电磁波的传播-4

电磁波的传播-4 第四章 电磁波的传播(9课时) 节次 小节标题 节 名 电磁场的波动方程，时谐电磁场，无限均匀、线性各向同性绝 电磁场波动方程和 缘介质中的平面 4.1 时谐电磁场 .电磁波，电磁波的偏振 电磁波在绝缘介质 定解问题的提法，定态波动方程和无散条件对反射波和折射波 的约束，边值关系对反射波和折射波频率和波矢的约束，边值 4.2 界面上的反射和折 关系对反射波和折射波的幅度约束，物理，能量守恒和动 量守恒关系 射 导体介质中的电磁 基本方程，无限均匀导体中的平面电磁波，电磁波在导体表面 4.3 的反射与折射 波 基本方程和边界条件，谐振腔，波导管 4.4 谐振腔和波导管 三类典型的电磁波问题:传播，激发，与介质相互作用 电磁场的波动性和波动方程，定解问题转换(传播问题) 时谐电磁场，独立齐次边值关系 绝缘介质和导体中的电磁波，电磁波在界面上的反射和折射 有限空间的电磁波的传播，谐振腔和波导管 1 4.1 电磁场波动方程和时谐电磁场 一 电磁场的波动方程(分区均匀线性各向同性介质) 1. 基本方程 ?B ?D ?× E = ? , ? × H = j0 + ?t ?t ? ? D = ρ0 , ??B = 0 { (4.1.1) (4.1.2) 2. 边值关系 D = εE , (4.1.4) n ? ( B2 ? B1 ) = 0 ?ζ 0 n ? ( j02 ? j01 ) = ? ?t n × ( H 2 ? H1 ) = 0 绝缘介质、普通导体界面: i0 = 0 (4.1.5) 绝缘介质界面: ζ0,0 n ? ( D2 ? D1 ) = 0 齐次边值关系直接用于求解，非齐次边值关系事后用来确定界面场源 n ? ( D2 ? D1 ) = ζ 0 , { n × ( E 2 ? E1 ) = 0, 2 ?ρ 0 + ? ? j0 = 0 ?t B = μH , j0 = ζE , n × ( H 2 ? H 1 ) = i0 ρ0 = 0 (4.1.3) { 2011-2-10 第四章 电磁波的传播 1 2011-2-10 第四章 电磁波的传播 2 3 4.1 电磁场波动方程和时谐电磁场 3. 电场波动方程 将电磁性能方程(4.1.3)代入麦克斯韦方程(4.1.1)得 ?B ?E ?× E = ? , ? × B = μζE + με (4.1.6) ?t ?t ? ? E = 0, ??B = 0 运用矢量分析手段，从方程中消去B，化作仅含E 的方程: ?B ? ? × (? × E ) = ?(? ? E ) ? ? 2 E = ?? 2 E = ?? × = ? (? × B ) ?t ?t 2 4.1 电磁场波动方程和时谐电磁场 ?B ?E ? ? E = 0, ? ? B = 0 , ? × B = μζE + με (4.1.6) ?t ?t 初始条件: E |t =0 = E 0 (r ), B |t =0 = B0 (r ); 边界条件: Eη |S = E S 4. 电场波动方程的定解问题 原定解问题 { ?× E = ? 新定解问题 (a) 基本方程 4 ? ?E ? E (? × B ) = μζ + με 2 ?t ?t ?t ?E ?2E 2 ? E ? μζ ? με 2 = 0 ?t ?t ?B ? 2B 类似步骤可导出 ? 2 B ? μζ ? με 2 = 0 ?t ?t 2011-2-10 ? ? E = 0, (4.1.7) (4.1.12) 3 (b) 定解条件: 电场: E |t =0 = E 0 (r ), ?E / ?t |t =0 = f 0 (r );? Eη |S = E S 磁场: B |t =0 = B0 (r ) (为何不需要标定边条件,) ?B = ?? × E , ?t ? 2 E ? μζ ? ? B = 0(将证式(4.1.6)第二式自动成立) ?E ?2E ? με 2 = 0 ?t ?t 5 (4.1.7) ? 新老定解问题之间的等效性 ? ? ?E ? ?? × B ? μζE ? με ?=0 ?t ? ?t ? ?E ? ? ?E ?2E ?t t = 0 ? E = ?? × (? × E ) = (? × B ) = μζ E + με 2 ? ?t ?t ?t 2 = 1 με ? × B0 ( r ) ? 6 ζ E 0 (r ) ε ? × B = μζE + με ?E ?t 证毕 第四章 电磁波的传播 2011-2-10 第四章 电磁波的传播 4 4.1 电磁场波动方程和时谐电磁场 二 时谐电磁场 1. 定义:在空间任一点以稳恒振幅随时间 作简谐周期变化的电磁场,称 为时谐电磁场,或称为定态电磁场. 7 4.1 电磁场波动方程和时谐电磁场 4. 时谐电磁场的边值关系 原边值关系 n × ( E ? E ) = 0, 2 1 n ? ( D2 ? D1 ) = ζ 0 , n × ( H 2 ? H 1 ) = i0 2. 时谐电磁场的复数表述 E ( r , t ) = E ( r ) e ? i ωt , B (r , t ) = B (r )e ? i ωt (4.1.13) (4.1.15) (4.1.16) (4.1.17) 3. 定态波动方程 ? /? t ? ? i ω , 2 ? E ?E ? 2 E ? μζ ? με 2 = 0 ?t ?t ?B = ?? × E , ? ? E = 0, ? ? B = 0 ?t ?? E = 0 由式(4.1.17)，??B = 0 自动满足 幅度因子满足的方程化为椭圆型，定解问题转化为边值问题，只需 给定边界条件和无限远处的渐近条件 解的唯一性问题:需由时谐场叠加得通解，然后借助初始条件和其 他外部约束条 8 件解决;例如电磁波的反射和折射将证明解的唯一性 { ? 2 /? t 2 = ?ω 2 ?2E + k 2E = 0 k 2 = ω 2εμ + i ωμζ B=? i ?ζ n ? ( j02 ? j01 ) = ? 0 ?t n × ( H 2 ? H1 ) = 0 绝缘介质、普通导体界面: i0 = 0 绝缘介质界面: ζ0,0 n ? ( D2 ? D1 ) = 0 可由 n × ( E 2 ? E1 ) = 0 导出 齐次边值关系 n ? ( B2 ? B1 ) = 0 n ? ( B2 ? B1 ) = 0 (4.1.4) { C (4.1.5) ω 9 ?× E ??Δ S B?d S = 1 iω ?? ? × E ? d S = ΔS 1 iω n ? B = lim ΔS ?0 i ω ΔS ? 