0we海伦公式原理简介

0we海伦公式原理简介 原理简介 我国宋代的数学家秦九韶也提出了“三斜求积术”，它与海伦公式基本一样。 假设在平面内，有一个三角形，边长分别为a、b、c，三角形的面积S可由以下公式求得: S=?[p(p-a)(p-b)(p-c)] 而公式里的p为半周长: p=(a+b+c)/2 —————————————————————————————————————————————— 注1:"Metrica"(《度量论》)手抄本中用s作为半周长，所以 S=?[p(p-a)(p-b)(p-c)] 和S=?[s(s-a)(s-b)(s-c)]两种写法都是可以的，但多用p作为半周长。 —————————————————————————————————————————————— 由于任何n边的多边形都可以分割成n-2个三角形，所以海伦公式可以用作求多边形面积的公式。比如说测量土地的面积的时候，不用测三角形的高，只需测两点间的距离，就可以方便地导出。 编辑本段证明过程 证明(1) 与海伦在他的著作"Metrica"(《度量论》)中的原始证明不同，在此我们用三角公式和公式变形来证明。设三角形的三边a、b、c的对角分别为A、B、C，则余弦定理为 cosC = (a^2+b^2-c^2)/2ab S=1/2*ab*sinC =1/2*ab*?(1-cos^2 C) =1/2*ab*?[1-(a^2+b^2-c^2)^2/4a^2*b^2] =1/4*?[4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2)^2] =1/4*?[(2ab+a^2+b^2-c^2)(2ab-a^2-b^2+c^2)] =1/4*?[(a+b)^2-c^2][c^2-(a-b)^2] =1/4*?[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)] 设p=(a+b+c)/2 则p=(a+b+c)/2, p-a=(-a+b+c)/2, p-b=(a-b+c)/2,p-c=(a+b-c)/2, 上式=?[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)/16] =?[p(p-a)(p-b)(p-c)] 所以，三角形ABC面积S=?[p(p-a)(p-b)(p-c)] 证明(2) 我国宋代的数学家秦九韶也提出了“三斜求积术”。它与海伦公式基本一样，其实在《九章算术》中，已经有求三角形公式“底乘高的一半”，在实际丈量土地面积时，由于土地的面积并不是的三角形，要找出它来并非易事。所以他们想到了三角形的三条边。如果这样做求三角形的面积也就方便多了。但是怎样根据三边的长度来求三角形的面积,直到南宋，我国著名的数学家秦九韶提出了“三斜求积术”。 秦九韶他把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜。“术”即方法。三斜求积术就是用小斜平方加上大斜平方，送到中斜平方，取相减后余数的一半，自乘而得一个数，小斜平方乘以大斜平方，送到上面得到的那个。相减后余数被4除，所得的数作为“实”，作1作为“隅”，开平方后即得面积。 所谓“实”、“隅”指的是，在方程px 2=q,p为“隅”，q为“实”。以?、a,b,c示三角形面积、大斜、中斜、小斜，所以 q=1/4{a^2*c^2-[(a^2+c^2-b^2)/2 ]^2} 当P,1时，? 2,q, ?=?1/4{a^2*c^2-[(a^2+c^2-b^2)/2 ]^2} 因式分解得 ? ^2=1/16[4a^2c^2-(a^2+c^2-b^2)^2] =1/16[(c+a) ^2-b ^2][b^ 2-(c-a)^ 2] =1/16(c+a+b)(c+a-b)(b+c-a)(b-c+a) =1/16(c+a+b)(a+b+c-2b)(b+c+a-2a)(b+a+c-2c) =1/16 [2p(2p-2a)(2p-2b)(2p-2c)] =p(p-a)(p-b)(p-c) 由此可得: S?=?[p(p-a)(p-b)(p-c)] 其中p=1/2(a+b+c) 这与海伦公式完全一致，所以这一公式也被称为“海伦,秦九韶公式”。 S=?1/4{a^2*c^2-[(a^2+c^2-b^2)/2 ]^2} .其中c>b>a. 根据海伦公式，我们可以将其继续推广至四边形的面积运算。如下题: 已知四边形ABCD为圆的内接四边形，且AB=BC=4,CD=2,DA=6，求四边形ABCD的面积 这里用海伦公式的推广 S圆内接四边形= 根号下(p-a)(p-b)(p-c)(p-d) (其中p为周长一半，a,b,c,d,为4边) 代入解得s=8? 