比例线段产生的函数关系问题

比例线段产生的函数关系问题 比例线段产生的函数关系 1.(01年上海27题12分)已知在梯形ABCD中，AD?BC，AD,BC，且AD,5，AB,DC,2( (1)如图8，P为AD上的一点，满足?BPC,?A( ?求证;?ABP??DPC ?求AP的长( (2)如果点P在AD边上移动(点P与点A、D不重合)，且满足?BPE,?A，PE交直线BC于点E，同时交直线DC于点Q，那么 ?当点Q在线段DC的延长线上时，设AP,x，CQ,y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域; ?当,1时，写出的长(不必写出解题过程)( CEAP 解析 :?证明:? ?ABP,180?,?A,?APB，?DPC,180?,?BPC,?APB，?BPC,?，? ?,?(? 在梯形中，?，,，? ?,?(? ?AABPDPCABCDADBCABCDADABP??DPC( ABPD25,x?解:设AP,x，则DP,5,x，由?ABP??DPC，得，即，解得,,x2APDC x,1，x,4，则AP的长为1或4( 12 ABAP2x,,(2)?解:类似(1)?，易得?ABP??DPQ，? (即，得PDDQ5,x2，y 152，1,x,4( y,,x，x,222 5?AP,2或AP,3,( 2.(03年上海27题)如图，在正方形ABCD中，AB,1，弧AC是点B为圆心，AB长为半径的圆的一段弧。点E是边AD上的任意一点(点E与点A、D不重合)，过E作弧AC所在圆的切线，交边DC于点F，G为切点: (1)当?DEF,45º时，求证:点G为线段EF的中点; (2)设AE,x，FC,y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域; 5(3)将?DEF沿直线EF翻折后得?DEF，如图，当EF,时，讨论?ADD与?EDF1116 是否相似，如果相似，请加以证明;如果不相似，只要求写出结论，不要求写出理由。 3.(05年上海25题12分)在?ABC中，?ABC,90?，AB,4，BC,3，O是边AC上的一个 动点，以点O为圆心作半圆，与边AB相切于点D，交线段OC于点E，作EP?ED，交射线 AB于点P，交射线CB于点F。 (1) 如图8，求证:?ADE??AEP; (2) 设OA,x，AP,y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域; (3) 当BF,1时，求线段AP的长. F BB P D CACEOA 图9(备用图)图8 25.1()证明:连结OD ？APDODAPED切半圆于，？，,，,:90 又，？ODOEODEOED,？，,， ？:，，,:，，9090ODEOED ？，,，，,，EDAPEAAA，又？ J ？,,ADEAEP ODCB()2,OAAC OD334,,,,,ODxOEADx,同理可得:x555 ？ ,,ADEAEP 8xAPAEy4641625？,,,,,,,xyxyx84AEAD5255xx55 (0)x, (3)由题意可知存在三种情况但当在点左侧时,,显然大于,所以不合舍去EC 5当时如图)xAPAB,,(4 延长，交于DOBEH 易证,,,DHEDJE 6？,，,，,:HDxPBEPDH,90？5 ？,,PFBPHD 1PB？,,,,,PBAP26612xx55 5当时点在点的右侧xPB,4 延长交于点DOPEH, 同理可得,,,DHEEJD ,,PBFPDH 1BP？,,,BP2612xx55 ？,,,AP422 4.(06年25题)(本题满分14分，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分7分，第(3)小题满分3分)已知点P在线段AB上，点O在线段AB的延长线上。以点O为圆心，OP为半径作圆，点C是圆O上的一点。 (1) 如图，如果AP=2PB，PB=BO。求证:?CAO??BCO; (2) 如果AP=m(m是常数，且m〉1)，BP=1，OP是OA、OB的比例中项。当点C在 圆O上运动时，求AC:BC的值(结果用含m的式子表示); 3) 在(2)的条件下，讨论以BC为半径的圆B和以CA为半径的圆C的位置关系，( 并写出相应m的取值范围。 C A P B O ？APPBPBBOPO,,，,2？,AOPO2，( (1)证明: AOPO？,,2((2分) POBO ？POCO,，(1分) AOCO？??COABOC,？???CAOBCO？,(，((1分) COBO OPx,OBx,,1OAxm,，？