1 10 ? E ?dl ΔS C C Eη ? d l 电场切向分量连续导致磁感应强度法向分量自动连续;对时谐场，后者不独立～ i 一般结论:切向分量连续的任意矢量场，其旋度的法向分量连续: B = ? ? × E ω 2011-2-10 第四章 电磁波的传播 5 2011-2-10 11 第四章 电磁波的传播 6 4.1 电磁场波动方程和时谐电磁场 绝缘介质、普通导体界面(i0 = 0): n × ( H 2 ? H1 ) = 0 (a) 绝缘介质界面: ζ0,0 齐次边值关系 n ? ( D2 ? D1 ) = 0 可由 n × ( H 2 ? H1 ) = 0 导出 证 ? × H = j0 + ?D ?D = ?t ?t 4.1 电磁场波动方程和时谐电磁场 理想导体或超导体边界(体内 E = B = 0) 作为电磁场的边 界 与边值关系自洽的边界条件 S n × ( E 2 ? E1 ) = 0 Eη = 0 2 n E , H , D, B D= 12 i ??ΔD ? d S = ω ??Δ? × H ? d S = ω ? H ? d l S S C i i ω ?× H ΔS C 1(良导体或超导体) 说明:Bn = 0 可由Eη = 0 导出， 即自动满足。 事后用于计算边界面上的传导电流密度和自 由电荷密度 n × ( H 2 ? H 1 ) = i0 13 n ? D = lim ΔS ?0 ω ΔS ? i C Hη ? d l i0 = n × H (b) 普通导体界面: ζ0 ? 0 ， n ? ( D2 ? D1 ) = ζ 0 磁场强度切向分量连续导致电位移矢量法向分量自动连续;后者不独立～ n ? ( D2 ? D1 ) = ζ 0 ζ0 = n? D 关于电位移矢量法向分量的边值关系为非齐次，不直接用 14 于求解，而 是事后用来计算导体界面的自由面电荷密度 结论:用于求解时谐场的 n × ( H 2 ? H1 ) = 0 n × ( E 2 ? E1 ) = 0, 独立齐次边值关系如下: 2011-2-10 第四章 电磁波的传播 7 2011-2-10 第四章 电磁波的传播 8 4.1 电磁场波动方程和时谐电磁场 5. 复数表示下的乘法运算 乘积的瞬时值:取复数量的实部(瞬时值)之后进行乘法运算 15 4.1 电磁场波动方程和时谐电磁场 三 无限均匀线性各向同性绝缘介质中的平面电磁波 i 2 2 求解过程 ? 2 E + k 2 E = 0, k = ω εμ , B = ? ? × E , ? ? E = 0 ω 用直角坐标下的分离变量法求解，对E 的某个分量u : u = X ( x)Y ( y ) Z ( z )e ? i ωt 乘积的周期平均值:可直接由复数量进行计算 类比交流电的平均功率表达式: 平均功率 复电压(共轭) I: 复电流 可写下电磁能密度、能流密度和功率密度 1 w = ( D ? E + B ? H ), S = E × H , p = j?E 2 1 ? 的周期平均值: w = Re( D ? E + B ? ? H ) 4 1 S = Re( E ? × H ) 2 P= 1 Re(V ? I ) 2 { P: 16 V ?: d2 X d2 Y d2 Z 2 = ? k x2 X , = ?k y Y , = ? k z2 Z 2 2 2 dx dy dz 2 2 2 k x + k y + k z = k 2 = ω 2εμ , k ? k x e x + k y e y + k z e z (波矢) u = Ae i k x x e (4.1.21) (4.1.22) (4.1.23) 9 ?? E = 0 取实部: i ky y e i k z z e ? i ωt = Ae i( k ?r ?ωt ) k ? E = 0; B=? i E = E 0 e i( k ?r ?ωt ) B= 1 1 ? ? e i( k ?r ?ωt ) = i ke i( k ?r ?ωt ) ? ? = i k , 17 ω ?× E p= 1 Re( j ? ? E ) 2 k ? Re( E ) = 0, Re( B ) = ω k × Re( E ) ω k×E 2011-2-10 第四章 电磁波的传播 18 2011-2-10 第四章 电磁波的传播 10 4.1 电磁场波动方程和时谐电磁场 物理分析 4.1 电磁场波动方程和时谐电磁场 5. 平均动量流密度: 动量流密度表达式(瞬时值): E = E 0 e i( k ?r ?ωt ) , k ? E = 0, = 1 = 1. 平面波(波阵面为平面)，沿波矢k 方向传播，相速度为 2 2 2 k x + k y + k z = k 2 = ω 2εμ 1 B = k×E ω t t T = wI ? DE ? BH , 19 v= ω k 2. 横波，E、B、k 满足右手正交关系(见右图) 3. E 和B 同相变化 ，且 | E |= v | B | 4. 平均电磁能量密度、能流密度和动量密度: 1 1 w = ε | E 0 |2 = | B0 |2 2 2μ εμ εμ c , n= ε 0 μ0 n w= (n 为折射率) (4.1.28) E k 相对基矢(eE, eB, ek)及其并矢展开(技巧:选择合适坐标系) 20 1 1 DE + BH = DE = BH 2 2 B t 1 1 T = DE (e E e E + e B e B + e k e k ) + BH (e E e E + e B e B + e k e k ) ? DEe E e E ? BHe B e B 2 2 t I = e E e E + e B e B + ek ek , DE = DEe E e E , BH = BHe B e B (4.1.28) (4.1.29) (4.1.30) 11 瞬时动量流密度: 平均动量流密度: S = w ve k , e k ? k / k g= 1 w S = ek 2 v v t T = w ek ek t T = wekek 21 (4.1.33) (4.1.34) 2011-2-10 第四章 电磁波的传播 2011-2-10 第四章 电磁波的传播 12 4.1 电磁场波动方程和时谐电磁场 四 电磁波的偏振 1. 定义:横电磁波中电场的振动状态 针对横电磁波，E 和B 均与传播方向垂直 只需分析电场的振动状态:Re (B) = k×Re (E) / ω 2. 数学描述:不妨设电磁波沿 z 轴传播，k = k ez 22 4.1 电磁场波动方程和时谐电磁场 4. 典型结果 线偏振:电矢量矢尖轨迹为直线 判据:偏振度 R 为实数(偏振度的辐角Δα,0) 圆偏振:电矢量矢尖轨迹为圆周 判据:偏振度为虚数单位，R = ? i 左旋(R=i) E (r , t ) = E 0 e i( kz ?ωt ) , E 0 = E0 x e i α x e x + E0 y e iα y e y , (E0x,E0y为正实数) ReEy ReE0 O ReEx 右旋(R=,i) ReEy E x = E 0 x e i( kz ?ωt +α x ) i( kz ?ωt +α y ) E y = E0 y e 偏振度: Ey E0 y i(α y ?α x ) 23 Re E x = E0 x cos( kz ? ωt + α x ), Re E y = E0 y cos( kz ? ωt + α y ). i Δα ReE0 O ReEx R= = e = R0 e E E0 x 3. 