关系映射反演方法例谈

关系映射反演方法例谈 曲靖师范学院与信息科学学院 高兴佑 向长福 ,摘 要,化归，或称转化，是一种解决问题的普遍方法。将一般的化归原则应用于数学之中，表现为一种更强的模式结构，就成为关 系映射反演方法，简称为 RMI 方法 。通过一个实际问题的奇妙解决，详细论述了 RMI 这一重要数学解题的思想方法 。 ,关键词,联想 类比 转化 RMI 方法 1 引言3 实例 关系(elation)映射(apping)反演(Inversion)方法是我国著名数学 然后在两颗 RM任意拿出黑白两种颜色的棋子共四颗，排成一个圆圈。教育家徐利治先生提出来的。这个方法提出伊始就得到了广泛的重视 颜色相同的棋子中间放一颗黑色棋子，在两颗颜色不同的棋子中间放 和应用，但中学生对这个方法了解较少，所以有必要做进一步的介绍一颗白色棋子，放完后撤掉原来所放的棋子再重复以上的过程问这。。。[2]本文从哲学上的联系观出发，试图帮助学生在遇到难题的时候能这样 样重复下去各棋子的颜色会发生怎样的变化呢, 我们不妨动手做一来思考问题:充分地联想和类比，把一事物翻译为另一事物，得到另一 下实验，实验结果是这样的:若拿出的棋子全是 事物的解答，最后再把这个解答翻译为对第一个事物的解答，从而迂回黑色，则不需做任何调整，所有棋子都是黑色，此后将一直是全黑;若拿地解决问题。这样往往能进入山穷水复疑无路，柳暗花明又一村的思 出的棋子全是白色，则按规则调整一次后所有棋子都是黑色，以后将一 “” 维境界 直是全黑…不管有几颗白子几颗黑子，也不管这些棋子如何排列，我们 。 2 关系映射反演方法发现最多经过四次调整，所有棋子都会变成黑色，此后将一直是全黑。 将一般的化归原则应用于数学之中，表现为一种更强的模式结构， 怎么推理论证任意四颗棋子排成一圈，按上述规则，最多经过四次 就成为关系映射反演方法，简称为 I 方法笛卡尔发明解析几何可 调整，所有的棋子都将变为黑色，此后将一直保持全黑的稳定状态呢, RM。 看作是关系映射反演方法的经典例子注意到我们的规则是两同色的棋子中间加黑色的棋子，两异色的 。如图 1，当一个几何问题不便从 几何本身的角度进行求解时，首先把这个几何问题解析表示为一个代棋子中间加白色的棋子，即黑黑得黑，白白得黑，黑白得白，白黑得白。数问题，其次在代数领域里求解这个问题得到代数解答，最后把这个代 我们把黑白看成相反的事物，仔细地联想上面的规则与哪些相反事物 数解答再几何解释为几何结论，这个结论就是原几何问题的解答。 之间的规则相似, 3.1 解决方法一利用正负数相乘的符号规则—我们熟知:正×正,正，负×负,正，正×负,负，负×正,负因 。 此，把黑色看成正数，白色看成负数，开始摆的四颗棋子记为 a,a,a,a。 1234 则两颗棋子中间所放棋子的颜色为这两颗棋子颜色的乘积。这样，各次 实践 调整后各棋子的颜色如表 1 所示 。 表 1 各次调整后各棋子的颜色 第 0 次 aaaa 1234图 1 解析几何思想 第 1 次 [1]aaaaaaaa I 方法的原理如图 2 所示，当直接解决问题 有困难时，把问MRR1 22 33 44 1 ** ** 2 题 映射为问题 ，得到问题 的解答 ，再把解答 反演为解答 RRRXX222第 2 次 a a a aa aaa a4 1 2 a a a 2 3 1 2 33 44 1X，这个解答即为原问题 R 的解答。 3 3 3 3333 3 第 3 次 a a a a a a a aa a 4 1 2 3 a aa aa a 3 4 2 3 1 2 3 44 11 2 4 6 4 4 6 44 6 44 6 4第 4 次 a 4 a 1 a 2 a 3 a 4 a a a a aa a a a aa a a a a 1 2 3 4 12 3 4 1 23 4 1 2 3 实践 不管 a(k=1,2,3,4)是正数还是负数，a的偶次方是正数，而多个正数kk 的乘积还是正数，故第四次调整后各棋子的颜色都是正数即黑色。