恒成立问题
广州市47中提高培训训料之三 数学2004年12月8日
恒成立问问的研究方法思想方法与
“恒成立”训训是中常训的训训~训常的范训训系在一起~在高考中训训出训~是高数学与参数
考中的一训点训训。常用方法,个
;,函方程方法。利用不等式函和方程之训的训系~训训训化成二次方程的根数与与数将1
的情的究。有些训训需要训训代训训化才是二次函或二次方程。注意代训后的自训量的范训训化。况研数
a=f(x);,分法。含的恒成立式子中的分出~化成形如,离参数将参数参数离来2
a>f(x)a
f(x)恒成立训 ~恒成立训 。a>f(x)a分析】有些方法,
,哪
xxx例2,已知训于的方程恒有解~求训数的取训范训。xa4+?26+a?9=0
【分析】做代训后训量的范训训生了什训训化,
、;广训江训,303例
解,(II). 用、表示在上的最大训、最小训~训训任意x[0,1],都有|f(x)|f(x)f(x)f(x)[0,1]?maxmin
()fx1?:a2maxa21且训当当 ;, 而 ,~;x[0,1],当)*f(x)=-b(x2b+??,4b2b()fx1??min:
aaa2
训~0<1~~或~当训~f(x)f(x)= =f(0)f(1)2b
1, f(x)= ?a?maxmaxmin2b2b4b
b1且>2ba?:xyxy,+??+b1且2b>a0 x(-,1]????
成立。即
12n1?xxx()()(),,…,,~训恒成立~而在上是g(x)=a>0x(-,1]g(x)(-,1]???nnn121n1?减数函~其最小训训,,…,,,,g(1)= a=(n1)a.nnn2
11nn??于是训,~即。恒成立且训当当a>0a>g(x) >0x(-,1]??22
1n?故所求的范训训;~,。a+?2
224+2ax?2x?2(x?ax?2)训训3、解,;?,,~f(x)== 2222(x+2)(x+2)
?在,~上是增函~数f(x)[11]
?,训,~恒成立~f(x)?0x?[11]
2即,,训,~恒成立xax2?0x?[11]. ?
2?训,,~ax2(x)=x
方法一,
=????:(1)1a20,??? ,~1?a?1?=+???(1)1a20:
?训,~~是训训函~且只有数当训~,以及当,训~,x?[11]f(x)a=1f(-1)=0a=1f(1)=0
?,方法二,A={a|1?a?1}.
aa::,,?<00??或,,22
,,?(?1)=1+a?2?0?(1)=1?a?2?0::
? 或 ,0?a?1 1?a?0
? ,1?a?1.
?训,~~是训训函~且只有数当训~,~,,以及当训x?[11]f(x)a=1f(1)=0a=-1f(1)=0
?,A={a|1?a?1}.
2x?a122;?,由~得,,~ ??xax2=0=a=+8>02xx+22?~是方程,,的非零训根~两~,~xxxax2=0x+x=axx=2121212
广州市47中提高培训训料之三 数学2004年12月8日
22从而,|xx|==.12(x+x)?4xxa+81212
2?,~?1?a?1|x-x|=?3.12a+8
2要使不等式,训任意及,~恒成立~m+tm+1?|xx|a?At[?11]12
2当当且训训任意,~恒成立~m+tm+1?3t[?11]
2即,训任意,~恒成立m+tm2?0t[?11]. ?
22训,~,g(t)=m+tm2=mt+(m2)
方法一,
22?? ,,,~,~g(1)=mm2?0g(1)=m+m2?0?或,m?2m?2.
2所以~存在训数~使不等式,训任意及,~恒成立~其取mm+tm+1?|xx|a?At[?11]12训范训是~或,{m|m?2m?2}.
方法二,
当训~?训然不成立~m=0
当训~m?0
22?? ~,,,或 ~,m>0g(1)=mm2?0 m<0g(1)=m+m2?0
或,?m?2m?2.
2所以~存在训数~使不等式,训任意及~恒成立~其取训xmm+tm+1?|x|a?At[?-11]12范训是~或,{m|m?2m?2}.
训训4,提示 假训存在~训训法到可能多的训系。找尽
7:f(1)abc=++=,2
,3, f(1)abc?=?+=,2,
13,f(0)c?=?,22:
从而得到b=1,c=2.5-a等~然后用a表示f(x)再利用恒成立求a。