有限元法对悬臂梁分析--MATLAB

有限元法对悬臂梁分析--MATLAB 用有限元法对悬臂梁分析的算例 算例: 252, 如下图所示的悬臂梁，受均布载荷q,1N,mm作用。E,2(1×10N,mmμ,0.3厚度h,10mm。现用有限元法分析其位移及应力。 梁可视为平面应力状态，先按图示划分为均匀的三角形网格，共有8×10,80个单元，5×ll,55个节点，坐标轴以及单元与节点的编号如图。将均布载荷分配到各相应节点上，把有约束的节点5l、52、53、54、55视作固定铰链，建立如图所示的离散化计算模型。 程序计算框图: (续左) 开 始 处理根部约束，修改【K】【Q】 输入参数 求解[K][δ],[Q] 整理[δ] 并画图 计算具有代表性 的单元刚阵 计算单元应力，并输出 K<=0 结束 将各单元刚阵按 整体编号集成到 整体刚阵 (接右) 程序中的函数功能介绍及源代码 1. LinearTriangleElementStiffness(E,NU,t,xi,yi,xj,yj,xm,ym)――该函数用于计算平面应力情况下弹 性模量为E、泊松比为NU、厚度为t、第一个节点坐标为(xi,yi)、第二个节点坐标为(xj,yj)、第三个节 点坐标为(xm，ym)时的线性三角形元的单元刚度矩阵.该函数返回6×6的单位刚度矩阵k. 2. LinearTriangleAssemble(K,k,i,j,m)――该函数将连接节点i,j,m的线性三角形元的单元刚度矩阵k集成 到整体刚度矩阵K。每集成一个单元，该函数都将返回2N×2N的整体刚度矩阵K. 3. LinearTriangleElementStresses(E,NU,t,xi,yi,xj,yj,xm,ym,u)-- 该函数计算在平面应力情况下弹性模 量为E、泊松比为NU、厚度为t、第一个节点坐标为(xi,yi)第二个节点坐标为(xj,yj)、第三个节点坐标 为(xm，ym)以及单元位移矢量为u时的单元应力。该函数返回单元应力矢量。 函数源代码: function y = LinearTriangleElementStiffness(E,NU,t,xi,yi,xj,yj,xm,ym) A = (xi*(yj-ym) + xj*(ym-yi) + xm*(yi-yj))/2;%三角形单元面积，单元节点应该按逆时针排序，保证每个 三角形单元的面积都为正值(也可作为一个小函数:LinearTriangleElementArea) betai = yj-ym;betaj = ym-yi;betam = yi-yj;gammai = xm-xj; gammaj = xi-xm;gammam = xj-xi; B = [betai 0 betaj 0 betam 0 ; 0 gammai 0 gammaj 0 gammam ; gammai betai gammaj betaj gammam betam]/(2*A); 为应变矩阵，其中betai=yi-ym,betaj=ym-yi,betam=yi-yj. %B gammai=xm-xj, gammaj=xi-xm, gammam=xj-xi. D = (E/(1-NU*NU))*[1 NU 0 ; NU 1 0 ; 0 0 (1-NU)/2]; %D为弹性矩阵，分为平面应力问和平面应变问题 对于平面应力问题D = (E/(1-NU*NU))*[1 NU 0 ; NU 1 0 ; 0 0 (1-NU)/2]; 对于平面应变问题E1=E/(1-NU*NU)，NU1=NU/(1-NU) y = t*A*B'*D*B;%单元刚度矩阵 function y = LinearTriangleAssemble(K,k,i,j,m) K(2*i-1,2*i-1) = K(2*i-1,2*i-1) + k(1,1); K(2*i-1,2*i) = K(2*i-1,2*i) + k(1,2); K(2*i-1,2*j-1) = K(2*i-1,2*j-1) + k(1,3); K(2*i-1,2*j) = K(2*i-1,2*j) + k(1,4); K(2*i-1,2*m-1) = K(2*i-1,2*m-1) + k(1,5); K(2*i-1,2*m) = K(2*i-1,2*m) + k(1,6); K(2*i,2*i-1) = K(2*i,2*i-1) + k(2,1); K(2*i,2*i) = K(2*i,2*i) + k(2,2); K(2*i,2*j-1) = K(2*i,2*j-1) + k(2,3); K(2*i,2*j) = K(2*i,2*j) + k(2,4); K(2*i,2*m-1) = K(2*i,2*m-1) + k(2,5); K(2*i,2*m) = K(2*i,2*m) + k(2,6); K(2*j-1,2*i-1) = K(2*j-1,2*i-1) + k(3,1); K(2*j-1,2*i) = K(2*j-1,2*i) + k(3,2); K(2*j-1,2*j-1) = K(2*j-1,2*j-1) + k(3,3); K(2*j-1,2*j) = K(2*j-1,2*j) + k(3,4); K(2*j-1,2*m-1) = K(2*j-1,2*m-1) + k(3,5); K(2*j-1,2*m) = K(2*j-1,2*m) + k(3,6); K(2*j,2*i-1) = K(2*j,2*i-1) + k(4,1); K(2*j,2*i) = K(2*j,2*i) + k(4,2); K(2*j,2*j-1) = K(2*j,2*j-1) + k(4,3); K(2*j,2*j) = K(2*j,2*j) + k(4,4); K(2*j,2*m-1) = K(2*j,2*m-1) + k(4,5); K(2*j,2*m) = K(2*j,2*m) + k(4,6); K(2*m-1,2*i-1) = K(2*m-1,2*i-1) + k(5,1); K(2*m-1,2*i) = K(2*m-1,2*i) + k(5,2); K(2*m-1,2*j-1) = K(2*m-1,2*j-1) + k(5,3); K(2*m-1,2*j) = K(2*m-1,2*j) + k(5,4); K(2*m-1,2*m-1) = K(2*m-1,2*m-1) + k(5,5); K(2*m-1,2*m) = K(2*m-1,2*m) + k(5,6); K(2*m,2*i-1) = K(2*m,2*i-1) + k(6,1); K(2*m,2*i) = K(2*m,2*i) + k(6,2); K(2*m,2*j-1) = K(2*m,2*j-1) + k(6,3); K(2*m,2*j) = K(2*m,2*j) + k(6,4); K(2*m,2*m-1) = K(2*m,2*m-1) + k(6,5); K(2*m,2*m) = K(2*m,2*m) + k(6,6); y = K;%对号入座，如前所述，每集成一次都将返回2N×2N的整体刚度矩阵K.此题为110×110 function y = LinearTriangleElementStresses(E,NU,t,xi,yi,xj,yj,xm,ym,u) A = (xi*(yj-ym) + xj*(ym-yi) + xm*(yi-yj))/2; betai = yj-ym;betaj = ym-yi;betam = yi-yj;gammai = xm-xj;gammaj = xi-xm;gammam = xj-xi; B = [betai 0 betaj 0 betam 0 ; 0 gammai 0 gammaj 0 gammam ; gammai betai gammaj betaj gammam betam]/(2*A); D = (E/(1-NU*NU))*[1 NU 0 ; NU 1 0 ; 0 0 (1-NU)/2];%平面应力和平面应变问题两种情况 y = D*B*u;%单元应力计算 主程序源代码 E=21e7;NU=0.3;t=0.01; stifflike5=LinearTriangleElementStiffness(E,NU,t,0.4,0.08,0.36,0.08,0.36,0.06,1)%选取2个基本单元，调用M文件 stifflike1=LinearTriangleElementStiffness(E,NU,t,0.4,0.08,0.36,0.06,0.4,0.06,1) 一个稀疏矩阵 K=sparse(110,110); %creat a xishu matrix for total stiff创建 for i=1:49 if rem(i,5)%模取余， bool型变量，非零即为真 j=i; K=LinearTriangleAssemble(K,stifflike5,j,j+5,j+6);%节点编号 K=LinearTriangleAssemble(K,stifflike1,j,j+6,j+1); end end%将每个单元刚度矩阵集成到总刚中 转化稀疏矩阵 k=K(1:100,1:100); K=full(K);% k=[K,zeros(100,10);zeros(10,100),eye(10)]; =sparse(k);%利用边界条件简化基本方程 k Q=sparse(2:10:92,1,[-200,-400,-400,-400,-400,-400,-400,-400,-400,-400,],110,1);%外部荷载，此处不包括约束条件，通过形函数确定，是不是可以理解为梁的两端为中间的一半呢, d=k\Q;%高斯消元法，比克莱姆法则在计算速度上有绝对的优势～ x=0:0.04:0.4; plot(x,d(106:-10:6))%基本绘图命令 grid%带网格 y=zeros(80,3); q=0; for i=1:49 switch rem(i,5) case 1 j=2*i; u=[d(j-1) d(j) d(j+11) d(j+12) d(j+1) d(j+2)]; u=u'; xl=0.4;yl=0.08;xm=0.36;ym=0.06;xn=0.4;yn=0.06; y(i+q,:)=LinearTriangleElementStresses(E,NU,t,xl,yl,xm,ym,xn,yn,u)'; xl=xl-0.04;xm=xm-0.04;xn=xn-0.04; case 2 