分析步骤: x 通过在Re (Ex),Re (Ey)平面作图，描出电场矢尖运动轨迹 从电场矢尖运动轨迹判断偏振特性(个例分析) 按偏振度的模和辐角的取值给出偏振特性的定量判据(综合) { R0 = E0 y / E0 x :偏振度的模 Δα = α y ? α x :偏振度的辐角 图4,1 2011-2-10 24 第四章 电磁波的传播 13 右手定则:大拇指指向传播方向(纸面)，电矢量旋转方向与四 指方向一致为右旋，反之为左旋(也适合于椭圆偏振情况) 2011-2-10 14 第四章 电磁波的传播 4.1 电磁场波动方程和时谐电磁场 椭圆偏振:电矢量矢尖轨迹为椭圆 判据:偏振度为复数;将辐角约化至(0，2π)范围， 4.2 电磁波在绝缘介质界面上的反射和折射 一 1. 定解问题的提法 0 π 左旋椭圆偏振(R = i为左圆偏振) 右旋椭圆偏振(R= ?i为右圆偏振) 25 任意(椭圆)偏振波的分解(参见4.1节末尾的定性陈述) 分解为 x 向线偏振波和 y 向线偏振波 E (r , t ) = E 0 e i( kz ?ωt ) , E 0 = E0 x e x + E0 y e y e x , e y : 线偏振基矢 E0 x = e x ? E 0 , E0 y = e y ? E 0 分解为左旋圆偏振波和右旋圆偏振波 e1 = (e x + i e y ) / 2 :左旋圆偏振基矢 E 0 = E 01e1 + E 02 e 2 e 2 = (e x ? i e y ) / 2 :右旋圆偏振基矢 ? ? ? 复基矢正交归一关系: i ? e j = δ ij (i, j = 1,2), E 01 = e1 ? E 0 , E 02 = e 2 ? E 0 e 圆偏振与线偏振分量的关系: E01 = ( E0 x ? i E0 y ) / 2 , E02 = ( E0 x + i E0 y ) / 2 自然光(非偏振光):电矢量振动 方向随机等概率分布，例如太阳光 { 必要性:我们期望解的存在性和唯一性，即给定入射波就 能唯一地 确定反射波和折射波，从而给出反射折射规律的 确定描述 z 2. 定解问题描述:电磁波从1侧入射至界面 z ,0 E ( r , t ) = E 0 e i( k ?r ?ωt ) (4.2.1) 给定入射波: n 1 ω k = , v1 = , kz > 0 ε2 , μ 2 2 v1 ε 1μ 1 x 1 B O 1 k ? E = 0, ε1 , μ 1 H= = k×E μ1 ωμ1 确定反射波和折射波: 图4,2 ′ = ? E 26 0 (ω ′, k ′)e i( k ′?r ?ω ′t ) , H ′ = ? H 0 (ω ′, k ′)e i( k ′?r ?ω ′t ) , k z E ′′ = ω ′ ,k ′ 满足定态波动方程和无散条件，满足界面上的边值关系: 1 1 ′ ′ ′ ′ k ′ × E 0 , H 0′ = k ′′ × E 0′ n × ( E + E ′) = n × E ′′, n × ( H + H ′) = n × H ′′; H 0 = (4.2.7) (4.2.8) ? E ′′(ω ′′, k ′′)e ω ′′ ,k ′′ 0 i( k ′′?r ?ω ′′t ) , H ′′ = ω ′ ,k ′ ? H ′′(ω ′′, k ′′)e ω ′′ ,k ′′ 0 i( k ′′?r ?ω ′′t ) 27 ′ , k z′ > 0, z > 0 (4.2.6) ω ′μ1 ω ′′μ 2 (4.2.9) 2011-2-10 第四章 电磁波的传播 15 2011-2-10 第四章 电磁波的传播 16 4.2 电磁波在绝缘介质界面上的反射和折射 28 二 定态波动方程和无散条件对反射波和折射波的约束 ω′ 1 ω ′′ 1 ; k ′′ = , v2 = k ′ = , v1 = v1 v2 ε1μ1 ε 2 μ2 4.2 电磁波在绝缘介质界面上的反射和折射 (4.2.16) ( n × k ′) ? k = n ? ( k ′ × k ) = 0, ( n × k ′′) ? k = n ? ( k ′′ × k ) = 0 上式表明:反射波和折射波的波矢位于n-k平面(称为入 射面)内。 取入射面为 x-z 平面，则 ′ ′ ′ ′ k ′ = (k x , k z ), k ′′ = (k x′, k z′), k = (k x , k z ) (4.2.17) 由(4.2.16)得 n × k ′ = n × k ′′ = n × k (4.2.10) (4.2.11) ′ ′ k ′ ? E 0 = k ′′ ? E 0′ = 0 三 边值关系对反射波和折射波的频率和波矢的约束 k ′ ? ρ ? ω ′t = k ′′ ? ρ ? ω ′′t = k ? ρ ? ωt ; ρ = x e x + y e y (4.2.12) 由时间 t 的任意性推得 (4.2.13) ω′ = ω ′′ = ω ε 2μ2 v k , k ′ ? ρ = k ′′ ? ρ = k ? ρ 由(4.2.10) 得 k ′ = k , k ′′ = 1 k = ε 1μ1 v2 不能由上式断定 k ′ = k ′′ = k ! 以考察点为 29 原点，引入局地圆柱坐标: ′ ′ k x = k x′ = k x (4.2.18) k″ 2 1 k′ x 反射波和入射波的频率和波矢被唯一确定，原通解中求和不复存在。 四 e ρ = ρ / ρ = eθ × n ? k ? ρ = ρk ? (eθ × n) = ρ (n × k ) ? eθ 第四章 电磁波的传播 ( n × k ′) ? eθ = ( n × k ′′) ? eθ = ( n × k ) ? eθ n × k ′ = n × k ′′ = n × k (4.2.16) 反射定律和折射定律 由(4.2.18)得 k ′ s in , ′ = k sin , = k ′′ sin , ′′ (4.2.19) , = ,′ sin , k ′′ v1 ε 2 μ 30 2 n2 = = = = ? n21 (4.2.20) sin , ′′ k v2 ε 1μ1 n1 z ,″ , ,′ k 图4,3 2011-2-10 17 2011-2-10 第四章 电磁波的传播 18 4.2 电磁波在绝缘介质界面上的反射和折射 五 边值关系对反射波和折射波的幅度约束 独立齐次边值关系 31 4.2 电磁波在绝缘介质界面上的反射和折射 1. E垂直于入射面 猜测:E′和E”也垂直于入射面; z H″ k″ E″ x H′ E′ k′ n × ( E + E ′) = n × E ′′, k ? E = k ′ ? E ′ = k ′′ ? E ′′ = 0; n × ( H + H ′) = n × H ′′; H′ = 1 ωμ1 k ′ × E ′, H ′′ = 1 ωμ 2 k ′′ × E ′′ 32 解的存在性和唯一性 E′ 与k′ 垂直，E”与k”垂直，各有两个独立分量;独立边值关系共 计4个，解唯一存在。 