OPOAOB(2)解:设，则，，是，的比例中项， 2？,,，xxxm1，(1分) ，，，， mmx,OP,得，即((1分) m,1m,1 1？,OB((1分) m,1 OAOP？OPOAOB,是，的比例中项，即， OPOB OAOC？OPOC,？,，((1分) OCOB OCABP设圆与线段的延长线相交于点Q，当点与点，点Q不重合时， ？??AOCCOB,？???CAOBCO，((1分) ACOC？,((1分) BCOB ACOCOPACC,mP？,,,mQ;当点与点或点重合时，可得， BCBCOBOB COACBCm:,当点在圆上运动时，;(1分) ？ ACBC,(3)解:由(2)得，，且， ACBCmBCm,,,,11，，，， CdBC,，圆和圆的圆心距， BACBCmBC，,，1，， C显然，圆和圆的位置关系只可能相交、内切或内含( BBCmBC,，1？，， C02,,m当圆与圆相交时，，得， BmBCBCmBC,,,，11，，，， ？m,1？,,12m，;(1分) Cm,2当圆B与圆内切时，，得;(1分) mBCBC,,1，， Cm,2当圆B与圆内含时，，得( (1分) BCmBC,,1，， 5.(10年上海25题)如图，在Rt?ABC中，?ACB=90?(半径为1的圆A与边AB相交于点D，与边AC相交于点E，连接DE并延长，与线段BC的延长线交于点P( (1)当?B=30?时，连接AP，若?AEP与?BDP相似，求CE的长; (2)若CE=2，BD=BC，求?BPD的正切值; (3)若tan?BPD=，设CE=x，?ABC的周长为y，求y关于x的函数关系式( 解答:解:(1)??B=30?，?ACB=90?， ??BAC=60?(?AD=AE，??AED=60?=?CEP，??EPC=30?( ??BDP为等腰三角形(??AEP与?BDP相似，??EPA=?DPB=30?，?AE=EP=1( ?在Rt?ECP中，EC=EP=; (2)设BD=BC=x( 222在Rt?ABC中，由勾股定理，得:(x+1)=x+(2+1)，解之得x=4，即BC=4( ?AFC相似，?，即AF=AC，即DF=EC=2， 过点C作CF?DP(??ADE与 ?BF=DF=2(??BFC与?BDP相似，?，即:BC=CP=4( ?tan?BPD=( C于点Q( (3)过D点作DQ?A 则?DQE与?PCE相似，设AQ=a，则QE=1,a(?且， 222 ?DQ=3(1,a)(?在Rt?ADQ中，据勾股定理得:AD=AQ+DQ 222即:1=a+[3(1,a)]，解之得( ??ADQ与?ABC相似，?(?( ??ABC的周长，即:y=3+3x，其中x,0( 【课后作业】 1( 一艘轮船和一艘快艇沿相同路线从甲港出发到乙港，行驶过程随时间变化的图像如上图所示，下列结论错误的是( B ) (( 80A(轮船的速度为20千米/小时 B(快艇的速度为千米/小时 3 C(轮船比快艇先出发2小时 D(快艇比轮船早到2小时 A N ED M CB S1,DMN,ABCDEMDE2(如上图,是的中位线，是的中点,那么= ( 16S,NBC ，BCA,90:，B,30:3(如图，已知Rt?ABC中，，，AB=2，若以A为圆心，AC为半径 ,,3,CDCD的交AB于D，则和线段CB、DB所围成图形的面积为 __(结果保留)( ,,26 CD,4AB,124(如图，圆弧形桥拱的跨度米，拱高米，则圆弧形桥拱所在圆的半径为 16 米( 2 ，MPN,90:5(如图，将矩形纸片ABCD折叠，B、C两点恰好重合落在AD边上点P处，已知， 144PM=3，PN=4，，那么矩形纸片ABCD的面积为 ______( 5 D'A'APDAD BCCNMB第18题 第16题 第17题 22,xxyy,，,320 1124(x，),5(x,),14,06((1)解方程: (2)解方程组 ,222xx 10 xy，,, 7(上海市某中学组织全校3200名学生进行了“世博”相关知识竞赛(为了解本次知识竞赛的成绩情况，从中随机抽取了部分学生的成绩(得分取正整数，满分为100分)，并绘制了如图的频数分布表和频数分布直方图( 频数 分组 频数 频率 160 50.5~60.5 0.05 140 120 60.5~70.5 100 70.5~80.5 80 80 60 80.5~90.5 104 0.26 40 20 90.5~100.5 148 0.37 成绩/分 0 50.5 60.5 70.5 80.5 90.5 100.5 合计 1 请根据以上提供的信息，解答下列问题: (1)补全频数分布表和频数分布直方图; (2)上述学生成绩的中位数落在哪一组范围内,80.5~90.5 (3)学校将对成绩在90.5~100.5分之间的学生进行奖励，请估计全校3 200名学生中约有多少名获奖, 1184 4 8(如图，某中心广场灯柱AB被钢缆CD固定，已知CB,5米，且( sin，,DCB5 (1) 求钢缆CD的长度; (2) 若AD,2米，灯的顶端E距离A处1.6米，且?EAB,120?