专题03空间向量与立体几何（B卷）-高一高二数学同步单元双基双测“AB”卷（新人教A版选修2-1）Word版含解析

专题03空间向量与立体几何（B卷）-高一高二数学同步单元双基双测“AB”卷（新人教A版选修2-1）Word版含解析 班级 姓名 学号 分数 选修2-1第三章空间向量与立体几何能力提升卷 (测试时间:120分钟 满分:150分) 一、选择题(共12个小题,每题5分,共60分) 1.已知点,且,则实数的值是( ) xAB,26AxB(,1,2)和点(2,3,4) ,3,6A(或4 B(或2 C(3或 D(6或 ,4,2【答案】D 222x,6(x,2)，(1,3)，(2,4),26【解析】由空间两点间距离公式得,,解得或 x,,2(故选D( ,(2,2,0),(1,3,),,2.若a,b,z,ab,,,则等于( ) z3 A. B. C. D. 【答案】C A3.【2015四川省广元】已知点,则点关于轴对称的点的坐标为( ) xA(3,1,4),, A( B( C( D( (,3,,1,,4)(,3,,1,4)(3,1,4)(3,,1,,4)【答案】B A【解析】点关于轴对称的点的横坐标不变,其他相反(故选B x ,,,,4【2015甘肃秦安】已知向量,则它们的夹角是( ) ab,,,,(3,4,3),(5,3,1) ::::04590135A( B( C( D( 【答案】C. ,,354331，,，,，:90【解析】,即它们的夹角是. cos,0ab,, 91692591，，，，， , 5.在空间直角坐标系O,xyz中,平面OAB的法向量为,(2,–2,1),已知P(,1,3,2),则P到平面a OAB的距离等于( ) A(4 B(2 C(3 D(1 【答案】B OABdP【解析】设点到平面的距离为,则 ,,,,,,, OPa ,,,,132221，，，，，，，，,,,,,选B d=？aPd,,,？,,(，，)，(，，)，(2211322|a |441，， ,,,, ab6.已知向量,,则以,为邻边的平行四边形的面积为( ) a,(2,,1,2)b,(2,2,1) 65A( B( C(4 D(8 652 【答案】B( ,,,,, AB 7.【改编题】已知平面的法向量为,则直线与平面的位置,nAB,,,,(2,2,4),(3,1,2)关系为 AB//,AB,, B( A( AB,,AB//,ABC(与相交 D(或 , 【答案】D ,,,,,,,,,, AB,,AB//,【解析】,故或 ？nABnAB,,,,,,,,，,？,(2,2,4)(3,1,2)6280 EAD8.在正方体中,若是的中点,则异面直线与所成角的大小是ABCDABCD,ABCE111111( ) ,,,,A. B. C. D. 6432 【答案】D 【解析】如图建系,设正方形棱长为2,则ABC(0,0,2),(2,0,0),(2,2,2),, E(0,1,0)11 ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, 则,,?,即, AB,,(2,0,2)CE,,,,(2,1,2)ABCE,,,，，,4040ABCE,111111 ,ABCE即异面直线与所成角为. 112 OABC,,ABCG9.设是正三棱锥,是的重心,是上的一点,且,若GOGOGGG,3111,,,,,,,,,,,,,,,, (,,)xyz,则为( ) OGxOAyOBzOC,，， 111333111222,,,,,,,,A(,, B(,, C(,, D(,, ,,,,,,,,444444333333,,,,,,,,【答案】A 3S,ABC(x，y，z,1)10.棱长均为的三棱锥,若空间一点满足则SP,xSA，ySB，zSCP SP 的最小值为( ) 63A、6 B、 C、 D、 136 【答案】A 【解析】?空间一点P满足, (x，y，z,1)SP,xSA，ySB，zSC ?点P在平面ABC内(因此当SP?平面ABC,P为垂足时,取得最小值( SP?三棱锥S-ABC的棱长均为3,?点P为底面ABC的中心(如图: 2333? APADADAP,,，,？,,3,3322 2222SPSAAP,,,,,3(3)6在Rt?APS中,;故选A( 11.