模糊有界变差函数及其可导性

模糊有界变差函数及其可导性 1, 2 巩 增 泰 (1. 西北师范大学 数学与信息科学学院, 甘肃 兰州 730070; )2. 中国科学院 寒区旱区环境与研究所, 甘肃 兰州 730000 摘 要: 利用模糊数的绝对值定义了模糊有界变差函数, 给出了模糊有界变差函数的刻划定理, 讨论了模糊有界 变差函数的可导性. 关键词: 模糊有界变差函数; 可导性; 导数 中图分类号: O 159. 2 文献标识码: A -- ++ 由于模糊分析学微积分理论和模糊系统、模糊= sup m ax {|A - B | , |A - B | }Κ Κ Κ Κ Κ?0, 11 ~ ~ 1, 2, 7 微分方程求解的需要, 1986 年, 等定义了作 P u r i A和B之间的距离, 其中 d 是 H au sdo rff 距 为 为集值函数 导数推广的模糊数值函数的 H u k u h a ra 离. 2 , 4 ~ ~7 c 导数. 而后, 等利用该导数讨论了模糊K a leva 引理 1设A? R, 则 - 微分方程的初值问题, 然而在该导数体系下, 即使() 1A Κ 在0, 1 上单调非降左连续; + 等所用的积分, 其积分原函数也可能不是几 K a leva () 2A 在0, 1 上单调非增左连续; Κ 5 + -乎处处可导的. 基于模糊微分方程的求Se ik k a la () 3A ?A ;1 1 - + 解问题的需要, 定义了一种作为 2导数P u r iR a le scu () 4A Κ , A Κ在 Κ= 0 处右连续. 推广的导数. 我们在文献 6 中已经: 在 P u r i() () 反之, 若函数 a , b满足上述条件1, 4, 则 ΚΚ ~ ~c 和 所定义的导数体系下, 积分原函数是模 R a le scu 存在惟一的A?R使得对任意 Κ? 0, 1 , 有A =Κ 糊绝对连续的但并非几 乎 处 处 可 导 的. 本 文 在 [ a , b.ΚΚ 6 ~ ~c 的导数定义下讨论了模糊有界变差函数 Se ik k a la 定义 2若A?R, 则区间簇B = {| r|: r ? Κ 及其可导性问题. ~A } 决定惟一的模糊数, 定义该模糊数为 A , 即模 ||Κ ~ 1 定义及说明 糊数A的绝对值. ~ 对于模糊数A的绝对值, 有如下示定理. ~ ~ 7 () ? 定义 1设AF是实数集 上的模糊6~ ~~ ~ RR c -2 设 A ? R , 则 A = A , ||||引 理 Κ Κ 集, 如果 1 ~ ~ + -- -) (~ + A ,|||A| . 其 中: |A | = m ax {A Κ Κ Κ Κ () 1A是凸模糊集; 2 ~ 1 () + + ~+- + 是正规的模糊集;2A() ) |A | - A }, |A | = m ax {|A | , |A | }.Κ Κ ΚΚ Κ 2 ~ () () 3隶属度Ax 是上半连续的函数; ~ ~ ~c( )F : a , b ] ? R 设 为模糊数值函数, 称 F x 具 ~ 0 () () 4支撑集[A]= {x : A x ? Κ} 是紧的, 则 1, 2, 7() , 是指对任意 x , x ? [ a , b ] 且 有H 差性质 1 2 ~ ~c 称为模糊数A. 记 R为模糊数空间.c ~() 使得 F x = F x 2 1 + A. 并 在模糊数空间中可以定义序结构、加法及数乘~ ~ ~ ~( ) x < x , 存在A?R1 2 ~ ~ ~ ~ 7 () () () 称A为 Fx 与 Fx 的 H 2 差, 简记为 Fx -2 1 2 运算. ~ ()Fx . 除特别说明外, 本文凡涉及模糊数减法运算 1 定义 ~ ~ 时总假定其满足 H 2 差性质. () D A, B= sup()d A , B ΚΚ Κ?0, 1 收稿日期: 2002204219. (()) 基金项目: 甘肃省自然科学基金 011220122、西北师范大学科技创新工程 22212和西北师范25ZSA ZNW N U KJCX GC 5, 8 ~~c ~ () 定义 3模糊数值函数 F: a , b ] ? R在 x 有界, 则称 Fx 是[ a , b ] 上的模糊有界变差函数, ~ ~~~c () () 简 记 为 F? B V [ a , b . 并 记 V F; a , b ]=? [ a , b ] 处可导, 导数为 F′x ? R是指对任意 Κ n ? 0, 1 均有 ~ ~ ~ () () () sup { Fx - Fx } 为Fx 在[ a , b ] 上的||i i- 1 + ?~- T ( (i= 1 (() ) ) ) ) (F x [ F′x ]= F x′,′.Κ Κ Κ ~ ~ .