隐函数的求导公式

隐函数的求导公式 第八章 多元函数微分法及其应用 第五讲 第五讲 隐函数的求导公式 授课目: ?8.4 隐函数的求导公式 教学目的与要求: 会求隐函数(包括由两个方程组成的方程组确定的隐函数)的偏导数。 教学重点与难点: 重点:求由一个方程确定的隐函数的偏导数。 难点:求隐函数(包括由两个方程组成的方程组确定的隐函数)的偏导数。 讲授内容: 一、一个方程的情形 隐函数存在定理1 设函数F(x～ y)在点P(x～ y)的某一邻域内具有连续00 偏导数～ F(x～ y),0～ F(x～ y),0～ 则方程F(x～ y),0在点(x～ y)的某一邻域内00y0000恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数y,f(x)～ 它满足条件y,f(x)～ 00并有 Fdyx ,,, (2) dxFy 公式(2)的推导:将y,f(x)代入F(x～ y),0～ 得恒等式 F【x～ f(x)】,0～ 等式两边对x求导得 dy,F,F，,,0～ ,x,ydx 由于F连续～ 且F(x～ y),0～ 所以存在(x～ y)的一个邻域～ 在这个邻域同 yy0000 F ,0～ 于是得 y Fdyx,, dxFy 22 例1 验证方程x，y,1,0在点(0～ 1)的某一邻域内能唯一确定一个有连续导数、当x,0时y,1的隐函数y,f(x)～ 并求这函数的一阶与二阶导数在x,0的值, 22 解 设F(x～ y),x，y,1～ 则F,2x～ F,2y～ F(0～ 1),0～ F(0～ 1),2,0, 因此由xyy 第八章 多元函数微分法及其应用 第五讲 22定理1可知～ 方程x，y,1,0在点(0～ 1)的某一邻域内能唯一确定一个有连续导数、当x,0时y,1的隐函数y,f(x), Fdydyxx,,,,,0，, dxdxFyyx,0 xy,x(,)2222,dyy,xyyy，xdy1,,,,,,,, , ,,1222332dxyyyydxx,0 隐函数存在定理还可以推广到多元函数，一个二元方程F(x～ y),0可以确定一个一元隐函数～ 一个三元方程F(x～ y～ z),0可以确定一个二元隐函数, 隐函数存在定理2 设函数F(x～ y～ z)在点P(x～ y～ z)的某一邻域内具有000 连续的偏导数～ 且F(x～ y～ z),0～ F(x～ y～ z),0 ～ 则方程F(x～ y～ z),0在点000z000 (x～ y～ z)的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数000 z,f(x～ y)～ 它满足条件z,f(x～ y)～ 并有 000 FFy,z,zx,,,, ～ (4) ,yF,xFzz 公式(4)的推导:将z,f(x～ y)代入F(x～ y～ z),0～ 得F【x～ y～ f(x～ y)】,0～ 将它的两端分别对x和y求导～ 得 ,z,z～ F，F,,0,F，F,,0 yzxz,y,x 因为F连续且F(x～ y～ z),0～ 所以存在点(x～ y～ z)的一个邻域～ 使F,0～ z z000000 z于是得 FFy,z,zx,,,,～ , ,yF,xFzz 2,zz.e,z，xy,3 例2. 设函数由方程所确定～ 求( 2,x z.ze,z，xy,3 解 设F(x～ y～ z), ～ 则F,～ F,e,1～ yxz F,zyyx,,,,, zz,xFe,11,ez 第八章 多元函数微分法及其应用 第五讲 y,zzzye,,y(,e)22zz,zye,x1,e,,, 2z222z3,x(1,e)(1,e)(1,e)二、方程组的情形 在一定条件下～ 由个方程组F(x～ y～ u～ v),0～ G(x～ y～ u～ v),0可以确定一对二元函数u,u(x～ y)～ v,v(x～ y)～ 例如方程xu,yv,0和yu，xv,1可以确定两个 yxu,二元函数～ v,(一般地，方程组 2222x，yx，y F(x,y,u,v),0, (5) ,G(x,y,u,v),0, 如何根据原方程组求u～ v对x和,y的偏导数, 介绍二阶行列式、简要介绍解线性方程的克莱姆法则。 