【2015黑龙江省牡丹江】设 a,2m,j，k,a,m，3j,2k,a,,2m，j,3k,a,3m，2j，5k,(其中是m,j,k1234两两垂直的单位向量),若,则实数的值分别是( ) ,,,,,a,,a，,a，,a4123 A( B( C( D( 1,,2,,3,2,1,3,1,2,3,2,1,,3 【答案】B SOABCOPCP,ABC12.设是正三棱锥的底面?的中心,过的动平面与交于,与、PAPB 111，，Q的延长线分别交于、,则( ) RPQPRPS A、有最大值而无最小值 B、有最小值而无最大值 QRSC、无最大值也无最小值 D、是与平面无关的常数 【答案】D ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,||||||PAPBPC【解析】设,则, ||,||,||PQxPRyPSz,,,PAPQPBPRPCPS,,,,,xyz ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,PAPBPCPAPBPC，，||||||因为且共面,所以QRS,,POPQPRPS,,，，3333xyz ||||||1113PAPBPC(常数),选D. ，，,,，，,1333||xyzxyzPA 二、填空题(共4个小题,每题5分,共20分) ,, l13.【原创题】若直线的方向向量,平面的一个法向量,则,a,(1,1,1)n,,(2,1,1) l,cos=,直线与平面所成角为,则 ( , 7【答案】 3 l【解析】?直线与平面所成角为, ,, ,an,,,121111，,，，，27？,,,,sincos,,an,,,,(?. ,,cos22222233an111211，，,，,，，， AB,PZPPA,,121，，B222，，14.已知点,,点在轴上,且点到的距离相等,则点的坐标，，，， 为___________( 【答案】(0,0,3) 222222P(0,0,t)1，2，(t,1),2，2，(t,2)PA,PB【解析】设,由题意,所以,解得t,3 ,,,,15.有以下命题:?如果向量与任何向量不能构成空间向量的一组基底,那么的关系是ab,ab, ,,,,,,,,,,,,不共线;?为空间四点,且向量不构成空间的一个基底,那么点OABC,,,OAOBOC,, ,,,,,,,, 一定共面;?已知向量是空间的一个基底,则向量,也是空间的OABC,,,abc,,ababc，,,,一个基底.其中正确的命题是 . 【答案】?? ,,,,【解析】对于?“如果向量与任何向量不能构成空间向量的一组基底,那么的关系一ab,ab,定共线”;所以?错误.??正确. ,ABCABC,ABACAA,,,1BAC16.在直三棱柱中,底面ABC为直角三角形,,. ，,11112 CCABAC已知,与,分别为和的中点,,与,分别为线段和上的动点(不包括端点). AB111 GDEF,若,则线段的长度的最小值为 . DF 5【答案】 5 三、解答题(共6个小题,共70分) PABCD,17.(本小题满分10分)如图,已知四棱锥的底面是菱形,对角线交于点ACBD, ,,,,,,,,,,OOA,4OB,3OP,4OP,ABCDM,,,,底面,设点满足( PMMC,,,,(0) P M DC O AB 1,,PABDM(1)当时,求直线与平面所成角的正弦值; 2 ,MABC,,,(2)若二面角的大小为,求的值( 4 110【答案】(1);(2)( 310 ,, ABC(2)易知平面的一个法向量( n,(0,0,1)1 ,,,,,,,,,, 设,代入,得, PMMC,,Mab(,0,)(,0,4)(4,0,)abab,,,,,, ,4,,a,,,,,,,44,44,,,1，,解得,即M(,0,),所以MB,(,3,), ,411，，11，，,,,,,b,,1，,, ,，,430xy,,,,,ABM设平面的法向量,则, nxyz,(,,),44,2xyz，,,30,11，，,,, 4x,1z,，21,y,y消去,得,令,则,, (21),，,xz3 ,,,4ABM,，,n(1,,21)所以平面的一个法向量, 23 221,，141,,0,,,,,,所以,解得或,因为,所以( 32331621(21)，，，,9 ABAC,ABAC,,2ABCABC,AA,418.