尝试分两种情况进行求解: 1. E 垂直于入射面，2. E 平行于入射面; 依据:叠加原理 目的:将四元代数方程化为两组二元代数方程求解，简化计算过程 { H cos , ? H ′ cos , = H ′′ cos , ′′ :指向纸面为电场正向，按电场、 磁场、波矢右手正交关系标出磁场强度 正向，示于图4,4 E + E ′ = E ′′ ,″ k E H , , H = ε 1 / μ1 E , H ′ = ε 1 / μ1 E ′, H ′′ = ε 2 / μ 2 E ′′ 以下一 33 律取 μ1 = μ 2 = μ 0 { ε1 ( E ? E ′) cos, = ε 2 E ′′ cos, ′′ 图4,4 ε cos , ? ε 2 cos , ′′ E′ sin(, ? , ′′) = 1 =? , E sin(, + , ′′) ε 1 cos , + ε 2 cos , ′′ 2 ε 1 cos , E ′′ 2 cos , sin , ′′ . = = E ε 1 cos , + ε 2 cos , ′′ sin(, + , ′′) (4.2.21) 2011-2-10 第四章 电磁波的传播 19 2011-2-10 第四章 电磁波的传播 34 20 k ′′ = k x e x + iκe z 4.2 电磁波在绝缘介质界面上的反射和折射 2. E平行于入射面(H 垂直于入射面) 猜测:H′和H”也垂直于入射面; 规定:指向纸面为磁场正向，按电场、 磁场、波矢右手正交关系标出电场强度 正向，示于图4,5 ( E ? E ′) cos , = E ′′ cos , ′′ z H″ k″ E″ x H′ E′ k′ 4.2 电磁波在绝缘介质界面上的反射和折射 E 垂直于入射面: ε cos , ? ε 2 cos , ′′ sin(, ? , ′′) E′ , =? = 1 ′′ sin(, + , ′′) E ε 1 cos , + ε 2 cos , 2 ε1 cos , 2 cos , sin , ′′ E ′′ . = = E ε 1 cos , + ε 2 cos , ′′ sin(, + , ′′) E 平行于入射面: 35 ε 2 cos , ? ε 1 cos , ′′ tan(, ? , ′′) E′ = = , E ε 2 cos , + ε 1 cos , ′′ tan(, + , ′′) 2 ε 1 cos , E ′′ 2 cos , sin , ′′ = = . E ε 2 cos , + ε 1 cos , ′′ sin(, + , ′′) cos(, ? , ′′) ,″ k H E 图4,5 , , { H + H ′ = H ′′ H = ε 1 / μ 0 E , H ′ = ε 1 / μ 0 E ′, H ′′ = ε 2 / μ 0 E ′′ ε1 ( E + E ′) = ε 2 E′′ 六 1. 物理分析 菲涅耳 公式 36 2 ε 1 cos , 2 cos , sin , ′′ E ′′ . = = E ε 2 cos , + ε 1 cos , ′′ sin(, + , ′′) cos(, ? , ′′) 式(4.2.21)和(4.2.22):菲涅耳公式 { ε 2 cos , ? ε 1 cos , ′′ tan(, ? , ′′) E′ = , = E ε 2 cos , + ε 1 cos , ′′ tan(, + , ′′) 2. (4.2.22) 3. 偏振特性:两种偏振波的反射波和折射波幅度不同;自然光经反射 和折射后变为部分偏振光。特别当,，, “,90º 时，E 平行于入射 面的波不发生反射，反射波为偏振方向与入射面垂直的线偏振波。 (布儒斯特定律;布儒斯特角) 半波损失:当ε2 > ε1 时，有, >, “，对E垂直入射面的情况，有 E′/E 37 2011-2-10 第四章 电磁波的传播 21 2011-2-10 第四章 电磁波的传播 22 4.2 电磁波在绝缘介质界面上的反射和折射 全反射的数学分析: sin , = k ′′ = n2 = n = 21 sin , ′′ k n1 临界入射角: sin , c = n21 4.2 电磁波在绝缘介质界面上的反射和折射 折射波不是横波 横波条件: 这表示，k″为复数矢量;而在复数法中，波矢允许为复数量，其实部 为物理波矢(正余弦函数)，虚部反映平面波随空 38 间的衰减(指数函数)。 { ε2 , ε 2 ,c ? sin, ″ > 1， , “为虚数～ ′ ′ k ′′ = k x′ 2 + k z′ 2 = kn21 2 k ′′ = k x e x + iκe z { ′ ′ E0′x = H 0′x = 0 ′ ′ ′ k ′′ ? E 0′ = k x E0′x + i κE0′z = 0 ′ H 0′ = 1 ′ k x′ = k x = k sin , , 2 2 2 21 将可能出现电场或磁场沿 x 方向的分量，从而破坏横波条 件 ωμ 0 39 ′ k ′′ × E 0′ = ωμ 0 kx ′ e x × E 0′ + iκ ωμ 0 ′ e z × E 0′ ′ ′ κ = k sin , ? n k z′ = k ′′ ? k x′ = k n ? sin , = i κ , 折射 波电场: ′′( r , t ) = E 0′e i( k ′x′ x + k z′′ z ?ωt ) = E 0′e ?κz e i( k x x ?ωt ) ′ ′ E 2 2 21 40 ′ (1)入射波电场垂直入射面( E0′′ = E0′′y e y)，电场与 x 方向垂直，但 H 0′x ? 0 : k 1 iκ ′ ′ ′ ′ H 0′ = k ′′ × E 0′ = ? E 0′y e x + x E 0′y e z ωμ 0 ωμ 0 ωμ 0 折射波沿界面传播，振幅沿 z 向指数衰减，此时有 sin , ′′ = sin , / n21 , cos , ′′ = 1 ? (sin , / n21 ) = i κ /(ω ε 2 μ 0 ) 2 (2)入射波磁场垂直入射面，磁场与 x 方向垂直，但 | E ′ / E |= 1 反射系数为1，即发生全反射 v′′ = ω / k x = v1 / sin , 传播速度为 由介质1波速和入射角决定 ε cos , ? ε 2 cos , ′′ E′ = 1 E ε 1 cos , + ε 2 cos , ′′ cos , ′′ = i κ /(ω ε 2 μ 0 ) ′ E x′ = E ′′ cos , ′′ = 41 i κ E ′′ ω ε 2 μ0 【备注】 当波矢为复数量时，无散条件(k?E = 0) ? 横波条件～ 24 2011-2-10 第四章 电磁波的传播 23 2011-2-10 第四章 电磁波的传播 42 4.2 电磁波在绝缘介质界面上的反射和折射 七 1. 4.2 电磁波在绝缘介质界面上的反射和折射 2. 