总变差() () 引理 3 设 Gx , Fx 为定义在[ a , b ] 上的模 ~ ~(() ) 糊 数值函数, 则 Gx 几乎处处可导且 G′x = 3 模糊有界变差函数及其可导性 ~ () Fx a. e 于[ a , b ] 的充分必要条件是对任意 Κ? ~~c -+ 1 设G: a , b ] ?R是定义在[ a , b ] 的模定理 () () x , G x 几乎处处可导, 且0, 1 , G Κ Κ -- -() () ) [G ′x ] x ′= F 糊数值函数, 则下列命题等价:() (= G x , Κ Κ Κ ~ a. e 于[ a , b . ++ + () 1G?B V [ a , b ;() () ) () ([G ′x ]= G x ′= F x ,Κ Κ Κ -+ () () () 2 对任意 Κ? 0, 1 , G Κ x , G Κx 为一致 证明 必要性是显然的. 我们只证明充分性. +(() ) , 即集合{V G x ; a , b ]: Κ? 有界变差的实函数-+ Κ () () 因为对任意 Κ? 0 - 1 , G x , G x 几乎Κ Κ -(()) 0, 1 }, { V Κ ; a , b ]: Κ? 0, 1 } 是有界的; G x 处处可导, 且 -- () , b ] 上的任何分划 T : a = x < x < -对[ a 0 1 3() () ) [G ′x ] x ′= F () (= G x , Κ Κ Κ n a. e 于[ a , b . ++ + ~ ~ () () ) () ([G ′x ]Κ = G Κ x ′= F Κ x ,( () ( ) )< x = b, 集合{DGx , Gx } 有界, 且n i- 1i ? i= 1 {Κ} 所以存在L ebe sgue 零测集B , 使得对有理数集k n ~ ~ (( ) () ) x sup {D G, Gx }i- 1i < 0, 1 , 当 Κ? {Κ} 时, 对任意 x ? [ a , b ]\B , 有k ?T i= 1 -+ -+ n () () () ()= F = F x .[G ′x ]Κ Κ x , [G ′x ]Κ Κ ~ ~ ~ (( ) () )- -+ + - Gx }, O.|= supD {|G x ii- 1 ?() () () () 由[G ′x ], F x , G ′x ], F x 对 Κ的左连Κ Κ Κ Κ T i= 1~ ~ () () 续性, 对任意 Κ? 0, 1 , x ? [ a , b ]\B , 有?a , b , 存在M?证明 1] 2由GB V [ ,--++ () () () () Κ Κ Κ [G ′x ]= F x , [G ′x ]= F x .0 使得对任何分划 T : a = x < x < < x = b,Κ 0 1 n ~ () 有故 Gx 几乎处处可导, 且 ~~ n () () G′x = Fx , a. e 于[ a , b . ? i= 1 2 模糊有界变差函数的定义 ~ ~ ~ () () Gx - Gx ?M,|| i i- 1 即~ () 设 Fx 是定义在[ a , b ] 的模糊数值函数, 若 n~ ~ +++ ~ ~c ~ ~ () () () |Gx - Gx | ]?M Κ ?M .[ 存在M?R使得对任意 x ? [ a , b , 有 Fx ?M,0 i i- 1 Κ ?i= 1 ~ ~ ~ () () 则称 Fx 在[ a , b ] 上有上界. 称模糊数M为 Fx 注意到 ~ ~ () 在 [ a , b ] 上的上确界, 记为 M= sup Fx , 是n x ?[ a , b ]~ ~ +9 ]| ( ) - G x ( ) Κ i- 1 G x i[ | 指: ? i= 1 n ~ ~ () 1M是 F在[ a , b ] 上的上界;~~+ () () = |G x - G x | i i- 1 Κ ~ ~ ?() () i= 1 2设W为 Fx 在[ a , b ] 上的任何上界, 则n ~ ~M?W. -- () ( ) x - G x | ,= m ax {|G Κ i Κ i- 1 ?~ i= 1 () 同理, 可以定义 Fx 在[ a , b ] 上的下确界, 记 + +() () ~ ~ |G x - G x | } Κ i Κ i- 1 ()Fx .为m= inf x ?