(本题满分12分)如图,在直三棱柱中,,,,1111 BCD点是的中点( (1)求异面直线与所成角的余弦值; ABCD11 (2)求平面与平面所成二面角的正弦值( ADCABA11 3105【答案】(1) (2) 310 【解析】(1A)以为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系, Axyz, 则,,,,,, A(0,0,4)C(0,2,4)A(0,0,0)B(2,0,0)C(0,2,0)D(1,1,0)11 ,,,,,,,,, ?,, AB,,(2,0,4)CD,,(1,1,4)11 ,,,,,,,,,,,,,,,,,,ABCD,,,,,(2,0,4)(1,1,4)1831011?, ,,,,,,,,,cos,,,,,,,ABCD112222210||||ABCD,2018,2(4)1(1)(4)，,,，,，,11 310ABCD?异面直线与所成角的余弦值为( 1110 SABSACSABC,19. (本题满分12分)如图,在三棱锥中,侧面与侧面均为等边三角 OBC，,BAC90?形,,为中点( S CO B A SO,ABC(?)证明:平面; ASCB,,(?)求二面角的余弦值( 3【答案】(I)证明见解析;(II)( 3 SAOAABACSBSC===?ABC【解析】(?)由题设,连结,为等腰直角三角形, , 2?SBCAOBC,所以,且,又为等腰三角形, OAOBOCSA,,,2 2222SOBC,OASOSA，,,且SOSA,,从而( 2 ?SOASOAO,所以为直角三角形,( AOBOO:,SO,ABC又(所以平面( SCAMOM，SOOCSAAC,,，(?)解法一:取中点,连结,由(?)知, M OMSCAMSC,,，?，OMAASCB,,得(为二面角的平面角( AOBCAOSOSOBCO,,,，，:AO,SBC由得平面( 3AO26AOOM,AMSA,所以,又,故( sin，,,,AMO2AM33 3ASCB,,所以二面角的余弦值为 3 20((本题满分12分)如图,多面体ABCDEF中,正方形ADEF与梯形ABCD所在平面互相垂直, ABCD//ADCD,CD,4AB,2已知,,,,直线BE与平面ABCD所成的角的正切值等于2 2 (1)求证:平面BCE?平面BDE; (2)求平面BDF与平面CDE所成锐二面角的余弦值( 3【答案】(1)证明详见解析;(2)( 3 x,1yz,,,1令,则, n,,,(111)，，所以( ,设平面BDF与平面CDE所成锐二面角的大小为, ,,,,13,,，，,,，ncos|cos|DA则, 33 3所以平面BDF与平面CDE所成锐二面角的余弦值是( 3 ABCDABE21((本题满分12分)如图,直角梯形与等腰直角三角形所在的平面互相垂 CDAB,BCAB,2CD,2BC直(?,,,( ABEAEB, (?)求证:; ABDE, CDEA,,(?)求二面角余弦值( 6【答案】(1)证明见解析;(2). ,3 ,,,,,,,nDCay,,,,,00,,11,则, ,,,,,,,,,,，,,axaz0nDE,,011,,1, ,, n,1,0,1所以可取 ，，1 ,,,ADEnxyz,,,设平面的一个法向量为( ，，2222 ,,,,,,,,,,,nDAaxay,,,,，,,00,,222则,所以可取 n,1,1,1,,,,,,,,，，,,2,,，,,axaz0nDE,,022,,2, ,,,,,116，所以, cos,nn,,12323, 6CDEA,,由图可知二面角为钝角,所以二面角的余弦值为( ,322((本题满分12分)如图,在四棱柱中,底面是矩形,且ABCDABCD,ABCD1111 ,,,(若为的中点,且( AA,2，,AADCDAO,OADCD,,22AD1113 (1)求证:平面; AO,ABCD1 ,BC(2)线段上是否存在一点,使得二面角为,若存在,求出的长;不存DAAP,,PBP16在,说明理由( ,【答案】(1)见解析;(2)存在,当BP=2时,二面角为. DAAP,,16 n取,得=( (3(1),3,1)m，,z,11 AO,AO,AADD又平面,且平面, ABCD1111 AADD,?平面平面( ABCD11 AADD:又,且平面平面 CDAD,ABCDAD,11 ?平面( AADDCD,11 不妨设平面的法向量为=( (1,0,0)nAADD211 33(1)m，由题意得, cosnn,,,12223(1)31m，，，,1解得或(舍去)( m,1m,,3 ,?当的长为时,二面角的值为( DAAP,,2BP16