动量守恒关系 直觉分析 介质2 介质1 S′ 能量守恒和动量守恒关系(物理分析之继续) 能量守恒关系 直觉分析 n ? SΔA = ? n ? S ′ΔA + n ? S ′′ΔA n ? ( S + S ′) = n ? S ′′ { 入射波能流:n?SΔA 反射波能流:? n?S′ΔA 折射波能流: n?S″ΔA S n 43 S″ ΔA 光压公式: t t t p = nn : (T + T ′ ? T ′′) (4.2.33) 严格证明 图4,6 从1.4节给出的能流密度的边值关系出发: n ? S1 = n ? S 2 = n ? S ′′, S1 = ( E + E ′) × ( H + H ′) = S + S ′ + E ′ × H + E × H ′ (4.2.34) 介质2为全吸收介质: p = ( w + w′) cos , , 平均值: p = w (1 + R ) cos 2 , 2 介质2为透明介质: p = ( w + w′) cos 2 , ? w′′ cos 2 , ′′ { 44 t T : 入射波动量流密度 t T ′ : 反射波动量流密度 t T ′′ : 折射波动量流密度 { H= 1 ωμ1 k × E, H ′ = 1 ωμ1 k ′ × E ′, n ? ( E ′ × H + E × H ′) = 0 (4.2.30) ′ | E0 | 45 2 2 2 ′ k ? E = 0, k ′ ? E ′ = 0, k z = ? k z , kη = kη′ , t t t t 严格证明 p = nn : (T1 ? T2 ) = nn : (T1 ? T ′′) 从1.4节给出的光压公式出发: D1 = D + D′, E1 = E + E ′ t t t t B1 = B + B ′, H 1 = H + H ′ T1 = w1 I ? D1 E1 ? B1 H1 = T + T ′ t + 1 ( D ? E ′ + D ′ ? E + B ? H ′ + B ′ ? H ) I ? ( DE ′ + D ′E + BH ′ + B ′H ). 2 1 反射系数和 | n ? S′ | 透射系数: R = | n ? S | = 1ε 2 1 1ε 2 1 E′ = = 2 2 E | E 0 | v1 cos , | E 0 | ′ | E 0 | v1 cos , w′ = , T = 1? R w { 46 H= ωμ1 k × E, H ′ = 1 ωμ1 k ′ × E ′, ′ k ? E = 0, k ′ ? E ′ = 0, k z = ? k z , kη = kη′ , nn : 交叉项 = 0 即式(4.2.33)成立 2011-2-10 第四章 电磁波的传播 47 25 2011-2-10 第四章 电磁波的传播 26 4.2 电磁波在绝缘介质界面上的反射和折射 例4.1 无限介质平面两侧的介质的磁导率同为μ0，介电常 量分别为ε1和 ε2,电场强度为E 的平面电磁波自1侧垂直 入射,在界面上发生反射和折射. 在介质2全透明和全吸收两 种情况下,分别计算介质界面所受的压力. w = ε 1 E 2 , w′ = ε 1 E ′ 2 , w′′ = ε 2 E ′′ 2 解 2 4ε 2 w′ E ′ 2 ( ε 2 ? ε 1 ) w′′ ε 2 E ′′ 2 , = 2 = = = 2 由菲涅耳公式得: w E w ε 1 E 2 ( ε 2 + ε 1 )2 ( ε 2 + ε1 ) 2 介质2透明: ? ? ? 2 ε ? ε ? 介质2全吸 收: 4.3 导体中的电磁波 一 基本方程和边值关系 ? 2 E + k 2 E = 0, 1. 基本方程: 48 k 2 = ω 2ε ′μ , ε ′ = ε + i ζ / ω , ? ? E = 0, B=? i ω ? × E, 2 1 ? p1 = w + w ′ ? w ′′ = ε 1 E 2 ?1 + ? ? ? ? ε + ε ? 2 1 ? ? ? ? ( ? = 2ε 1 E (ε 1 ? ε 2 ) = 1 (ε ? ε ) E ′′ 2 . 1 2 2 ? 2 2 ε 2 + ε1 ? ε 2 + ε1 ? 4ε 2 2. 独立齐次边值关系: 3. 说明: 49 n × ( E 2 ? E1 ) = 0, n × ( H 2 ? H1 ) = 0 ) ( ) 2? ? ? ε 2 ? ε 1 ? ? 2ε 1 E 2 (ε 1 + ε 2 ) 1 ? = ′ = ε 1 E 2 ?1 + ? p2 = w + w = (ε 1 + ε 2 ) E ′′ 2 . 2 ? ? ε + ε ? ? 2 2 1 ? ? ε 2 + ε1 ? ? ? ? 解毕 ? 1 2 1 2 1? 1 2 p1 = ? n ? f d z = ? n ? ? f 0 ? E ?ε + B ? ? d z = E ′′ (ε 1 ? ε 2 ) ? 2 2 μ? 2 ? ? ?0 ?0 (针对介质2透明情况) (参见第一章1.4节(1.4.60)式) 备注: +0 +0 ( 50 ) 基本方程中出现电导率，等效介电常量为复数，相应波矢为复数 处理方法和步骤与绝缘介质情况类似 2011-2-10 第四章 电磁波的传播 27 2011-2-10 第四章 电磁波的传播 28 4.3 导体中的电磁波 无限均匀导体中的平面电磁波 i ? 2 E + k 2 E = 0, k 2 = ω 2ε ′μ , ε ′ = ε + i ζ / ω , ? ? E = 0, H = ? ?× E ωμ 51 用直角坐标下的分离变量法求解电场波动方程，得 4.3 导体中的电磁波 三 电磁波在导体表面的反射与折射 由绝缘介质结果，做如下替换: iζ ε 2 ? ε 2 + , k ′′ ? β + i α ω 1 2 2 2 β ? α = ω μ 0ε 2 , α ? β = ωμ 0ζ 2 z 二 β ,″ 2 E = E 0 e i( k ?r ?ωt ) , H = H 0 e i( k ?r ?ωt ) 2 2 k x + k y + k z2 = k 2 = ω 2ε ′μ , k ? k x e x + k y e y + k z e z = β + i α k = k ? k = β ? α + 2 i α ? β = μω (ε + 2 2 2 2 ε2,ζ,μ0 ε1,μ0 k 52 iζ β 2 ? α 2 = ω 2 εμ , α ? β = 1 ωμζ 2 ω ) (4.3.9) (4.3.10) (4.3.11) E = E 0 e ? α ?r e i( β ?r ?ωt ) , H0 = 无散条件: 1 H = H 0 e ? α ?r e i( β ?r ?ωt ) k × E0 k′ 反射定律: , = ,′ 折射波衰减方向: α x = 0, 沿z 向 53 衰减 图4,7 折射定律: 1 2 2 2 2 2 β x = k sin , , k = ω ε 1μ0 k sin , + β z ? α = ω μ 0ε 2 , αβ z = ωμ 0ζ ′ ′ k x = k x = k x′ = β x + i α x , ,′ 1 x k ? E = 0; ωμ 2 β ? E 0 + i α ? E 0 = 0, β ? H 0 + i α ? H 0 = 0 横波条件: β ? E 0 = 0, 54 β ? H 0 = 0; 仅当α // β 时才能满足(反证法) ? μ ε βz = ω 0 2 ? 