几个类海伦公式2

几个类海伦2 几个类海伦公式 我们知道三角形中有一个关于三角形面积的海伦公式，即已知三角形的三边a，b，c，令p=(a+b+c)，则面积，因为它的形式十分对称而为著名，应用广泛，本文我们将推导几个类似于海伦公式的面积公式，并以问题的形式进行论述。 已知:三角形的三条中线的长为m，m，m，求三角形的面积S。 abc 解:为了便于求解，我们先介绍一下三角形的中线长公式，如果三角形的三边分别为abc， 2222则m=[2(a+b)-c]，m表示边c上的中线。而这个公式的证明要用到这样一个定cc 理:平行四边形四边的平方和等于对角线的平方和. 如果平四边形的两个邻边为ab向量来证明， 22222222(a+b)+(a-b)=a+b+2ab+a+b-2ab=2(a+b) 这就证明了这个定理。取a+b为c，a-b为2m，立即就推出了中线长公式。 c 2222同理 m=+c)-a], [2(ba 2222m= [2(c+a)-b]， b 222有以上三个公式解出a，b，c: 2222a=[2(m+m)-m]， bca 2222b= [2(m+m)-m]， acb 2222c= [2(m+m)-m]， bac 2222222将它们代入秦九勺公式s=ab-[1?2(a+b-c)]，最终得到 S= 如果记m= (m+m+m),那么公式将变为 abc S=. 于是我们便又得到了一个漂亮的面积公式。 已知:三角形的三条高的长为h，h，h，求三角形的面积S。 abc 解:因为S=ah=bh=ch abc 从而p= (abc)=s() p-a=, p-b=, p-c=, 代入海伦公式中得: = 如果记=那么公式将变为 = 于是我们又得到了一个漂亮的公式了。 已知:梯形ABCD，顺次边长为AB=a，BC=b，CD=c， DA=d，AB//CD,求其面积S. 解:作CE//DA,延长BA到F使FA=AE， 从而有?CDG??FAG， ?= . ?= . 又?= , = , ?= = = . 又?CEB中三边分别为a-c，b，d，由海伦公式可得: = (p=) 这又是一个漂亮的公式. 已知:四边形ABCD对角互补，即ABCD有外接圆，四边顺次为 AB=a，BC=b，CD=c，DA=d,求其面积S. 解:=+ ad+cd 而由余弦定理: = 又?A+C=B+D= ?=sinA ?cosA= ， ?sinA== 反复利用平方差公式可化为:sinA= 故四边形面积为: S= . (p=)). 合肥工业大学翡翠湖校区 371信箱 王东(230601)