向心力公式应用的误区警示

向心力公式应用的误区警示 2006年第3期河北理科教学研究短文集锦 (?!二!)(二二): ?(s—o) t3(?.)s一6(?.)s一2 (?口)(?口)s一4(?口)s+2(?a26)s +8(?a)(?a)s一4(?a)(?a)s+4(不 a)(?ab)s一9(?a)一4(?a)(?a)s+4 (?a)s一4(?a)(?b2C)s+4(?a)(? bc)s+2(?.)(?b2c2)}:1(一2 +l6尺r232+6rs2+64Rr3s2—256R3r3— 48Rr一4r6).(15) 192尺r4— 从而(3)式等价于下述不等式一2r2s+ l6尺2r2s2+6r4s2+64Rr3s—256R3r3— 192Rr一48尺r一4r?36r4s. 下记厂(s) :2s一(16R+64Rr一30r2)s+256R3r +192Rr+48Rr+4r?0(16). 于是f(16Rr一5r):一r(240R一 48r)(R一2r),f(4R+4Rr+3r)= 一 (32R+64Rr+40尺r+56r)(R一 2r).由Euler不等式R?2r知厂(16Rr一 5r)?0,且f(4R+4Rr+3r)?0,又由 Gerretsen不等式16Rr一5r?s?4R+ 4Rr+3r,故(3)成立. 最后笔者提出如下一个猜想:在?ABC 中,有??3,等号当且仅当?ABC 为正三角形时成立. 参考文献 线运动的推广和应用,根据需要,它有时可 写成F:m叫r或F:m叫口等形式.教学中 发现,由于学生对公式的理解存在偏差,导 致应用中的不少误区,现举例说明,以作警 示. 1,向心力公式中的r在圆周运动中为 其轨道半径;但在非圆周的曲线运动中应视 为曲率半径.圆周运动的曲率半径处处相 等;非圆周的曲率半径各点不尽相同. 例1人造地 球卫星的轨道是一 个椭圆,地球位于 其中的一个焦点图1 上,如图1.卫星在近地点和远地点到地心 的距离分别为rl和r2,求卫星在这两点的 速率之比.误解:万有引力提供向心力 . . . — GM 丁 m :— GMm : _故有??1—1一…r1't1r2't2 口l 口2一r l 警示:万有引力公式中的r表示卫星 到地心的距离;向心力公式中的r表示的 应为曲率半径.把卫星的运动视作圆运动 时.二者相同.当卫星实际作椭圆运动时, 尽管近地点和远地点到地心的距离r1和r2 不同,但其曲率半径(表示轨道的弯曲程 度)是一样的,它既不等于r也不等于 r,我们无需追究它的具体值,不妨统设为 ' 好躺幛月尺. 那么,:,:, ,..,"," 2005112刊 (安徽省芜湖市城南实验中学杨晋241002) 向心力公式应用的误区警示 , F:是牛顿第二定律F:mo在曲 r 可见,:一r2. 2r1 2,就向心力的来源来说,F是物体做 曲线运动时在垂直于方向受到的力,或 物体所受诸力在这个方向分力的合力,记作 F供;就物体一定的运动状态来说,F应理 解为维持这个曲线运动所需要的向心力,记 ? 57? 2006年第3期河北理科教学研究短文集锦 作需.当供=需时,物体即可维系一 定半径的圆周运动,否则,它将脱离原来的 轨道做离心或近心地运动.这点在研究物体 (包括卫星)轨道变化时,应特别注意. 例2光滑杆上套有质 量为m的小球,杆绕O0 作角速度为cU的锥形运动. 球m恰与杆保持相对静止, 如图2.若其它条件不变, 而杆的角速度增加时,球的 运动状态如何?图2 误解:球受力mg和7v,其合力充当向 心力,由于m和?不变,所以,不论球 在杆上何位置作圆周运动,总有 F=mgctg=m(Ur,可见,当(cj增加 时,r将减小,球将在较低的位置上维持圆 运动. 警示:不论球在何位置,对球实际提供 的向心力供=mgctg0确实是不变的;但 是,由于cU增加,所以需=mcUr增大, 这时F供<F需,球将做离心运动而使半径 增大.一旦r增大,实际提供的向心力越 发不能满足其所需的向心力,球将持续做离 心运动,最终被甩出杆子. 