，则灯的顶端E距离地面 多少米, DB4Rt,DCBsin，DCB,,(1) 在中， 设则DB,4x,DC,5x,DC5 1522，，，，BC,5x,4x,3x3x,5,x,.CD,5x,8 ? ? ? BC,5,33 2BD,4x,6 (2) 3 2过E作EF垂直于BC交于点F，过A作AG垂直于EF交于点G，由题意有AB=GF=8 3 E 0Rt,DCB，EAG,30在中，，AE=1.6米，?EG=0..8米 A 7?EF=9米。 D 15 C B 9(在等腰梯形ABCD中，AD?BC，E、F是边BC上的两点，且BE,FC，DE与AF相交于梯形ABCD内一点O( (1) 求证:OE,OF; (2) 当EF,AD时，联结AE、DF，先判断四边形AEFD是怎样的四边形，再证明你的 结论( DA O BFCE (1)?四边形ABCD是等腰梯形， ??BE=FC， ，B,，C,AB,CD ?BF=EC??ABF??DCE ??OE=OF ，DEF,，AFB (2)四边形AEFD是矩形 ?EF,AD且 EF?AD， ?四边形AEFD是平行四边形由(1)有?ABF??DCE ?AF=DE?四边形AEFD是矩形。 10(已知:如图，在平面直角坐标系中，点B在轴上，以3为半径的?B与轴相切，yx l直线过点,且和?B相切，与轴相交于点C( A,2,0y，， 2lO(1)求直线的解析式;(2)若抛物线经过点和,，顶点在?Byaxbxca,，，,(0) l上，求抛物线的解析式;(3) 若点E在直线上，且以A为圆心，AE为半径的圆与?B相 切，求点E的坐标( y l C OBA x l(1)过B作BD垂直交于点D， l??B与相切， 22Rt,ADB，，，，AD,5,3,4?BD=3在中， AB=5， AOAD4Rt,ACORt,ADBcot，CAO,,,在、中， ， CODB3 ?AO=2，?CO=1.5。 3lk,A,2,0 设直线的解析式为，代入得， y,kx，1.5，，4 3y,x，1.5? 4 (2)过OB的中点F作HF垂直于x轴交?B于点H，联结BH。 33322Rt,HFB，，，，HF,3,1.5,3H(,,3)?在中，BH=3，BF=1.5，?将222 332H(,,3)O(0,0)、B(3,0)代入 yaxbxca,，，,(0)22 22y,3x,23x得 3 262224E(,,)E(,)(3)当两圆外切时，AE=2，当两圆内切时，AE=8， 5555 411(已知如图，在等腰梯形ABCD中， AD?BC，AB=CD，AD=3，BC=9，tan，ABC,， 3 直线MN是梯形的对称轴，点P是线段MN上一个动点(不与M、N重合)，射线BP交线 段CD于点E，过点C作CF?AB 交射线BP于点F( 2(1) 求证:; PCPEPF,, (2) 设PN，CE，试建立和之间的函数关系式，并求出定义域; ,yy,xx ,EFC,PDC(3) 联结PD，在点P运动过程中，如果和相似，求出PN的长( MAD，ABC,，DCB(1)? AD?BC，AB=CD，?， FE?直线MN是梯形的对称轴， P?PB=PC。 ，PBC,，PCB?， NCB ，ABP,，DCP?， ?AB?CF ?，ABP,，F ，F,，DCP，EPC,，FPC?? 2,PEC,PCF?? ?PCPEPF,, 4tan，ABC,tan，DCB,(2)过点E作EG?BC，? 3 43EG,y,GC,y.?由题意有EG?MN 55 x4.5PNBN,,?，即 43EGBGy9,y55 15xy,(0,x,3) x，6 ，PDC,，DCF(3)(?)当时，PD?CF ，MDP,，ABC? 31.53x,2,tan，MDP,tan，ABC,?，即? 44,x4 ，PDC,，FEC,，DEP(?)当时，过点P作PH?DE交AD的延长线于点O。 5,y，ODC,，DCB,，DPCDH,EH,则 ? 2 DE5,y5DO,,,? sin，ODC23 5,y5425,241MO41.5，,,x,x,.又，即， MP323316 25,24125,241x,2,EFC,PDC2、x,or都在定义域内，所以当时，和相似。 1616