[ a, b ]n~ --() () ) x - G ( 由文献9 知, 如模糊数值函数 Fx 在[ a , b ]?m ax {G i |Κ x i- 1 | ,Κ ?i= 1 ~ () () () 上有上 下界, 则 Fx 在[ a , b ] 上有上 下确界.n + +~ 6 () () |G x - G x | }. Κ i Κ i- 1 () 定义 4设 Fx 是定义在[ a , b ] 的模糊数值? i= 1函数, 若 所以, 对任何分划 T 及任意 Κ? 0, 1 , 有~ n () () () 1Fx 在[ a , b ] 上满足 H 差性质; () () |G Κ x i - G Κ x i- 1 | < M 0 ,() 2对[ a , b ] 上的任何分划 T : a = x < x <0 1 ? - - + i= 1 n < x = b, 集合n () () |G Κ x i - G Κ x i- 1 | < M 0 ,?n + + + ~ ~ () () { Fx - Fx }||i i- 1 ?i= 1 - +() () 故 G Κ x , G Κ x 为一致有界变差的实函数.i= 1 -+ n() () () () 2] 1由G x , G x 的一致有界变差 Κ Κ ~ ~ + () () ( m ax [ |Gb - Ga | ],= supsupΚ i i T Κ?0, 1 ?Mi= 1 使得对任何分划 T 及任意 Κ? > 0, 性质, 存在 n2~ ~ +() () ) [ |Gb- Ga | ] i i Κ 0, 1 有?i= 1 n n M --,( |G () )Κ x - G x < ,~ ~ | Κ i i- 1 ? (() ()D {G x - G x }, 0.= sup|| 2 i i- 1 i= 1?T i= 1 n ~M + + 定理 2 设G ?B V [ a , b , 则存在模糊数值函数( ) () Κ G Κ x - G < .|| x i- 1i ? 2i= 1 ~ () Fx 使得 注意到 ~~ ( ) () G′x = Fx , a. e 于[ a , b . n~ ~ ~ +() () () 且 Fx 在几乎处处意义下是惟一的.[ |Gx - Gx | ]i i- 1 Κ ? ~ 证 明 因为 G?B V [ a , b , 由定理 1, 对任意 Κn -i= 1 - +() x - G x ,|i i- 1 ? 0, 1 , G -= m ax {G ( ) | Κ Κ () () x , G x 是有界变差的实函数. 由Κ Κ ?i= 1 - + +() 实有界变差函数的性质, 对任意 Κ? 0, 1 , G Κ x ,() ( ) G x - G x }||Κ i Κ i- 1 + - +n () () ()x 几乎处处可导, 即存在实函数f x , f x G Κ Κ Κ -- () ) x - G x |( ? |G i i- 1 Κ Κ ?满足i= 1 n- - (() ) () G x ′= f x ,Κ Κ + + () ( ) + |G Κ x i - G | ?M .x i- 1Κ a. e 于[ a , b .?++ i= 1 () ) () ( x ′= f x ,G Κ Κ 定义 第 1 步, 证明对于任意 Κ? 0, 1 , x = M ;1, + -~ () () ) (x ? f x , a. e 于[ a , b . 3 f Κ Κ () Mx = + 0, x ?M . - ~ () )事实上, 设 h x = G x Κ ()() ( - G x . 由于Gx 满Κ Κ n~ ~ ~~ () 足 H 差性质, 所以对任意 x , x ? [ a , b ] 且 x < 1 2 1 () () 则Gx - Gx ?M. 所以 G? B V [ a ,|| i i- 1 ?i= 1 ~~ ~c ~ ~ ()()x , 存在A? R使得 Gx Gx = + G. 因此2 2 1 b . () ()h x - h x Κ2 Κ1 () () 2Ζ 3对任何分划 T 及任意 Κ? 0, 1 , + - + -() () () () = G x - G x - G x - G x ] Κ 2 Κ 2 Κ 1 Κ 1 由不等式 + +--() ( ) ( ) ( ) Κ n = G x 2 - G x 1 - G x 2 - G x 1 ]Κ Κ Κ ~ ~ ++ -() () [ Gb- Ga ]|| Κ i i ?- A ? 0. = A Κ Κ i= 1 n () 故 h x 在[ a , b ] 上单调递增, 从而Κ- - () ( ) b- G a | ,Κ = m ax {G i Κ i |+ - ?() () () h ′x = f x - f x , a. e 于[ a , b . ΚΚ Κ i= 1 + + () ( ) G b- G a }||i i Κ Κ 即 n+ -() () x ? f x , a. e 于[ a , b . f Κ Κ (() () )= d G a , G bΚi Κi ?第 2 步, 证明对任意 Κ, Κ? 0, 1 且 Κ< Κ,1 2 1 2 i= 1 n - - () () ~ ~ f x ? f x ,Κ Κ (() () )? D 12 Gbi , Ga i ? )(i= 1a. e 于[ a , b . 