3,对形似的圆运动问题,应仔细辨识 条件差异和内含区别,以免造成熟题效应. 仅凭直觉经验;往往造成公式应用的前提错 误. 例3处于一内壁光滑 的圆锥形漏斗内的物体,以 与漏斗相同的转速绕轴OO 转动而不上下移动,如图3. 如果加大漏斗的转速,则物 体的运动状态如何改变? D 误解一:与例2误解图3 同,认为物体将在较低位置作圆周运动. 误解二:与例2正解同,认为物体因为 ? 58? 离心而被甩出锥体. 警示:与例2类同的是,对随载物体所 能提供的向心力F供=mgctg0是一定的; 前提不同的是,由于漏斗内壁光滑,所以在 圆的切向没有力可对物体提供能量而使物体 的转速相应增加,物体的实际转速无法改 变.由初始条件知,恒有供=F需,因此 物体仍将保持原方位的运动状态不变,只不 过在圆运动的切线方向物体和锥体之间发生 相对滑移. 4,利用向心力公式求力时,必须用该 点的即时速率:当物体相对另一物体做圆周 运动时,还必须用该点的相对切向速率.当 然,这只限于圆心加速度为零的情况. 例4 质量为m的 滑块静放在 光滑的水平 地面上,滑图4 块上部有一半径为的半圆型弧槽,质量 也为m的小球从弧槽上端无初速释放,如 图4.求它到达最低点时对轨道的压力. 误解:设小球到达最低点时的速度为 .,滑块的速度为,根据系统机械能守 恒和水平方向动量守恒,有 mgR1mv 1 2+1 mv2和myl mv2得l=V2~/gR 根据?一mg:.?.?:2 警示:由于小球在最低点时,轨道并非 静止,而是具有与小球反向的速度:,所 以小球对滑块的相对速度1.2=l+2= 2,//R;而滑块此时所受合力为零,所以 轨道圆心的加速度为零.分析小球受力,得 ?一mg:,可见,v:5mg.根据牛 2006年第3期河北理科教学研究短文集锦 顿第三定律,小球对轨道的压力等于5mg (江苏省丰县中学李备战吴殿学 221700) 非弹性碰撞问题解法商榷 有这样一道考题:质量为m的皮球, 从某一高度h自由落下,反弹起来的高度 均为原来的{,现要使皮球总能弹回到h 高度,如图1,那么每次拍球需要对皮球做 多少功? 很多考生的解答为:根据题设条件,皮 球与地面碰后反弹起来的高度为原来的, 因此皮球由于碰撞而损失的机械能?E损= mgh一{mgh=1mgh,故每次拍球时,mg一mgmg,政母伙于HH, 只需补足皮球损失的能量,即对皮球做? mgh的功,球就能够弹回到原来的h高 度. 这种解法咋看似乎正确无--'I- ,然实则值得商榷.疑这里面II 涉及到有关碰撞的恢复系数问l 题.对于对心碰撞(本题可看 作对心碰憧),恢复系数e= ,其中/)2一.为碰后 1o—20 的分离速度,而10一?2o为碰图1 前的接近速度,e是一个随质料而异的定 值,皮球每次与地面相碰时,恢复系数e都 是个不变的值. 取地面为惯性参考系.设皮球第一次与 ' 地面碰撞后,反弹高度为原来的{,碰前速 度为碰后速度为,则: :J一2gh:: 设皮球第二次与地面碰后,反弹到原来 的h高度,碰前速度为20,碰后速度应为 2=.0;由于碰后地球的速度总为零,则 有: 】一02—0 即: 得=2=2'. 对皮球使用动能定理: 人对球+mgh=1m;0. 将V20的值代人得人对球=1mgh. 可见,欲使皮球总能弹回到h高度, 每次拍球均需对皮球做功为{mgh,这才是 正确的解答. (湖北荆州市江陵中学刘强434000) 改进安培力?电磁感应两实验 制作组合性两用仪器 自从人类发现了电现象与磁现象的相互 联系后,人们相继发明了电动机,发电机两 大机械.两大机械广泛应用于人们的生产, 生活等方方面面,显着地推动了人类文明的 进步和社会的发展.九年义务教育课程 实验教材《物理》八年级第八章设置了 "电与磁"内容,分别安排了"磁场对通电 导线的作用"——安培力和"什么情况下磁 能生电"——电磁感应两大演示性实验(具 体内容见教科61页图8.4——1通电导体 在磁场中受到力,67页图8.5——2导线在 磁场中怎样运动才能产生感应电流?).笔者 ? 59?