j=2*i; u=[d(j-1) d(j) d(j+11) d(j+12) d(j+1) d(j+2)]; u=u'; xl=0.4;yl=0.06;xm=0.36;ym=0.04;xn=0.4;yn=0.04; y(i+q,:)=LinearTriangleElementStresses(E,NU,t,xl,yl,xm,ym,xn,yn,u)'; xl=xl-0.04;xm=xm-0.04;xn=xn-0.04; case 3 j=2*i; u=[d(j-1) d(j) d(j+11) d(j+12) d(j+1) d(j+2)]; u=u'; xl=0.4;yl=0.04;xm=0.36;ym=0.02;xn=0.4;yn=0.02; y(i+q,:)=LinearTriangleElementStresses(E,NU,t,xl,yl,xm,ym,xn,yn,u)'; xl=xl-0.04;xm=xm-0.04;xn=xn-0.04; case 4 j=2*i; u=[d(j-1) d(j) d(j+11) d(j+12) d(j+1) d(j+2)]; u=u'; xl=0.4;yl=0.02;xm=0.36;ym=0;xn=0.4;yn=0; y(i+q,:)=LinearTriangleElementStresses(E,NU,t,xl,yl,xm,ym,xn,yn,u)'; xl=xl-0.04;xm=xm-0.04;xn=xn-0.04; otherwise q=q+3; end end q=4; for i=1:49 switch rem(i,5) case 1 j=2*i; u=[d(j-1) d(j) d(j+9) d(j+10) d(j+11) d(j+12)]; u=u'; xl=0.4;yl=0.08;xm=0.36;ym=0.08;xn=0.36;yn=0.06; y(i+q,:)=LinearTriangleElementStresses(E,NU,t,xl,yl,xm,ym,xn,yn,u)'; xl=xl-0.04;xm=xm-0.04;xn=xn-0.04; case 2 j=2*i; u=[d(j-1) d(j) d(j+9) d(j+10) d(j+11) d(j+12)]; u=u'; xl=0.4;yl=0.06;xm=0.36;ym=0.06;xn=0.36;yn=0.04; y(i+q,:)=LinearTriangleElementStresses(E,NU,t,xl,yl,xm,ym,xn,yn,u)'; xl=xl-0.04;xm=xm-0.04;xn=xn-0.04; case 3 j=2*i; u=[d(j-1) d(j) d(j+9) d(j+10) d(j+11) d(j+12)]; u=u'; xl=0.4;yl=0.04;xm=0.36;ym=0.04;xn=0.36;yn=0.02; y(i+q,:)=LinearTriangleElementStresses(E,NU,t,xl,yl,xm,ym,xn,yn,u)'; xl=xl-0.04;xm=xm-0.04;xn=xn-0.04; case 4 j=2*i; u=[d(j-1) d(j) d(j+9) d(j+10) d(j+11) d(j+12)]; u=u'; xl=0.4;yl=0.02;xm=0.36;ym=0.02;xn=0.36;yn=0; y(i+q,:)=LinearTriangleElementStresses(E,NU,t,xl,yl,xm,ym,xn,yn,u)'; xl=xl-0.04;xm=xm-0.04;xn=xn-0.04; otherwise q=q+3; end end% y(i+q,:)这是实现什么的,没见过这种用法，算法上应该就是通过节点位移实现指定单元的内力，这部分本人看的也晕晕的，望高人指点, N=y(73:80,1) 结果图及数据输出 悬臂梁轴线挠度图: 0 -0.05 -0.1 -0.15 w/m -0.2 -0.25 -0.3 -0.35 00.050.10.150.20.250.30.350.4 x/m 一单元的单元刚阵 1.0e+006 * 0.8077 0 0 -0.4038 -0.8077 0.4038 0 2.3077 -0.3462 0 0.3462 -2.3077 0 -0.3462 0.5769 0 -0.5769 0.3462 -0.4038 0 0 0.2019 0.4038 -0.2019 -0.8077 0.3462 -0.5769 0.4038 1.3846 -0.7500 0.4038 -2.3077 0.3462 -0.2019 -0.7500 2.5096 五单元的单元刚阵 1.0e+006 * 0.5769 0 -0.5769 0.3462 0 -0.3462 0 0.2019 0.4038 -0.2019 -0.4038 0 -0.5769 0.4038 1.3846 -0.7500 -0.8077 0.3462 0.3462 -0.2019 -0.7500 2.5096 0.4038 -2.3077 0 -0.4038 -0.8077 0.4038 0.8077 0 -0.3462 0 0.3462 -2.3077 0 2.3077 2根部73-80各单元应力计算结果如下(n/m): 1.0e+007 * 2.1119 -0.0621 -2.2816 -4.8824 5.0479 2.4065 0.0352 -2.3753