刚体转动惯量

刚体转动惯量 2-3 力矩 转动定律 转动惯量 求 摩擦力对 y 轴的力矩 在定轴转动中，力矩可用代数值进行计算 例如 2. 刚体对定轴的转动定律 在国际单位中 k = 1 刚体的转动定律 讨论 (2) 力矩相同，若转动惯量不同，产生的角加速度不同 (3) 与牛顿定律比较: 3. 转动惯量 刚体绕给定轴的转动惯量 J 等于刚体中每个质元的质量与该质元到转轴距离的平方的乘积之总和。 定义式 质量不连续分布 质量连续分布 物理意义 转动惯量是描述刚体在转动中的惯性大小的物理量。 它与刚体的形状、质量分布以及转轴的位置有关。 计算转动惯量的三个要素: (1)总质量; (2)质量分布; (3)转轴的位置 (1) J 与刚体的总质量有关 例如两根等长的细木棒和细铁棒绕端点轴转动惯量 (2) J 与质量分布有关 例如圆环绕中心轴旋转的转动惯量 例如圆盘绕中心轴旋转的转动惯量 (3) J 与转轴的位置有关 4 平行轴定理 例 均匀细棒的转动惯量 (2) (薄板)垂直轴定理 x,y 轴在薄板内; z 轴垂直薄板。 例如求对圆盘的一条直径的转动惯量 已知 (3) 几种刚体的转动惯量 下面给出了一些常见刚体的转动惯量。 请注意在转动惯量的计算中，转轴位置的重要性。 5. 转动定律的应用举例 例 一轻绳绕在半径 r =20 cm 的飞轮边缘，在绳端施以F=98 N 的拉力，飞轮的转动惯量 J=0.5 kg?m2，飞轮与转轴间的摩擦不计， (见图) 求 (1) 飞轮的角加速度 (2) 如以重量P =98 N的物体挂在绳端，试计算飞轮的角加速 解 例 一根长为 l ，质量为 m 的均匀细直棒，可绕轴 O 在竖直平 面内转动，初始时它在水平位置 解 取一质元 重力对整个棒的合力矩等于重力全部 集中于质心所产生的力矩 对一有限过程 从上式看到:外力对刚体所作的功等于合力矩对角位移的积分，它是力做的功在刚体转动中的特殊表现形式。 讨论 (1) 合力矩的功 (2) 力矩的功就是力的功。 (3) 内力矩作功之和为零 3. 转动动能定理 ——力矩功的效果 对于一有限过程 绕定轴转动刚体在任一过程中动能的增量，等于在该过程中作用在刚体上所有外力所作功的总和。 这就是绕定轴转动刚体的——动能定理 对于包括刚体的系统，功能原理和机械能守恒定律仍成立: 系统外力所作的功与系统非保守内力所作的功之和等于系统机械能的增量。如果只有保守内力做功，系统的机械能也守恒。 例 一根长为 l ，质量为 m 的均匀细直棒，可绕轴 O 在竖直平 面内转动，初始时它在水平位置 解 由动能 定理 此题也可用机械能守恒定律方便求解 2-5 刚体的角动量守恒定律 (对定轴) 质点对某一定点的角动量: 该质点所受的外力对同一定点的力矩: 质点的角动量和角动量定理: 可以证明，此角动量定理同样适用于质点系(包括刚体) 2. 刚体定轴转动的角动量定理 由转动定律 (动量矩定理积分形 式) 刚体绕某定轴转动时，作用于刚体的合外力矩 等于刚体绕此定轴的角动量随时间的变化率。 定轴转动刚体所受合外力矩的冲量矩等于其动量矩的增量 具有普遍意义 3. 刚体定轴转动的角动量守恒定律 对定轴转动刚体 普遍的形式:M = 0 时 L = 恒矢 角动量守恒定律可表述如下: 当作用在刚体(或几个刚体组成的系统)上的外力对固定转轴的合力矩为零时， 这刚体(或几个刚体组成的系统)对该轴的角动量守恒。 角动量守恒的三种情况: 例 一长为 l 的匀质细杆，可绕通 过 中心的固定水平轴在铅垂面内自由转动，开始时杆静止于水平位置。 一质量与杆相同的昆虫以速度 v0 垂直落到距点 O l/4 处的杆上， 昆虫落下后立即向杆的端点爬行，如图所示。若要使杆以匀角速度转动 求 昆虫沿杆爬行的速度。 解 昆虫落到杆上的过程为完全非弹性碰撞,对于昆虫和杆构成的系统， 合外力矩为零，动量矩守恒 转动定律 使杆以匀角速度转动 其中 代入得