海上漂浮平台的漂浮规律

海上漂浮平台的漂浮规律 周超骏曹 沅 ()上海交通大学, 上海 200030 () 摘 要 本文提出了用双三次贝齐尔 B ezie r曲面拟合水上水下工程结构物, 包括海上平台、 深潜器和各种类型的船舶。用曲面方程, 精确计算船舶的静力性能, 然后同传统近似的计算静力 性能的数值作一比较, 指出精确与近似计算结果的误差范围, 供人员参考应用。 关键词 数值积分 贝齐尔曲面 静水力曲线 1 前言 在船舶静力性能计算中, 经常计算船体曲面的外形的形状的特征, 如横剖面及水线面的 面积、体积以及这些面积和体积的形心等, 由于以往船体外形设计都是手工设计, 是用一组 离散的型值来描述复杂的船体曲面。 众所周知, 在这些计算中, 常用数值积分方法, 用梯形 法、幸浦生法等进行近似计算。 梯形法是用若干直线段组成折线近似代替曲线; 辛浦生法是 用若干段抛物线近似代替曲线。这两种方法的收敛性均依赖于积分步长的无限收缩, 也就是 要在船长方向增加站号及船高方向增加水线根数, 用一些插值方法得到更多的型值。而这与 习惯的作法相悖, 通常的船体线型是取 20 站左右的型值来进行数值积分。 这样就给数值计 算带来了一定的误差。 () ) ( 我们知道, 对一可积函数 , ? [ , ]来说, 如果 " 存在, 那么梯形法的误差是:f x x a b f x b b - a b -a 1 2 ( ) ( ) ( ) ( )其中 Ν? [ a , b ]x dx = f " Ν + O T - f n 4 ?n n n a (4) () 如果 存在, 那么辛浦生法的截断误差是 f x b b - a b - a 1 () 4 4 (( )( ) ) ( ) 其中 Φ? [ a , b ]f Φ + O S - f x dx = 2n 6 ?180 2n n a 由上述二式可知, 即使我们在每一站号上积分横剖面线时的误差不计, 仅仅考虑船长方 a b-a b-a b-a b-4 2 ) ( ) ( 的数值也不少。此) ( ) ( 与 向的积分误差, 当船长 - 的值较大时, ba n n 180 2n (4) ) () (时, 只有寄希望于 " , 是小量。 f Νf Φ 一般情况下, 传统的近似计算结果, 也能满足工程设计上要求, 但与精确计算结果的误 差到底是多少, 设计人员心中是没有数, 还缺乏理论上的保证, 特别对一些静力性能要求很 高的重要水上结构时, 用近似计算的结果, 还是有点不放心。 2 精确的算法 来示, 然后, 应用梯形法或辛浦生法近似计算船舶静力性能。 数学船型的出现, 使船舶静力性能的精确计算有了可能。 尤其是曲面法, 即用 参数曲面来描述船体曲面, 就可以用一种简单的积分公式精确的计算船舶静力性 () 对于双三次贝齐尔 曲面, 其曲面方程如下:B ezie r ()x u , v 3 3 0 ? u ? 1 ψ ο () ()()() y u , v = bB u B v P u , v = i ji, 3 j , 3 ?? i= 0 j = 0 0 ? v ? 1()z u , v ο ()() : 曲面特征多边形顶点式中bij i, 3 、j , 3 为伯思斯坦基函数 B u B v 双三次贝齐尔曲面, 共有 16 个特征多边形顶点, 其中曲面边界线上 12 个顶 曲面外形的轮廓线的形状, 中部四个顶点决定曲面的凹凸的形状。 3 3 () (() () ) = 1- = 1- B 0, 3 u B 0, 3 v u v 2 2 ) ) () (() (= 31- u = 31- v B 1, 3 u u B 1, 3 v v 2 2 () (() (= 31-) = 31-) B 2, 3 u u B 2, 3 v v u v 33() () = = B 3, 3 u u B 3, 3 v v 曲面方程对参数 u , v 的偏导数3 ψ τ () () 3B u d i- 1, 2 iP u u , v =? i= 0 3 τ ο ()a B v 式中 d =ijj , 3 i ? j = 0 ο ο ο a = b- b i = 1, 2, 3 j = 0, 1, 2, 3 ij i j i- 1, j3 ψ ψ ο () () P u , v = 3B v Θv j - 1, 2 j? j = 0 3 ο ? ()式中 Θ= cB u j iji, 3 ? i= 0 ο ο c= b- j = 1, 2, 3 ij i j bi = 0, 1, 2, 3 i, j - 1 ψ ψ ψ ψ ()() 为了简便, 常记 P u = P u u , v P v = P v u , v 很清楚, 曲面的体积由下式来计算 () 5, z x () (() () ) V = y x , z dx dz = y x u , v , z u , v du dv| |() 5u , v κκD x z D uv () = y u , v | x u z v - x v z u | du dvκ 0, 1; 0, 1 曲面体积的形心位置由下式计算 () () = x b x u , v y u , v x u z v - x v z u du dv v||ƒκ 0, 1; 0, 1 () () z = z , v , v z - x z | du dv v ƒb u y u | x u v v u κ 0, 1; 0, 1 3 () () 式中 x u = x u u , v = 3B i- 1, 2 u d i? i= 0 3 ()d i= a iBj j, 3 v? j= 0 3 ()Θ= cB u j i jj , 3 ? i= 0 c= x - x j = 1, 2, 3 ij i j i, j - 1i = 0, 1, 2, 3 , 的计算式和 , 相似, 只不过把 , 中多边形 分量换成多边形 的分量。