2 ? ? ? ? k 2 sin 2 , ?1 ? ? ω 2 μ 0ε 2 ? 2 ? ? + ζ 2 ? ω 2ε 2 ? 2 , ′′ = arctan(β x / β z ) ? k 2 sin 2 , ? +1? 2 ω μ 0ε 2 ? ? ? 1/ 2 , ? με α =ω 0 2 ? 2 ? ? 55 ? ? k 2 sin 2 , ? ζ2 k 2 sin 2 , ? ?1 ? 2 ? + 2 2 ?1+ 2 ? ? ω ε ω μ 0ε 2 ? ω μ 0ε 2 ? 2 ? ? 2 1/ 2 2011-2-10 第四章 电磁波的传播 29 2011-2-10 第四章 电磁波的传播 30 4.3 导体中的电磁波 良导体近似: ζ /(ωε 2 ) >> 1 βz = ω μ 0ε 2 ? ? k 2 sin 2 , ?1 ? 2 ? ? ω 2 μ 0ε 2 ? 56 ? ? ? 2 ? 2 ? k 2 sin 2 , ? ? + ζ +1? 2 2 ? ω 2ε 2 ω μ 0ε 2 ? ? ? ? 1/ 2 4.3 导体中的电磁波 垂直入射情况下的幅度关系 不妨假定电场正向垂直纸面向内 正确列出独立齐次边值关系 入射波: E = E 0 e i( kz ?ωt ) 反射波: ′ E ′ = E 0 e ? i( kz +ωt ) 折射波: ′ E ′′ = E 0′e ?αz e i( βz ?ωt ) 边值关系: E + E ′ = E ′′ H″ k″ E″ k k′ E′ ε2,ζ,μ0 ε1 , μ 0 ? με α =ω 0 2 ? 2 ? ? ? k 2 sin 2 , ?1 ? 2 ? ω μ 0ε 2 ? tan , ′′ = 57 β x k sin , 2 2ωε 2 k sin , 2ωε 2 v2 sin , ? = = 2 ? ? ζ2 k 2 sin 2 , ? ? + 2 2 ?1+ 2 ? ω ε ω μ 0ε 2 ? 2 ? ? 1/ 2 βz ? α ? ωμ 0ζ 2 H ? i0 H′ E ， β x = k sin , H = kE /(ωμ 0 ) ? kE , H ′ ? k ′E ′ = kE ′, H ′′ ? k ′′E ′′ 58 k ( E ? E ′) = k ′′E ′′ 结果: {H ? H ′ = H ′′ 图4,8 折射波传播速度: ω ω 2ω 2ωε 2 v′′ = ? v (k ′′ = β + i α ) E ′ k ? k ′′ k ? β ? i α E ′′ 2k 2k , . = = = = E k + k ′′ k + β + i α E k + k ′′ k + β + i α 结论:折射波传播方向近似垂直导体表面，传播速度远小于绝缘介质中的 光速;二者均与导体的介电常量无关(类比恒定电场中的导体)～ 介质2换成理想导体或超导体怎么处理, 无折射波; 边值关系:E+E′ = 0; H?H’ =2H= i0; (i0 与E 正向一致) 2011-2-10 59 第四章 电磁波的传播 31 2011-2-10 第四章 电磁波的传播 32 4.3 导体中的电磁波 良导体近似及对结果的物理分析: E ′ k ? k ′′ k ? β ? i α ζ /(ωε 2 ) >> 1 : = = , E k + k ′′ k + β + i α α ? β ? ωμ0ζ / 2 E ′′ 2k 2k = = . k = ω ε 1μ 0 E k + k ′′ k + β + i α k / α ? 2ωε1 / ζ E′ = E E ′′ = E 4.3 导体中的电磁波 2ωε 1 / ζ ? 1 ? i 2ωε 1 / ζ + 1 + i 8ωε 1 / ζ 2ωε 1 / ζ + 1 + i , . 5. 表面电阻和功率耗散 引入表面电阻的目的:实现对良 60 导体表面焦耳耗散的参数描述 满足边界条件: H t | z =0 = H 0 e ? i ωt e i π / 4 e y , (E , H ) z ? ? = 0 半无限良导体(z ? 0)中的定态电磁波解(k = β + iα) 1. 上述结果与ε2无关,同样说明对良导体来说,其介电常量 不起作用. 2 2. 反射系数: (1 ? 2ωε 1 / ζ ) 2 + 1 8ωε 1 E′ = ? 1? ?1 R= 2 E ζ (1 + 2ωε 1 / ζ ) + 1 3. 半波损失:E′/E??1 k ′′ = β + i α ? ωμ 0ζ / 2 (1 + i) = ωμ 0ζ e i π / 4 4. 折射波的特 性: ′ k ′′E0′ ζ ′ μ 0 | H 0′ |2 ζ ′ ′ H 0′ = = E0′e i π / 4 = >> 1 (4.3.29) 2 ωμ 0 ωμ 0 ωε 2 ′ ε 2 | E0′ | 折射波因欧姆耗散沿透 入深度指数衰减 (对比绝缘介质全反射情况:传播方向;衰 减机制) E = E0 e ?αz e i( βz ?ωt ) e x , β ?α ? ωμ 0ζ , H0 = 2 a) 上述解来自前面垂直入射结果(去掉″号)，可直接代入 波动方程验证 b) 在理想导体极限下，下边界H 切向分量 有限，E 切向分量趋于零 ? 表面电流: ? ζE 61 ζ E0 e i π / 4 , ωμ 0 H = H 0 e ?αz e i( βz ?ωt ) e y E0 = ωμ 0 H 0 e ?i π / 4 ζ α ? iβ kE0 ( β + i α ) E0 (α + i β ) E0 ζ (α 2 + β 2 ) E0 ζE0 = ? = = ? H0 = ωμ0 ωμ0 ωμ0 ζωμ0 (α ? i β ) α ? i β 0 j = ζE = ζE0 e ?αz e i( βz ?ωt ) , i = ? j d z = 0 e ? i ω t ? H 0 e ? i ωt 2011-2-10 第四章 电磁波的传播 33 62 2011-2-10 第四章 电磁波的传播 34 4.3 导体中的电磁波 平均功率: ? 4.3 导体中的电磁波 应用:计算电磁波在导体中的穿透深度;计算导体壁的焦 耳功率 2 p= ζ | E0 | ωμ 0 | H 0 | α | H0 | α α 2 dP = ? pd z = = = = | H 0 |2 = i0 , 4α 4α 2ζα 2ζ 2ζ dA 0 2 2 2 63 1 1 Re( j ? E ) = ζE02 e ? 2αz 2 2 1. 计算电磁波在导体中的穿透深度: 良导体: 普通导体: δ= 1 α= α =ω ? μ 0ε 2 ? ? ωμ0ζ 2 , 表面电阻:设电流层等效厚度为δ ，则 ? ζ ? ? ? ωε >> 1?. ? ? 