,2,)mn,？yxza 场为零。 ,,,E0由，得,说明(,,)中只有两个是独立的，只kAkAikA，,,0AAAxyz123123 E有两个场模。对每一组值有两种独立波形(偏振)，解出后可由(,)mn i得到磁场 ,,,，。 HE,，,EiH,,,, EH注意，在矩形波导管内传播的电磁波，电场和磁场不能同时为横波.(证明) 例如，如果电场是横波，即()，即是 kke,Ee,E,0zzz ikzz 则由, 看出,或者, EAkxkye,sinsinm,0n,0(,0,1,2,)mn,？3zxy (二者不能同时取0，那样的话，，管内无电场), EEE,,,0xyz imn,,0,0,,,，例如则，则由 kkEE,,,,0,0,0,0HExyyx,, eeexyz ,,EE,,,iixx =，，即磁场不是横波，(),,,,eeH,0xzz,,,,,,,,,xyzzy 00Ex 通常选一种波模为横电波(TE)，另一种波模为横磁波(TM)。 三、截止频率 mn,,由上面讨论知: 满足它们由管截面的kk,,,,？,,(,0,1,2,)kkmnxyxyab 2222222ab,几何尺寸及波模决定。由于，如果电kkkkkk,,，,,，()(),,,mn,zxyxy ikz2222z磁波的频率使，则变为虚数，传播因子e将变为衰减因kkk,,，,,,,kzxy zabmn,,,子，电磁波在方向不断衰减，对确定的,在波导中传播的最低频率(使,c 222k即= =0的)称为该波模的截止频率。 kk，,k,0xyz ,mn22ab,波导一定，因而与有关，， ,，()()mn,,,cmn,cab,, 若则TE波有最低的截止频率， ab,10 21111v,,,， f,,,,cc,1.0,10,,22aa,22a,,,,,, c如波导管内为真空则，， f,c,102a c,,,2a截止波长(能传播的最长波长)，， c,10fc,10 由于波导尺寸不能做得过大，因而不能传播波长太长的无线电波，在厘米波段，波导用的最广泛，最常用的是波模是TE波。它具有最低的截止频率，而其10 它高次波模的截止频率都比较高。因此，在某一频率范围，我们总可以选择适当尺寸的波导使其中只通过TE波。 10 关于管壁上的电流问题我们不讨论。 第六节 等离子体 当物质的温度升高或受到电离时，电子和正离子分离，形成由电子和正离子组成的物质状态，这种电离物质在宏观上保持电中性，称为等离子体。 等离子体物质在天体物理及受控核聚变等领域有着重要应用。 本节主要讨论等离子体的电磁性质，讨论的依据是麦克斯韦方程组。因为麦克斯韦方程组是电磁现象普遍适用的，正如我们在讨论介质中的电磁场和导体中的电磁场时，除了麦克斯韦方程组，还要考虑介质和导体的电磁性质方程一样，现在 我们也要考虑等离子体的电磁性质的方程。所不同的是等离子体的电磁性质方程比介质和导体的复杂。我们不做一般讨论，而是在某些特殊条件下做简化处理。 一、 等离子体的准电中性和屏蔽库仑场。 等离子体处于热平衡，在原点处放置一个静止的正点电荷q ，其电荷x,0 密度为 。设放置点电荷前，热平衡条件下，等离子体中正离子密度分布为qx,() ，负离子(电子)密度分布为。置入点电荷后，正负离子密度分布将nx()nx()ie0 改变，因负离子受到q的吸引，而正离子受到q的排斥，这三部分点电荷共同作 ,用产生电场和电势 。进一步假设正离子分布不受影响，仍为热平衡下的分布 exkT,()/，负离子的分布将是玻尔兹曼分布 ， nxe() n,nx()ieeo 因为电子在电势,下的能量为,e, ，于是电势,为满足泊松方程 2z 其中为正离子的电荷数。 ,,,,,,，,znenxqx()()ie0 e,假设 ，有 ,，(1)kTe,,,nneeokT 2e,2因此 ,,,,，,()()znnenqx,,,ieoeo0kT 由于在外加点电荷前，等离子体宏观上是电中性的，因此。 qZnn,ieo 2e,2故 ,,,()nqx,,,eo0kT kT,20若令 ,,2neeo 1q2则有 ,,,,,, ()()()xx2,,0 这个方程的得出是电场和等离子体相互作用的结果———电场改变热平衡下电子密度的分布，而电子密度分布的变化，又反过来激发电场。 1等离子体内泊松方程比真空中的方程多了一项 ，其解为 ,,2, r,q,,()xe, 4,,,0 这个电势称为屏蔽库仑势，因而当时很快趋于0， 它表示短程相互,r,,, 作用，作用力程，称为屏蔽长度，外加电荷在的范围内被吸引来qr,,,r~, 的电子所屏蔽。 ,,()x,,,xx/,e()'xedV,等离子体内任意外电荷分布产生的电势为 ,,()xe,4'xx,,,0 不加外电荷而由于等离子体内电荷密度的涨落而产生的净电荷分布也应该服从同样的规律，即局域净电荷的影响在屏蔽长度之外被消除。因此，在线度, l,,,的范围内可把等离子体看成电中性的，称为准电中性。 二、等离子体震荡 等离子体在热平衡时是准电中性的。若等离子体内部受到某种扰动而使其中一些区域内电荷密度不为零，就会产生强的静电恢复力，使等离子体内电荷分布发生震荡——电荷密度随时间周期性变化。这种振荡是由于电场和等离子体内的流体运动相互制约形成的。 忽略正离子的运动，只考虑电子流体的运动。设电子密度为n，速度为，v电子流体的运动满足连续性方程 ,n ，,,,()0nv,t d,,,及运动方程 mmeE(),，,,,,,,dtt, d其中是电子速度的运流导数，既随电子一起运动的观察者观察到的电子vdt 速度的时间变化率。上式中忽略了电子流体的粘滞性和因热运动引起的压强。 设平衡时电子的密度为。由于平衡时电子的电荷密度被正离子的电荷密度n0 所抵消，因而产生电场的电荷密度是偏离平衡的值 ,,()nne0 ()nne,,0 ,,,,,E,,00 上面三个方程是等离子体的流体运动与电场相互制约的方程。 ,只考虑平衡态附近的微小振动，即是一级小量，也是一级小量，vnnn,,0第一式化为 ,,, ()()0nnnvnv，，,,，,00,t ,n0其中，而nv'是二级小量，故有 ,0,t ,,n ，,,,nv00,t ,ve第二式中是二级小量，故 vv,,,,E,tm ,ne而 E ,,,,,0 ,下面由这三个式子求解n。 ,e对第二式两边求散度 ,,,,,vE,tm 22,ne,n0,n0，,两边分别用第一式、第三式代入得， 2,mt,02ne20,,令 ,m,0 2,en2, ,0，,np2,t it,p有解 ，称为等离子体频率 ntne'()'(0),,, 1012,31010m大气中的电离层是稀薄的等离子体，约为—，它的等离子体n0频率 ,p约为1—10MHz f,p2, 以上是忽略热运动产生的压强而近似导出的。如果考虑压强的作用，等离子体振荡可在空间中传播，形成等离子体波。 三、电磁波在等离子体中的传播 下面研究电磁波在等离子体内的传播。决定其传播规律的仍是等离子体的流体运动与电场的互相制约。只不过这种情形下的电场包括两部分——自身产生的电场和外电场。电磁波的磁场对电子的作用可以忽略。 EEie ,n,决定流体运动的方程为 n,0，,,,0t, ,,e在与上面的讨论同样的近似下 (),,，EEie,tm e,,,，,,()决定电场的方程为 EEn ie,0 而电磁波的电场 ,,,E0e e,,,,,En故电场的方程为 i,0 ,e取第二式的散度 ,,,,,,,Ei,tm 2,n,,将第一式，第三式代入后，仍得 ，即仍有电子密度的振荡。 ,n0，,,2t, 把等离子体振荡部分单独考虑之后，电子受电磁波的作用的运动方程为 ,ve ,,Ee,tm 而电流密度为 Jnev,,0 ,,vJ1,,故 ,,tnet0 2ne,J0 ,Ee,tm 这是在电磁波作用下，稀薄等离子体的电磁性质方程 ,it,对时谐电磁波 ExtExe(,)(),ee ,J, ,,iJ,t 2ne0代入上面的方程有 , JiEe,m 如果把上式写成欧姆定律的形式，的形式 JE()()(),,,,,e 2ne0 则 ,,(),im, 纯虚数的电导率表示电流与电场有90度的位相差，因而没有焦耳损耗。回顾导体内电磁波的传播，复电容率 ,, ,，i,,, 22nene00,把代入得，有效电容率 ,,,,,,i2mm,, 等离子体内电磁波波数(波矢的大小) 2ne0,k,,,,,,,,,() 002m, 22nene,00取 k,,,,(1)1,,,,,,00022cmm,,,,00 2,,p,,1 2c, 上式告诉我们，电磁波在等离子体中的传播情况取决于两个因素，一是电磁波本身的频率，另一个是等离子体的频率。当k,,,,,pp时为实数，电磁波可 c以在等离子体中传播，且传播的相速度大于真空中的光速(因等离子体折射率 2,,n,,,11)。当k,,,p2时为纯虚数，电磁波无法穿过等离子体，而在进入, 其表面后很快被反射回来。地球上的短波广播能传到很远的地方，就是通过大气 中电离层的反射实现的。