NA列的中心极限定理

NA列的中心极限定理 第31卷第1期 2011年2月 桂林理工大学 JournalofGuilinUniversityofTechnology VolI31No.1 Feb.20l1 文章编号:1674—9057(2011)01—0153—03 NA列的中心极限定理 伍艳眷,孙梦雅,王大王, (1.桂林理工大学理学院,广西桂林541004;2.广西民族大学国际教育学院,南宁 530006) 摘要:讨论了有界NA列的渐近正态问题,利用截尾以及构造函数的方法,在 Lebesgue条件下,得 到了NA序列的中心极限定理并给出了证明. 关键词:NA序列;渐进正态性;中心极限定理 中图分类号:O211.4文献标志码:A 1引言和引理 1983年Joag-Dev和Proschan引入了NA(neg— ativelyassociated)的概念,由于NA在可靠性理 引起 论,渗透理论和多元统计分析中应用广泛,了人们的高度兴趣,本文给出Lebesgue条件下NA 序列的中心极限定理. 定义1?称r.v.列.,,…,,n?2是 NA的,若对{1,2,…,}的任意两个非空子集A, ,均有cov(Z(,i?A)(,J?A:))?0,其 中,i:1,2,是关于各变元单调的函数.称r.v.列 [X,n?1]是NA列,如果对任意n?2,X.,,…, 是NA的. 定义2设.厂为R上的实函数,V0<?1,有 llli=sup{I/-()一/Y)I/I一YI;?R,Y ?R},={/:R—R,且ff川<?f. 引理1设,,…,为NA变量,有 EL<?,则VA?R,J=I,…,n,有 t ^n lIEexp(?A)一旦EexP(A)J』1 ?一2?IAiA』Icov(X,).1?《J?n 引理2设.,X,…,为相互独立的随机 变量,有E,=0,并对于某0<?1,有EIl <??=1,…,n,又设,:R—R且二次可微,满足 ll<?,则 }Ef(S/Sn)一l?cIIf,,lE. 其中:s=(Es2o)=(?E()1/2,I为标准正 态分布函数. 引理3设{X;n?l}的P阶矩存在,当0 <P?1时是任意随机序列,当P?1时是NA零均 值序列,则Vo<P?2,有E(m. axII)?.E lI. 引理4r.v.列{,n?1}是NA的.Vm? 2,A.,A,…,A是集合{1,2,…,n}的两两不交的非 空子集,如果,i=1,2,…,m,对每个变元单调. (1)(,?A),…(??A)仍是NA 的. (2)如果?0,i=1,2,…,m,则E(曩(, ?A,))?HE(??A). 注:本文中出现的常数C在不同的地方可能取 不同的常数. 2主要结果及证明 定理设{X,n?1}是NA列,, II?IYla.s.(n?1),ElYI<?,满足EX= 收稿日期:2010—05—31 基金项目:广西自然科学基金项目(2010GXNSFA013121);桂林市科技项目(市科 [2009]32) 作者简介:伍艳春(1964一),女,副教授,研究方向:数理统计,wyc@glite.edu.cn. 引文格式:伍艳春,孙梦雅,王大王.NA列的中心极限定理[J].桂林理工大 学,201l,31(1):153—155 桂林理工大学2011年 0,0<maxEX<o.及 J?0n liraE(.s/n)=or>0,(1) 存在严格单调上升的自然数列{n},0=l"t.<n< 2<…,对某一个0<?1满足171,^:一n, ? k=1, (2) V?N,r-v.s=?X,设S一相互独立,必 有S./~/E一N(O,1). 证明由式(1)可知,当I1,足够大时,有ES: ?cno 在式(2)条件下,由级数的收敛性可知,m/n 一0(k一..),根据单调有界性原理:jk有m/n ?1,结合引理3, V>0,P(…maxISrII_Jl>~/n)j?,?.… 《(1/nk_1)E. m 和 axSn~i,J ).?.1E'. ?cmkE霹一cmk=c(+老)n一ll《J?mn,1\几}一1 ,n ?cm/n_0,k?. 令X3一=一南Itx娟+X3lttx+^5lXYi=xi一 EXi,z}=Xi—YJ, 则Xj,,都是的非降函数,由引理4知{}, {},{}仍为NA列,且有E=0,E=Oo结合 条件0<maxE<?,有1?,《J 1E( j 主=l )?nE? j=l E(一) = E[(一)(,(I+,(1)] ? … ' - Z一 [EX~I(-+jP(Il>)] ?寺[E蝴十jP(Il>)] ?maxE~2I(扔一0, 那么V>0,由Markov不等式知 P(去f骞f>占)?E(砉).一.. 所以 E(砉).:1E(j=l(一)) = E+IE(砉)一EIS(n)] 《2一 (Es(宝)] 《2一(maxEX~)【E()】"一2>0. 由上可知,为证明定理成立,只需证明 厂———d (?)//E(?)一N(O,1),一?.(3) 记=?,=?=?,G(u)= P(/厨<"),"?R. 依据Lebesgue控制收敛定理,EUk=0,EIUk ,Vp>0.