3 3 ++ () () f ? f x , n Κx Κ 1 2 - - () ) ( ? supm ax {G Κ bi - G a i ,||Κ - - ? Κ?0, 1 () () () 事实上, 设 g x = G x - G x , 则对任意 x , Κ Κ 1 i= 1 2 1 + + () ( ) |G b- G a | }x 2 ? [ a , b ] 且 x 1 < x 2 ,i i Κ Κ n() ()g x2 - g x 1 ~ ~ + () () ? sup[ |Gbi - Ga i | ]Κ , ?- - -- Κ?0, 1 () ) () i= 1 (x - G x ]() - G x = 2 - G 1 1 G ΚΚΚ Κ x2 1212 - - - -所以, 对[ a , b ] 上的任何分划 T : a = x < x <0 1 () () () () = G x - G x - G x - G x ]Κ2 Κ1 Κ2 Κ1 2 2 1 1 n = A - A ? 0.~ ~ Κ Κ1 (() () ) < x = b, 集合{D Gx , Gx } 有界, 且n i- 1 i ? - - 2 i= 1 () 所以, g , b ] 上单调递增, 从而x 在[ a n ~ ~ - - () () () (() () ) sup {D g ′x = f Κ x - f Κ x ? 0, a. e 于[ a , b .Gx i- 1 , Gx i } ? 2 1T i= 1 n 即 ~ ~ + () () |Gb- Ga | ], [ = supsupi i Κ - - ? () () f Κ x ? f Κ x , a. e 于[ a , b .T Κ?0, 12 1 i= 1 (() ) 敛于 Α的正数列 Α? ΑΑ< Α, 则对任意 Κ< Α,同理 n n k + + () () 存在 n , 使得 Κ< Α,i k n f Κx ? f Κx , a. e 于[ a , b . 1 2k - - - () f Κ ? sup f Κ x = F Κ .第 3 步, 证明对于0, 1 上的有理数集{Κ} 且 Κk s n k 0Κ< Αk sn k = 0, 有 () 结合 3 3 式, 有 + - - -() () x > in ff x }B = {x : sup f Κ Κ kk () ()k kk F Α x = sup f Κ x Κ< Α k ? -+ - () () < ?{x : f Κx > f x }Κ () kkf Κ x sup ? supk = 0 s k ?N Κ< Α s nk ? ? --- ( () () )? ? ?{x : f x > f x , Κk < Κi }ΚΚ()x ? F Α kisup nk = 0 i= k n?N ? ? - - + + () ()F x ? F x .= lim Α Α ( ) () () ? ? ?{x : f x < f x , Κ< Κ}= C.n k i Κ Κ k i ??nk = 0 i= k 所以 事实上, 对任给 x ?B , 则存在 Κ, Κ使得 k k 1 2 --- +() () lim F Α x = F Αx .() ()f x > f x .n ΚΚk k n?? 1 2 - ( - 即 F 在 Κ= Α? 0, 1 点左连续且在 Κ= 0 处右连Κ (( ) ) i如 果 k = k , 则 x ? {x : f x >Κ1 2 k 1+ (() 续. 同理, F x 在 Κ= Α? 0, 1 点左连续且在 Κ + () f x }.Κk 1 = 0 处右连续. ( ) ii如果 k ? k , 则1 2 第 5 步, 证明对任意 Κ? 0, 1 , - - () ( )( )- -a如 果 Κ< Κ且 f x? f x > ΚΚkk 1 2 k k () () F x = f x ,Κ Κ 2 1 a. e 于[ a , b .+ - ++ + () () () f x , 则 x ? {x : f x > f x };ΚΚΚ() () F x = f x ,Κ Κ k k k 2 2 2 + - () b 如 果 Κk ( ) i当 Κ= 0 时, 设 Κ? 0, 1 且 Κ?0. 由 n n () ()> Κ> f x ?且 f x k ΚΚ 1 2kk1 2 - - + - +() () F x = limF x , 故 0 Κ () () () f x , 则 x ? {x : f x > f x };+ΚΚΚk k k Κ?0 2 1 1 - - ) ()( F x . F x = limΚ0 () n c否则, 则+Κ?0 n ? ?~ ~c - -- () () ( 又 Gx ?R, 所以G 在 Κ= 0 处右连续,() x x ? ? ? ?