以后 将永远保持黑色，不再改变。 3.2 解决方法二利用奇偶数加法的性质—图 2 关系映射反演思想 我们熟知:偶 + 偶,偶，奇 + 奇,偶，偶 + 奇,奇，奇 + 偶,奇。因 。此，把黑色看成偶数，白色看成奇数，开始摆的四颗棋子记为 a,a,a,a。其中的反演其实是原映射的逆映射1234 22x+9 x-10x+29 例:如图 3，求 f(x)=+的最小值。 姨姨 则两颗棋子中间所放棋子的颜色为这两颗棋子颜色的和。这样，各次调 整后各棋子的颜色如表 1 所示，只需将积改成和。 不管 a(k1,2,3,4)是偶数还是奇数，偶数个 a的和是偶数，而多个 =kk 偶数的和还是偶数，故第四次调整后各棋子的颜色都是偶数即黑色。以 后将永远保持黑色，不再改变。 3.3 解决方法三利用二进制数 0 和 1 的加法运算规则 其实，像— 黑和白这样的相反的事物，在计算机中是用 0 和 1 来表示 的。这又促使我们思考:能不能用 0 和 1 的运算法则来得到问题的解 答,由二进制数的加法规则，我们规定:0+0=0，1+1=0，0+1=1，1+0=1因 。图 3 此，把黑色看成 0，白色看成 1，开始摆的四颗棋子记为 a,a,a,a则两颗。1234 直接求此无理函数的最小值，当然不易造一个简明的几何模型，。 棋子中间所放棋子的颜色为这两颗棋子颜色的和。这样，各次调整后各 则可以立即求得解答。棋子的颜色如表 1 所示，只需将积改成和。 记 P(x,0),A(0,3),B(5,-2),则 f(x)恰为?PAB 之二边 PA 与 PB 之和，此 不管 a(k=1,2,3,4)是 0 还是 1，偶数个 a的和是 0，而多个 0 的和还kk 和当然不小于边 之长于是 AB。 是 0，故第四次调整后各棋子的颜色都是 0 即黑色。以后将永远保持黑 22 22 f(x)=(x-0)+(0-3)+(x-5)+(0+2)姨姨色，不再改变。 = PA+ PB本例从日常生活中一个很复杂似乎无法推理的问题入手，用三种 ? AB方法得到了其解答回顾上面三种求解过程，我们可以总结出 RI 方法 。M 22 =(0-5)+(3+2) 的一般步骤:通过联想和类比把一个问题翻译(转换)为另一个问题，得姨 到该问题的解答，再把该解答逆向翻译(逆向转换)为原问题的解答。在 =5 2 姨 本例中，我们通过联想和类比，把黑色翻译为 +1(偶数，二进制数 0)，把 则易求出 AB 与 x 轴的交点 P' 的坐标为(3，0)，所以当 x=3 时 f(x) (下转第 404 页)白色翻译为 -1(奇数，二进制数 1)，把布子规则翻译 2 取最小值 5 。姨 — 402— 科技信息 高校理科研究 化的。还能通过查看软件提供的数据来判断连续的阶数，是否符合斑马线显示使用彩色边界线构成相切 的要求。 (5)使用 U 和 V 方向曲面分析工具来识别或支持 U 和 V 截面相切 工具发现的任何问题。 (6)使用曲面分析工具如高斯曲率、最小和最大曲率半径及平均曲 率可以更为直观的观察到所发现的问题。 (7)最小曲率半径是用来检查和识别可能导致曲面偏置问题的曲率 半径 。 (8)使用斜面或对拔模斜度的检查来分析冲压锁死条件下的表面。 2.3 曲面样条曲线的生成 曲面和样条曲线关系很密切，好的样 条曲线才会有好的曲面。 (1)用于曲面的构造曲线的样条曲线应该是单段曲线以帮助降低曲 斑马线显示使用彩色曲线生成曲率连续结果 面的复杂性，使用不同阶次不同段数的曲线组通常在单一一个特征曲 面中将产生高的复杂性，结果是，投影到这个曲面的任何曲线将产生更 复杂的曲面(更多段数)。同时在进行曲面的修改时也会造成很多的麻 烦。 