3 证明(3) 在?ABC中?A、?B、?C对应边a、b、c O为其内切圆圆心，r为其内切圆半径，p为其半周长 有tanA/2tanB/2+tanB/2tanC/2+tanC/2tanA/2=1 r(tanA/2tanB/2+tanB/2tanC/2+tanC/2tanA/2)=r ?r=(p-a)tanA/2=(p-b)tanB/2=(p-c)tanC/2 ? r(tanA/2tanB/2+tanB/2tanC/2+tanC/2tanA/2) =[(p-a)+(p-b)+(p-c)]tanA/2tanB/2tanC/2 =ptanA/2tanB/2tanC/2 =r ?p^2r^2tanA/2tanB/2tanC/2=pr^3 ?S^2=p^2r^2=(pr^3)/(tanA/2tanB/2tanC/2) =p(p-a)(p-b)(p-c) ?S=?p(p-a)(p-b)(p-c) 证明(4) 通过正弦定理:和余弦定理的结合证明 (具体可以参考证明方法1) 编辑本段推广 关于三角形的面积计算公式在解题中主要应用的有: 设?ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，ha为a边上的高，R、r分别为?ABC外接圆、内切圆的半径，p = (a+b+c)/2,则 S?ABC =1/2 aha =1/2 ab×sinC = r p = 2R^2sinAsinBsinC = ?[p(p-a)(p-b)(p-c)] 其中，S?ABC =?[p(p-a)(p-b)(p-c)] 就是著名的海伦公式，在希腊数学家海伦的著作《测地术》中有记载。 编辑本段海伦公式在解题中有十分重要的应用。 一、 海伦公式的证明 证一 勾股定理 如右图 勾股定理证明海伦公式 。 证二:斯氏定理 如右图。 斯氏定理证明海伦公式 证三:余弦定理 :由变形? S = 可知，运用余弦定理 c2 = a2 + b2 ,2abcosC 对 其进行证明。 证明:要证明S = 则要证S = = = ab×sinC 此时S = ab×sinC/2为三角形计算公式，故得证。 证四:恒等式 恒等式证明(1) 恒等式证明(2) 证五:半角定理 ?由证一，x = = ,c = p,c y = = ,a = p,a z = = ,b = p,b ? r3 = ? r = ?S?ABC = r?p = 故得证。 二、 海伦公式的推广 由于在实际应用中，往往需计算四边形的面积，所以需要对海伦公式 进行推广。由于三角形内接于圆，所以猜想海伦公式的推广为:在任意内 接与圆的四边形ABCD中，设p= ,则S四边形= 现根据猜想进行证明。 证明:如图，延长DA，CB交于点E。 设EA = e EB = f ??1+?2 =180? ?2+?3 =180? ??1 =?3 ??EAB,?ECD ? = = = 解得: e = ? f = ? 由于S四边形ABCD = S?EAB 将?，?跟b = 代入公式变形?，得到: ?S四边形ABCD = 所以，海伦公式的推广得证。 编辑本段例题: C语言版: 如图四边形ABCD内接于圆O中，SABCD = ,AD = 1,AB = 1, CD = 2. 求:四边形可能为等腰梯形。 解:设BC = x 由海伦公式的推广，得: (4,x)(2，x)2 =27 x4,12x2,16x，27 = 0 x2(x2—1),11x(x,1),27(x,1) = 0 (x,1)(x3，x2,11x,27) = 0 x = 1或x3，x2,11x,27 = 0 当x = 1时，AD = BC = 1 ? 四边形可能为等腰梯形。 在程序中实现(VBS): dim a,b,c,p,q,s a=inputbox("请输入三角形第一边的长度") b=inputbox("请输入三角形第二边的长度") c=inputbox("请输入三角形第三边的长度") a=1*a b=1*b c=1*c p=(a+b+c)*(a+b-c)*(a-b+c)*(-a+b+c) q=sqr(p) s=(1/4)*q msgbox("三角形面积为"&s), ,"三角形面积" 在VC中实现 #include #include main() int a,b,c,s; printf("输入第一边\n"); scanf("%d",&a); printf("输入第二边\n"); scanf("%d",&b); printf("输入第三边\n"); scanf("%d",&c); s=(a+b+c)/2; printf("面积为:%f\n",sqrt(s*(s-a)*(s-b)*(s-c))); C#版: using System; using System.Collections.Generic; using System.Text; namespace CST09078 class Program static void Main(string[] args) double a, b, c, p, s; Console.WriteLine("输入第一条边的长度:\n"); a = Convert.ToDouble(Console.ReadLine()); Console.WriteLine("输入第二条边的长度:\n"); b = Convert.ToDouble(Console.ReadLine()); Console.WriteLine("输入第三条边的长度:\n"); c = Convert.ToDouble(Console.ReadLine()); p =(a+b+c)/2; s = Math.Sqrt(p*(p - a)*(p - b)*(p - c)); Console.WriteLine("我算出来的面积是{0}", s); Console.Read();