由式(3)知,要证明定理的结论成 f<? 立,只需要证明 Vu?R,有limG()=(u).(4) 下面证明式(4)成立. j"?R,Vs?(0,1],构造函数,g:R— R,均三次可微,并且 (),g()?[0,1]; ?c,={::;+: ():{-,?8; tO,?u; ??(0,1],使Il"ll?CoO一,lIglI? c 2一 . 当=1时,上述满足条件的函数存在]. 当?(0,1)时,只要令()=U+(一 ?)/占),g()=g(?+(—u)/e). 显然V?(0,1),有Eg(/?E)?(u) ?EL(/4ET), 即Eg(L/?E)一(u)?G(u)一(")? (/VET:)一(). 所以, IGk(u)一(u)l?fE(/厨)一dl+ 2lEg.(TJ)一deb}+ Jff,dq~一()l+2ld一(")} 垒,】+2,2+Iff,dcb一(")I+2f』g.d一(")I 第1期伍艳春等:NA列的中心极限定理l55 ?,l+2,2+Ilfd+2IlgIdeJ"J"一 ? ?+F ?,1+212+2IdO(u) ?Il+2,2+48/~//2订_,1+2,2,0. 下证,.一0. 由引理2知: ,?cIIf"Il(ET:)小?E()J=l k =cIIf"II(ET:/n)一n卜?E()j=l 一cIIfO"-l-~tni卜?E()』=1 ?cn卜(EI+(茎EI,2+)) 《卜(EI+(mm… ax . 皤)?) 一nk一?EII+ni卜?1 一nk 小?EII2+a.(5) 下证?一EIl<?. 由C不等式, ?小EII ??一c+(EIl+(EII).) ?J.一一2G+E.J《一E.' =c ?J-小EII(+,(一,) =c ?广ElI"别+c?广' EII.,(1xJ) 《厂卜m《,?axEI) ? 小Ell,")) = ?厂卜maxEIII(i-I<x') ?i-o/2( 1 maxEIl,(厢1) ?.EII,(厢 =maxExy<o..1《《n 根据Kronecker引理,nk小?EIf一0,』I 所以,.一0. 同理,2—0. 所以Gk(u)一(u)一0,即S~/(), 结论得证. 参考文献: [1]JoagDevKF.Negativelyassociationofrandomvafibleswith applications[J].AnnStatist,1983,11:286—295. [2]NewmanCM.Asymptoticindependenceandlimittheorems forpositivelydependentvariables[J].InequalitiesinStatis. ticsandProbability,IMSLectureNotes—MonographSeries, 1984,5:127—140. [3]BuyerPL,HahnL.Generaltheoremsonratesofconver- genceindistributionofrandomvariables1.genrallimittheo— roms[J].J.MultivariateAna1.,1978,8:l8l一201. [4]杨善朝.随机变量部分和的矩不等式[J].中国科学:A 辑,2000(3):218—223. [5]吴群英.混合序列的概率极限理论[M].北京:科学出 版社.2006. CentralLimitTheoremofNASequence WUYan—chun.SUNMeng—ya,WANGDa-wang (1.CollegeofScience,GuilinUniversityofTechnology,Guilin541004,China;2.CollegeofInternationalEd_ ucation,GuangxiUniversityforNationalities,Nanning530006,China) Abstract:TheasymptoticnormalityoftheboundedNegativelyAssociatedSequencesisdiscussed.Theearly papersontheasvmptoticnormalityforNAsequenceassumedthatthesequencewasidenticallydistributedand strictlvstationary.However,thisisnotalwaysthecaseinmostapplication.Inthispaper,themethodsofcut- tingofftailandconstructingfunctionareusedundertheLebesguegconditions,withcentrallimittheoremfor NAsequenceandprovement. Keywords:NAsequence;asymptoticnormality;centrallimittheorem