2 ? 64 α 1/ 2 R= P= P=A b aδζ , I 0 = ai0 a i0 b δ 2 2 1 2 ba 2i0 abi0 I0 R = = 2 2aδζ 2δζ 65 2 ? ζ2 k 2 sin 2 , ? k 2 sin 2 , ? ?1 ? 2 ? + 2 2 ?1+ 2 2 ? ? ω μ 0ε 2 ? ω ε 2 ω μ 0ε 2 ? ? ? ? ? 2. 计算导体壁的焦耳功率 dP d P abα 2 i0 = dA 2ζ δ= 1 α = 2 ωμ0ζ 图4,9 dP 1 2 1 = i0 = | H 0 |2 d A 2ζδ 2ζδ 66 采用良导体近似计算功率面密度: d A 2ζδ 在理想导体近似下求解电磁波(见下节波导管) 条件:衰减距离(也正比于ζ1/2)>> 波长 = 1 2 i0 = 1 2ζδ | H 0 |2 积分电导:ζδ ;表面电阻:1/(ζδ ) ; 功率面密度:表面电阻×面电流密度有效值平方 积分求出单位长度波导管的耗散功率(习题4.13) 2011-2-10 2011-2-10 67 第四章 电磁波的传播 35 第四章 电磁波的传播 36 4.4 谐振腔和波导管 将电磁波限制在有限空间，实现高频电磁波的有效激发和传播 求解赫姆霍兹方程的边值问题，分量变量法 不同于反射折射问题，允许出现多解，分析各种波模的性质 4.4 谐振腔和波导管 二 谐振腔 1. 求解过程(分离变量法) 0 ? x ? L1 , 0 ? y ? L2 , 0 ? z ? L3 解域: 解域边界S : x = 0, L1 ; y = 0, L2 ; z = 0, L3 针对电场E 的某个分量u 求分离变量解: z L3 O x L2 68 图4,11 一 基本方程和边界条件 电磁场以理想导体为边界，设为S ;内部填满均匀线性各 向同性介质 电场定解问题: ? 2 E + k 2 E = 0, k 2 = ω 2εμ , ? ? E = 0, Eη | S = 0; 磁场及界面场源:H = ? i n ? B |S = 0 ωμ ? × E, n × H |S = i0 , n ? D |S = ζ 0 (规定n 指向解域内部) n 69 u = X ( x )Y ( y ) Z ( z ) ? u+k u=0 2 2 L1 y 自动满足 事先 将无散条件对边值的约束条件写出: ?E n =0 (4.4.7) ?n S 仅适于平面边界;对球面边界，见习题2.1 ΔA En(Δn) En(0) 图4,10 d2 Y d2 Z d2 X 2 + k12 X = 0, + k 2 Y = 0, + k 32 Z = 0 d x2 d y2 d z2 70 (4.4.10) Δn 2 k12 + k 2 + k32 = k 2 = ω 2εμ (4.4.11) u = (a1 cos k1 x + a 2 sin k1 x)(b1 cos k 2 y + b2 sin k 2 y )(c1 cos k 3 z + c2 sin k 3 z ) (4.4.12) ?E 由边界条件定参 E | =E | = x 数，以Ex为例: x y = 0, L2 x z = 0, L3 ?x =0 x = 0 , L1 { a2 = b1 = c1 = 0 k1 = mπ nπ lπ , k2 = , k3 = L1 L2 L3 71 2011-2-10 第四章 电磁波的传播 37 2011-2-10 第四章 电磁波的传播 38 4.4 谐振腔和波导管 E x = A1 cos k1 x sin k 2 y sin k3 z mπ nπ lπ , k2 = , k3 = ; m, n, l 为正整数 k1 = L1 2 4.4 谐振腔和波导管 (4.4.13) (4.4.14) 将电场解乘上因子 e ，取其实部,求得实际电场为 Re( E x e ? i ωt ) =| A1 | cos k1 x sin k 2 y sin k 3 z cos(ωt ? α 1 ), 72 Re( E y e ?i ωt ) =| A2 | sin k1 x cos k 2 y sin k 3 z cos(ωt ? α 2 ), (4.4.17) Re( E z e ?i ωt ) =| A3 | sin k1 x sin k 2 y cos k 3 z cos(ωt ? α 3 ), k1 = mπ / L1 , k 2 = nπ / L2 , k3 = lπ / L3 (4.4.13) 2. 物理分析 (4.4.14) (mπ / L1 )2 + (nπ / L2 )2 + (lπ / L3 )2 = ω 2εμ 不传播，为驻波解 mπA1 / L1 + nπA2 / L2 + lπA3 / L3 = 0 (4.4.16) 波矢分量取离散值(又称本征值)，由 整数集合(m,n,l)表征,对应 解为本征解。在(m,n,l)中， 至少有两个不为零，否则为零解。 π (m,n,l)本征解的角 频率为 ω (m / L1 ) 2 + (n / L2 ) 2 + (l / L3 ) 2 m , n ,l = εμ 最 低频率和最大波长(对L1,L2 > L3，取 m = n = 1, l = 0 ): 1 2 ω 1 λ110 = = f110 = 110 = (1 / L1 ) 2 + (1 / L2 ) 2 , 2 f110 εμ (1 / L1 ) + (1 / L2 ) 2 2π 2 εμ 由整数集合(m,n,l)表征的本 征解,存在两个独立波模 ? i ωt L2 2 L3 ? mπ ? ? n π ? ? l π ? 2 ? ? ? ? ? ? ? L ? + ? L ? + ? L ? = ω εμ 1 ? 2 ? 3 ? ? ? ? 对Ey 的和Ez 作类似处 73 理，最终求得: 2 E x = A1 cos k1 x sin k 2 y sin k3 z , E y = A2 sin k1 x cos k 2 y sin k3 z , 由无散条件??E,0，导出3个幅度因子满足如下约束条件: (4.4.15) E z = A3 sin k1 x sin k 2 y cos k3 z , lπ nπ mπ A3 = 0 A2 + A1 + L3 L2 L1 (4.4.16) 39 2011-2-10 第四章 电磁波的传播 2011-2-10 74 第四章 电磁波的传播 40 4.4 谐振腔和波导管 三 波导管 1. 