{x : f () Κx > f x , Κ< Κ}ΚΚk i kik = 0 i= k ? ? 即 + + ( () () )? ? ?{x : f x < f x , Κ< Κ}.ΚΚk i k i - -k = 0 i= k () ()lim G x = G x .Κ 0 n n ?? 故无论何种情况有 x ? C.--() () x , G x , 为有界变差函数, 利用文献 因 为 G 0 Κ n () () () ()结合 3 , 3 3 式, 且L C = 0, 所以L B 之命题 1. 5, 有 10 = 0.- - () ) () ) ((G x ′= G x ′, a. e 于[ a , b .lim Κ 0 n第 4 步, 定义 n?? 即 0, x ?B ; -- - ( ) ( ) f lim t= f t, a. e 于[ a , b .-() sup f Κx , x | B , Κ> 0; kn?? F () x =Κ Κ< Κk Κ0 n - 另一方面, 考虑 () lim F Κ x , x | B , Κ= 0.- + - f x( )Κ?0 Κ- n 0 ? F x( ) -0 0, x ?B ;? f - () () x - f x .Κ0 n + () f x , x | B , Κ> 0; in f +所以Κ() k x =F Κ Κ < Κ k -- + () () ) (F x - f x = 0, a. e 于[ a , b .lim Κ 0 n() F x , x | B , Κ= 0. limΚ n?? +Κ?0 即+ - () () 则我们可以验证闭区间集{ F Κ Κ x , F x , ?Κ - - () () F x = f x , a. e 于[ a , b .0 0 0, 1 } 满 足 引 理 1, 从 而 确 定 一 模 糊 数 值 函 数( ) (ii当 Κ? 0, 1 时, 设 Κ? 0, 1 且 Κ?Κ,n n ~ () Fx , 且 ~~ c -() () ) (因为Gxx 对 Κ? 0, 1左连续,Κ ?R, 所以G ~ - + () ) () ( [ Fx ]= F x, F x .Κ Κ Κ -- () ()lim G x = G x . 由文献10 之命题 1. 5, 有即-+ Κ Κ n () () 事实上, 只需证明{ F x , F x , Κ? 0, 1 } 满n?? Κ Κ - -(G lim (对 x | B , 任意给定 Α? 0, 1 , 设 Α () n 足引理 1 之条件 4即可. () ) () ) (x ′= G x ′, a. e 于[ a , b .ΚΚ 为任意收 n n?? 即 -- ( ) ( ) lim f t= f Κ Κ t, a. e 于[ a , b .n n?? 参 考 文 献 另一方面, 考虑 --1 , . P u r i M L R a le su D AD iffe ren t ia ls fo r fuzzy () () x - F x 0 ? f Κ Κ n[. , 1983, 91: 5522558.func t io n sJ J M a th A na l A pp l -- ()() ? f x . x - f Κ Κ n 2 . Ka leva OT h e C auch y p ro b lem fo r fuzzy d iffe ren t ia l 所以 [. , 1990, 35: 3892equa t io n s J F uzzy Se t s and Sy stem s --() ) x = 0, a. e 于[ a , b . () (x - F lim f Κ Κ n396. n?? 3 . [. 即Ka leva OF uzzy d iffe ren t ia l equa t io n s J F uzzy Se t s --, 1987, 24: 3012317.and Sy stem s () () x = f x , a. e 于[ a , b .F Κ Κ 同理 4 . [.Ka leva OT h e ca lcu lu s o f fuzzy va lued func t io n s J + + , 1990, 3: 55259.A pp l M a th L e t t () () F x = f x , a. e 于[ a , b .Κ Κ 5 . [ .~ Se ik k a la SO n th e fuzzy in it ia l va lue p ro b lem J () 由引理 4, 对模糊数值函数 Fx , 有, 1987, 24: 3192330.F uzzy Se t s and Sy stem s ~~ ( ) () G′x = Fx , a. e 于[ a , b .6 , . , Go ng Z T W u C XBo unded va r ia t io nab so lu te ~ ~ () () 最后, 证明惟一性. 