隐函数存在定理3 设F(x y u v)、G(x y u v)在点P(x y u v)的某一邻域内具有对各个变量的连续偏导数，又F(x00000 y u v),0 G(x y u v),0，且偏导数所组成的函数0000000 行列式: ,F,F ,(F,G),u,vJ,, ,G,G,(u,v) ,u,v 在点P(x y u v)不等于零，则方程组F(x y u v),0 0000 G(x y u v),0在点P(x y u v)的某一邻域内恒能唯一确0000 定一组连续且具有连续偏导数的函数u,u(x y)，v,v(x y)，它们满足条件u,u(x y)，v,v(x y)，并有 000000 FFxv GG,(F,G),u1xv,,,, ,xJ,(x,v)FFuv GGuv 第八章 多元函数微分法及其应用 第五讲 FFux GG,(F,G),v1ux (6) ,,,,,xJ,(u,x)FFuv GGuv FFyv GGyv,(F,G),u1 ,,,,,yJ,(y,v)FFuv GGuv FFuy GGuy,(F,G),v1,,,, ,yJ,(u,y)FFuv GGuv公式(6)的推导:设方程组F(x～ y～ u～ v),0～ G(x～ y～ u～ v),0确定一对具有连 续偏导数的二元函数u,u(x～ y)～ v,v(x～ y)～ 则 F[x,y,u(x,y),v(x,y)],0, ,G[x,y,u(x,y),v(x,y)],0, FFuv,u,v由，从而偏导数～ 由方程组 J,,0,x,xGGuv ,u,v,F，F，F,0,xuv,,x,x ,,u,vG，G，G,0.,xuv,x,x, ,u,v确定，偏导数～ 由方程组 ,y,y ,u,v,F，F，F,0,yuv,,y,y ,,u,vG，G，G,0.,yuv,y,y, 确定( dydz222x，y，z 例3 设x+y+z,0，,1～ 求 dxdx 解 这两个方程确定了两个隐函数:y,,(x)，z,,(x)，两个方程两边分别 第八章 多元函数微分法及其应用 第五讲 dydz对x 求导～ 得关于和的方程组 dxdx dydz,，,,1,,dxdx～ ,dydz,y，z,,x,dxdx, 11当z-y ,0时，解之得 ,yz ,11 ,xzdyx,z ,,dxz,yz,y 1,1 y,xdzy,x,, dxz,yz,y 例4 设函数x,x(u～ v)～ y,y(u～ v)在点(u～ v)的某一领域内连续且有连续 ,(x,y),0偏导数～ 又 ,(u,v) (1)证明方程组 x,x(u,v), ,y,y(u,v), 在点(x～ y～ u～ v)的某一领域内唯一确定一组单值连续且有连续偏导数的反函数u,u(x～ y)～ v,v(x～ y), (2)求反函数u,u(x～ y)～ v,v(x～ y)对x～ y的偏导数, 解 (1)将方程组改写成下面的形式 F(x,y,u,v),x,x(u,v),0,～ ,G(x,y,u,v),y,y(u,v),0, ,(F,G),(x,y)J,,,0.则按假设 ,(u,v),(u,v) 第八章 多元函数微分法及其应用 第五讲 由隐函数存在定理3，即得所要证的结论, (2)将方程组(7)所确定的反函数u,u(x～ y)～v,v(x～ y)代入(7)，即得 x,x[u(x,y),v(x,y)],～ ,y,y[u(x,y),v(x,y)], 将上述恒等式两边分别对x求偏导数，得 ,x,u,x,v,1,,，,,,u,x,v,x, ,,y,y,u,v,0,,，,,u,x,v,x, 由于J,0，故可解得 ,y,y,v1,u1,,～ , ,,xJ,v,xJ,u 同理，可得 ,u1,x,v1,x,,,～ , ,yJ,u,yJ,v 课外作业:习题8,5:P-2、8、10(3) 37 第八章 多元函数微分法及其应用 第五讲