图 4 (2)3 到 5 阶(曲线阶数，非曲率阶数)的样条曲线通常具有足够的 自由度来拟合单一特征曲面生成的大多数形状。多特征可以每一个特 征面单独建模(有单一特征的样条曲线，然后再连接或用过渡特征面连) 接, 以获得复杂结构特征,但单一特征面采用 3 到 5 阶的样条曲线就够 了太多的阶数将使曲面(线)不易光顺导致面的质量很差,曲面的特征 。。 该分解的分解，该合并的合并，原则上曲率突然增加的区域必须分开成 另一个特征面并与该面三阶导数连续。 2.4 相邻曲面的关系 曲面的面片 之间有四种连续级别 (1)曲率连续(G2~G3)高可见区域采用三阶连,续。极少部分采用 2 阶曲率连 续, 一般单一特征的大曲面片应达到 3 连续和光顺少可; 见 区域可以用 2 GG 连续，极少部分采用 G1 连续。 (2)相切连续(G1~1 阶)用于不可见及极少可见区域零件或成型比 较容易的小零件。 (3)相交(G0~0 阶)往往用于构造示意图或快速构图,在粗设计的过 程中也会作为暂时表意，精确设计阶段要提升到 G1,G2,及 G3 曲面。 (4)不相交—特殊需要或有缝隙时采用。 连续的判断实例 使用 斑马线和截面线曲率梳来检查连续情况。曲面边界线也可以 应用角度和距离偏离检查工具来检查。图 5 可以看出，由于多面片表面结构的复杂性，对加工带来了困难。 数控加工模型是一种有效的设计检测工具，它可以帮助鉴别出表 面缺陷。但是它不能暴露出精细表面质量的问题，这种问题成为模具切 削加工阶段的主要问题。要详细采用不同评价方法进行反复比较和检 查以便获得好的, 级曲面 A。 结束语 精密放射线，曲率梳，高斯曲率，斑马线，最大半径等显示都是验证 曲面好坏常用的工具，它们可以用来评价曲面间连续和曲面内部质量。 只有通过多转换和交叉的评价结果，才能最好的对曲面进行光顺处理， 以求达到合理和美观的效果。 图 3 参考文献 1 连续和 2 连续图，如图 4,1,徐万红等车身曲面的光顺品质分析与应.用,J,.控制与检测,边界曲线的相切 GG。 2.5 曲面片 曲面必须避免太多的面片，否则，随着曲率连续的变2005, 2. 化，它会引起 ,2,GalettoM,Vezzett iE.Reverse Engineering of Free-FormSurfaces: 问题的增加，如:相邻曲面检查，缝隙，亮区断开，曲面片间及曲面中间 AMethodology for Threshold Definitoin in Selective Sampling.Machine 可能的振动和不连续问题，以下就是汽车前门多曲面片的例子。 Tools &Manufacture,2006( 46). (上接第 402 页) 为正负数相乘的符号法则 (奇偶数相加的奇偶性法得所有的杯子均杯口朝上,再如:平面上有 101 个点，求证:必存在一个则，二进制数 0 和 1 相加的运算法则)，通过数的运算得到解答:最后的 圆，使圆内恰有其中 50 个点，圆外恰有其中 50 个点，圆周上恰有其中 一个点。结果为正数(偶数，二进制数 1)，最后再把这个解答逆向翻译为原问题 的解答:最后的结果为黑色 。 参考文献4 结束语 RI 原则实际上可以理解为一种包罗万象的科学方法论原则，但 ,1,姚文孝数学思想方法论选.讲,,.长春:东北师范大学出版社，MM 2001:405-417.I 原则并不是一个万能的原则，翻译和逆向翻译能否完成以及新问 RM 题是否容易解决是 RMI 方法能否成功施行的关键。这样的思想方法在,2,周义仓，赫孝良.数学建模实验,M,.西安:西安交通大学出版 社，1999:80-81. 一系列类似的问题中均可得到应用。例如:9 只杯子杯口朝下放在桌上， 每一次改变其中任意 6 只的杯口方向，问这样一直做下去，最后能否使 — 404—