设 Hx 满足 H′x =2co n t inu ity and ab so lu te in teg rab ility fo r fuzzy ~ () Fx , a. e 于[ a , b , 则对任意 Κ? 0, 1 ,2[ . num be rva lued func t io n s J F uzzy Se t s and ---Κ Κ (() () () ) G x = H x , x ′= F Κ 294., 2002, 129: 83Sy stem s a. e 于[ a , b ] + + + 7 吴从火斤, 马明. 模糊分析学基础[. 北京: 国防工业() ) () () M (G x ′= F x = H x ,Κ Κ Κ () 故存在B < [ a , b ] 且L B = 0, 使得对任意有理数 出版社, 1991. 56272. 8 , , . ,W u C X So ng S J L ee E SA pp ro x im a te so lu t io n s Κ? 0, 1 , 任意 Κ? [ a , b ]B , 有\ex istence and un iquene ss o f th e cauch y p ro b lem o f --- (() () () ) G x = H x , x ′= F Κ Κ Κ [ . ,fuzzy d iffe ren t ia l equa t io n s J J M a th A na l A pp l + + + (() ) () ()G x ′= F x = H x .Κ Κ Κ 1996, 202: 6292644. --+ + () () () () 由 F x , H x , F x , H x 的左连续性, 对Κ Κ Κ Κ 9 , . W u C X W u CT h e sup rem um and inf im um o f th e 任意 Κ? [ a , b ]B , 任意 x ? 0, 1 , \[. se t o f fuzzy num be r s and it s app lica t io n s J J M a th - - + +() () () ()x = H x , F x = H x . F Κ Κ Κ Κ 2511. , 1997, 210: 499A na l A pp l - Fuzzyva lued f un c t ion s of boun ded va r ia t ion s an d its d if f eren t ia b il ity 1, 22GON G Z en g ta i (1. , , , 730070, ;Co llege o f M a th em a t ic s and Info rm a t io n Sc ienceN o r thw e st N o rm a l U n ive r sityL anzho uC h ina )2. , , , 730000, Co ld and A r id R eg io n s E nv iro nm en ta l and E ng inee r ing R e sea rch In st itu teCA SL anzho uC h ina : 22, A bstra c tW ith th e co n cep t o f ab so lu te va lu e fo r th e fu zzyn um b e r sth e fu zzyva lu ed fu n c t io n o f . , 2bo u n ded va r ia t io n is def in ed an d ch a rac te r izedN ex tth e d iffe ren t iab ility o f fu zzyva lu ed fu n c t io n s o f . , 2bo u n ded va r ia t io n is d iscu ssedM o reo ve rth e p roo f o f th e d iffe ren t iab ility o f fu zzyva lu ed fu n c t io n s o f .bo u n ded va r ia t io n is co n st ru c t ive : 2; ; Key word sfu zzyva lu ed fu n c t io n o f bo u n ded va r ia t io nd iffe ren t iab ilityde r iva t ive () 1991: 2810; 0472M R Subjec t C la ss if ica t ionE A