z u z v x u x v x u x v x i j z ij 曲面的表面积由下式计算 2 E G - F du dv S = κ 0, 1; 0, 1 式中 E , F , G 是曲面的微分第一基本形式 ψ ψ ψ ψ ψ ψ E = P P F = P P G = P P r r r u uu vv v曲面表面积的形心位置 2 ()x = x u , v F du dv S ƒE G - c κ 0, 1; 0, 1 2 ()y = y u , v F du dv ƒS E G - c κ 0, 1; 0, 1 2 ()z = z u , v F du dv ƒS E G - c κ 0, 1; 0, 1 若考虑到曲面上密度的不均匀, 如船体的钢板不同厚度, 则曲面表面的形心 2 θ () ()F du dv ƒS x=E G - Θu , v x u , v c κ 0, 1; 0, 1 2 θ() ()F du dv ƒS E G - y=u , v y u , v Θc κ 0, 1; 0, 1 λ2 = () ()zE G - F du dv ƒS c Θu , v z u , v κ 0, 1; 0, 1 () Θu , v 是曲面上的密度函数 () 对 于逐层的水线面的积分, 只要应用贝齐尔 曲面的部分定理, 可同样计算, 这 B ezie r 里不再详述。 对于船体曲面来说, 常常用几片贝齐尔曲面拼接而成, 只要分别求出各曲面的体积 、V i θθλ C 形心位置 、及表面积 , 表现积形心 、、, 然后再合成, 即可求得船体曲面的排水x B iz B i S i xC iyC izi 体积、浮心纵向位置、垂向位置、湿表面积等。船舶静水力曲线中其它要素很容易精确计算得 到。 对广用 样条曲面拟合船体, 只要把曲面方程换成 样条曲面, 可作类似计算。B B 计算结果3 用上述计算方法, 编制了程序, 并计算了几种, 不同类型的船舶静水力曲线。现以用六片 较大, 首部横剖线呈凸形没有拐点。 在进行近似计算时, 沿船长分成 24 站, 其中在 与 2 站之间插入 015 站和 115 站, 在首部 18 站与 20 站之间插入 1815 站和 1915 法和曲面积分法计算结果, 分别如表 1、表 2 所示。 表 1 23 ()( )()()()()() ()T m D IS t ZB m X B m X F m ZM m V m A Ξ m 0. 500 455. 289 469. 402 0. 258 1. 710 990. 316 1. 450 30. 841 1. 000 972. 953 1003. 115 0. 520 1. 573 1068. 547 1. 290 17. 817 2. 000 2090. 616 2155. 425 1. 047 1. 389 1146. 524 1. 017 10. 627 3273. 428 3. 000 3374. 904 1. 577 1. 234 1196. 253 0. 668 8. 158 4501. 127 1242. 561 4. 000 4640. 662 2. 105 0. 893 0. 164 7. 149 5. 000 5788. 012 5967. 440 2. 635 0. 574 1294. 738 0. 689 6. 763 - 6712. 127 6920. 202 3. 012 0. 506 1338. 425 1. 687 6. 737 5. 700 - 6. 400 7673. 940 7911. 832 3. 398 1385. 287 0. 223 2. 563 6. 715 - ()()T m CB C Ξ C P ZM L m CV P CM 983. 761 0. 500 0. 580 0. 632 0. 673 0. 862 0. 918 1. 000 507. 432 0. 620 0. 682 0. 686 0. 904 0. 909 2. 000 268. 203 0. 667 0. 731 0. 706 0. 945 0. 912 3. 000 187. 676 0. 696 0. 763 0. 723 0. 912 0. 962 149. 527 4. 000 0. 717 0. 792 0. 738 0. 971 0. 905 5. 000 128. 816 0. 738 0. 826 0. 755 0. 977 0. 893 5. 700 120. 322 0. 751 0. 854 0. 766 0. 980 0. 879 114. 574 0. 728 6. 400 0. 764 0. 883 0. 982 0. 865 表 2 23()()( )()()()()() T m V m D IS t ZB m X B m X F m ZM m A Ξ m 458. 109 472. 