求解过程(分离变量法) 解域: 0 ? x ? a, 0 ? y ? b, ?? z x a 4.4 谐振腔和波导管 由边界条件定参数: E x | y = 0 ,b = ?E x ?x = 0, x = 0, a E y | x = 0, a = 75 ?E y ?y y = 0 ,b = 0, E z |x = 0, a = E z | y = 0, b = 0 分离变量解: u = (a1 cos k1 x + a 2 sin k1 x)(b1 cos k 2 y + b2 sin k 2 y ) O y b ? (c1e i k3 z + c2 e ?i k3 z ) (4.4.21) 2 图 4,12 k12 + k 2 + k32 = k 2 = ω 2εμ (4.4.11) ik 3 z (c1 cos k 3 z + c2 sin k 3 z ) (c1e + c2 e ?ik3 z ) 与谐振腔解的区别: 如何看待这一区别, 两种取法在数学上完全等效，可随意选取; 对谐振腔情况 取前者，对波导管情况取后者，可简化数学分析，属 于一 种数学技巧; 谐振腔为驻波解，波导管为行波解，并非来 自本征解的取法不同， 而是来自z 向边界的边界条件;若 限于右行波，可取 c2 = 0 。 选择沿正 z 向的行波解: { k1 = E x = A1 cos k1 x sin k 2 y e i k3 z , E y = A2 sin k1 x cos k 76 2 y e i k3 z , (4.4.22) E z = A3 sin k1 x sin k 2 y e i k3 z , (4.4.23) (4.4.24) (4.4.25) 42 2 k12 + k 2 + k32 = k 2 = ω 2εμ ?? E = 0 mπ . nπ , k2 = a b 2 2 ? mπ ? ? n π ? 2 2 ? ? +? ? + k3 = ω εμ ? a ? ? b ? k1 A1 + k 2 A2 ? i k 3 A3 = 0 2011-2-10 第四章 电磁波的传播 41 2011-2-10 第四章 电磁波的传播 77 4.4 谐振腔和波导管 E x = A1 cos k1 x sin k 2 y e i k3 z , H x = ?(1 / ωμ )(k 3 A2 + i k 2 A3 ) sin k1 x cos k 2 y e i k3 z , ik z E y = A2 sin k1 x cos k 2 y e i k3 z , H y = (1 / ωμ )(k 3 A1 + i k1 A3 ) cos k1 x sin k 2 y e 3 , H z = (i / ωμ )(k 2 A1 ? k1 A2 ) cos k1 x cos k 2 y e i k3 z . E z = A3 sin k1 x sin k 2 y e i k3 z , 行波解: Re(e i k3 z ? e ? i ωt ) = cos(ωt ? k 3 z ) 波矢分 量k1 和k2 取离散值(也称本征值)，由整数集合(m,n) 表征, 对应解为本征解。在(m, n)中，至少有一个不为零， 否则为零解。 波矢分量k3 和角频率ω 取连续值，二者满 足关系: 2 2 ? mπ ? ? n π ? 2 2 k3 = ω 2εμ ? ( mπ / a ) 2 ? ( nπ / b) 2 (4.4.27) ? ? +? ? + k3 = ω εμ ? a ? ? b ? v v 相速度超过光速:p = ω / k3 > 1 / εμ ; 群速度低于光速: g = dω / dk3 ωc = εμ π 2πv p ω min = min(ωc ) = εμ max(a, b) (4.4.29) λmax = ω = 2 max(a, b) (4.4.30) min 4.4 谐振腔和波导管 横电波和横磁波 ? TM10: 2 = 0 ? H y = 0; 又A2 = 0 ? H x = H z = 0 k 不是横波，如何理解, (a) 波导管中的 行波可分解为若干平面波(横波)的叠加，但若干个平 面 78 波的合成波一般不是横波; (b) 这说明:局限在有限空间 的电磁波一般不是横波 E x = A1 cos k1 x sin k 2 y e i k3 z , H x = ?(1 / ωμ )(k 3 A2 + i k 2 A3 ) sin k1 x cos k 2 y e i k3 z , E y = A2 sin k1 x cos k 2 y e i k3 z , H y = (1 / ωμ )(k 3 A1 + i k1 A3 ) cos k1 x sin k 2 y e i k3 z , i k3 z E z = A3 sin k1 x sin k 2 y e , H z = (i/ ωμ )(k 2 A1 ? k1 A2 ) cos k1 x cos k 2 y e i k3 z . k1 = 2. 物理分析 (4.4.22) (4.4.26) 横电波(TEmn, 存在TE10和TE01波模):A3 = 0 ? Ez = 0 2 2 k + k2 1 2 A1 ? 0 H z ? k 2 A1 ? k1 A2 = (k 2 A1 ? k1k 2 A2 ) = 1 k2 k2 ? 横磁波(TMmn, 不存在TM10和 TM01波模): k 2 A1 ? k1 A2 = 02 ? H z = 0 2 k + k2 1 E z ? A3 = (k1 A1 + k 2 A2 ) = 1 A1 ? 0 k1 A1 + k 2 A 2 ? i k 3 A3 = 0 i k3 i k1k 3 k1 A1 + k 2 A2 = 0 79 mπ nπ , k2 = , a b ? mπ ? ? n π ? 2 2 ? + k 3 = ω εμ , ? +? ? ? a ? ? b ? 2 2 k1 A1 + k 2 A2 ? i k 3 A3 = 0 2011-2-10 第四章 电磁波的传播 43 2011-2-10 第四章 电磁波的传播 44 80 4.4 谐振腔和波导管 对给定尺寸(a ×b)的矩形波和给定波长(λ )，判断可能传播的波模 π 依据: 2 2 1/ 2 第四章 电磁波的传播 第四章小结 电磁波传播问题解法 从电场出发，求解电场波动方程的初边值问题 新老定解问题的等效性 时谐电磁场，独立齐次边值关系 分离变量法 ω > ωmn = εμ = [(m / a) + (n / b) ] 2 81 > λ ωmn ( m / a ) + ( n / b) 2 随着m和n的增加，λmn变得小于给定波长λ，则对应波模不能传播 步骤:按m和n中递增的顺序逐一计算λmn，直至它小于λ为止 2 λmn = 2πv p 问题类型 1. 无限空间的平面波解(均匀线性各向同性介质，均匀导体) 2. 反射折射问题(解的唯一性) 3. 有限空间的电场波动方程的边值问题，谐振腔和波导管 注意:对TE波，m和n中至少1个不等于0;对TM波二者均不等于0， 即不存在如下波模: TE 00 ; TM10 , TM 01 表面电阻和功率耗散 先按理想导体近似处理有限空间的电磁波; 后由表面电阻公式计算功率耗散 电磁波幅度将随传播距离衰减;所获得 82 的衰减解不是严格解，而是近 似解(略去 ωε /ζ 的二级小 量下的近似解) 2011-2-10 第四章 电磁波的传播 45 2011-2-10 第四章 电磁波的传播 46 百度搜索“就爱阅读”,专业资料,生活学习,尽在就爱阅读网 92to.com,您的在线图书馆 83 84