286 0. 261 1. 520 998. 460 1. 300 31. 023 0. 500 977. 587 1075. 754 1. 000 1008. 039 0. 522 1. 384 1. 111 17. 926 2. 000 2099. 800 2165. 209 1. 048 1. 198 1160. 254 0. 827 10. 625 3286. 350 3388. 720 1. 573 1. 024 1210. 392 0. 488 8. 151 3. 000 4. 000 4518. 588 4659. 342 2. 102 0. 709 1255. 136 0. 039 7. 138 - 5. 000 5810. 377 5991. 329 2. 630 0. 389 1307. 067 - 0. 898 6. 760 5. 700 6737. 288 6947. 154 3. 004 0. 306 1355. 357 1. 903 6. 731 - 7700. 333 1403. 024 6. 400 7940. 198 3. 386 - 0. 012 - 2. 770 6. 717 ()()T m ZM L m CB C Ξ C P CV P CM 0. 500 988. 867 0. 584 0. 637 0. 674 0. 866 0. 917 515. 986 1. 000 0. 623 0. 686 0. 686 0. 909 0. 909 2. 000 275. 341 0. 670 0. 740 0. 705 0. 950 0. 905 3. 000 194. 805 0. 699 0. 772 0. 723 0. 967 0. 903 156. 703 0. 739 4. 000 0. 720 0. 800 0. 975 0. 900 5. 000 136. 781 0. 741 0. 834 0. 756 0. 980 0. 889 5. 700 131. 087 0. 754 0. 864 0. 767 0. 872 0. 982 6. 400 126. 939 0. 767 0. 895 0. 780 0. 858 0. 984 比较表 1、表 2 的数据可知道, 排水体积、浮心垂向位置误差较小, 曲面积分法 约大千分之 4 左右, 面浮心纵向位置误差较大, 在满载排水量时, 近似法计算结果 置都比近似计算靠近船尾。 以往船舶静水力曲线都是采用近似计算的方法, 通过表 1、表 2 的比较, 只要分站适当,计算结果, 可以满足工程上要求, 但对尾部曲率变化大的线型, 特别注意浮心纵向位置, 否则 使船舶纵倾调整发生问题。 其它静水力曲线, 都是由排水体积、水线面积派生出来, 其误差与他们相近。4 结束语 用曲面法设计船舶线型正在蓬勃兴起, 国内外研制的船舶设计程序系统中都采用 样B 条曲面拟合线型, 这就为曲面法积分计算静水力提供了可能性, 本文介绍的积分方法是很有 实用价值的。 参考文献 1 周超骏、刘鼎元, 船体数学线型设计—— 曲面法探讨, 上海交通大学学报, 1981 年第 4 期 2 周超骏、刘鼎元、曹沅, 船体数学线型设计——样条曲面法, 上海交通大学学报, 1985 年第 3 期 B 3 华宣积、邝志泉, 贝齐尔曲面的凸性定理, 浙江大学学报, 1982 年 A CCU RA T E CA L CU L A T IO N O F H YD RO STA T IC P ER FO RM A N C E IN O C EA N PL A T FO RM S A N D SH IP S Zho u C h ao jun C ao Yuan (), 200030 S h ang h a i J iao T ong U n iv e rs ity S h ang h a i A bstra c t T h e p ap e r p re sen t s th e m e tho d u sing b icub ica l B ezie r su rface f it t ing fo r su rface and unde rw a2 , . , te r st ruc tu re sinc lud ing o ff sho re p la tfo rm s subm e r sib le s and sh ip sB y u sing su rface fo rm a t io neng inee r s , can ca lcu la te th e h yd ro sta t ic cu rve s o f a sh ip accu ra te lyand th e re su lt s can be com p a red to th e app ro x i2 , m a te re su lt s o b ta ined by a t rad it io na l ca lcu la t io nth u s show ing th e d iffe rence be tw een th e tw o a s a refe r2 ence fo r th e de signe r s. ,H yd ro sta t ic cu rve s Key word s N um e ra l in teg ra t io n B ezie r su rface,