例说换底法求三棱锥的体积
《数理化解题研究>>2oo8年第7期
篇25
例4从原点出发的栗质点M,援同量a=(0, 1)移动的概率为,按向量=(0,2)移动的概率为 了1,设质点可到达点(0,n)的概率为P. (1)求P,P的值;
(2)求证P+2=了lP+了2P+.;
. (3)求P的
达式
解析(1)P.=了2,
P:=()+号=吾.
(2)质点M到达点(0,n+2)有两种情况: 从点(0,n)按向量b=(0.2)移动,
从点(0,n+1)按向量a(0,1)移动,概率分别为 寺Pn与于P,
故得递推关系P+:了1P+了2P+. (3)由P=了1P+了2P+.得P+一P+.=一 -
(p川一),故数列{P+.一P}是以P一P.=寺 为首项,一1为公比的等比数列.
所以+一P=×(一?)1=(一)".
又P一Pl=(P一P一1)+(P一l—P一2)+…+ (P一P1)=l一(一?],
.
?
.=
3
+
1
×
(一?).
点评此例用向量给出概率题,又以数列收场, 注意知识的交叉和渗透.本题得到二阶递推关系a =
寺口一.+寺an-2(n?3)后,通过构造等比数列求出 通项.
一
般地,解决概率问题中的递推数列问题,首先 利用所学知识分析问题,克服难点,建立与之对应的 递推数列模型,然后对递推数列灵活变换,运用累加, 累乘,迭代,构造新数列等
化归为等差,等比数列 问题,求出数列的通项公式.
说换底法索暑棱锥韵体积
四川省苍溪中学(628400)林明成?
求j棱锥的体积时,若底面积或高不易求出,则 往往转换顶点和底面,然后进行计算求解,这种方法 叫换底法.换底法是求三棱锥体积的一种常用方 法.有意识地换底,进行合理的体积转换,往往有助 于化难为易,化繁为简,使问题顺利得到解决. 例l如图,在边长为a的正
方体ABCD—AlBlClDl中,,N,P
分别是棱I.,A.D.,AIA上的点,
1
且满足AI=?AlBl,AlN=
2ND,A.P=IA,试求j棱锥AI
—
MNP的体积.
AlMB
C
C
分析若用公式=s直接计算三棱锥A.一 MNP的体积,则需要求出AMNP的面积和该三棱锥 的高,这两者显然都不易求出.但若将三棱锥A.一 MNP的顶点和底面转换一下,变为求三棱锥P— A.MN的体积,便能很容易的求出其高和底面?A,MN 的面积,从而代人公式求解.
解l—MNP=-A1=}s.h=i.1AlM ?
AlN)A,P=了1'1×吉.?了2.3.=1.3. 例2在如图的四面体中,PA=1,AB=AC=2. =/PAC=/BAC=60.,求四面体的体积.
解在?PAB中,由AB=2PA,PAB=60~.知 PALPB.
同理上PC,故上平面PBC.
选平面PBC为底面,为三棱锥的高.
26数学篇《数理化解题研究)zoo8年第7期 .
.
.
AB=AC=2,厶BAC=60.'...AABC为正三角 形,日C=2.
取BC的中点D,连结P,则PD=,.二
=,=丁=.
.
?
.
=
?s雎.?=?(寺日c?PD)PA=3. C
例3长方体ABCD—AlBfClD中.E,P分别是 BC,A1D1的中点.J7v是CD1的中点,AD=AA=0,AB
=
2a.求三棱锥P—DEN的体积.
解...CD//EP'...CD1//平面PDE, ,-
3
.
'
Vp—
DENVNP眦l-PDE.
评注当所给棱锥的体积不便计算时,可选择 条件较集中的面作底面,以便计算底面积和高. 例4如图,PCBM是直
角梯形,/_PCB:90.,?
BC,P:1,BC=2,又AC=
1,/_ACB=120.,AB上PC,直
线A与直线PC所成的角A
PM
为6O..求三棱锥P—MAC的体积. 解由PC上CB,PC上AB,知PC上面ABC.取 BC的中点?,则CN=1.连结AN,MN. ?
.
.
PCN'-..MN~PC,从而MN上平面ABC. ?
.
'
直线AM与直线PC所成的角为6O.,...
AM』v=60..
在AACN中,南余弦定理得AN= ,
/AC+CN2—2AC?CN?cosl20.::?3. 在?/lMNrp,MN=?c.t/_AMN=×3= 1....PCMN为正方形.
.
?
.一
:
一
Pc=一
.==(号Ac
?
CN?sinl20.)MN=鱼
12.
匍I5电n图.存{力长1臼{j_f下方体ABCD—
A日CD中,为AD中点.
(1)求四面体E—A日.c的体积; (2)求四面体日一A1c1E的体积. AIBlAlB
解(1)一.==.肋=1.
(2)在平面ABCD内,延长鲋到J7v点,使AN=
l
2'
故M?AC'.NE//平面,c.
.
.
VB_
AICIEVE=VN=Vc.口?=丁1L1
×
3×1)×l=1.
例6在正方体ABCD—A,BCD中,E,,分别 为日B,,cD的中点,若AA,=2,求三棱锥,一A1ED】 的体积.
C
ABAB
解取AB的中点为G,连结GE,GF,GD1,GA.
?
.
.
FG?A1D1,A1D1c平面A1D1E,FG平面 A1Dj,
.
?
.
FG//平面A1D1E.
所以点,到平面AD的距离等于点G到平面 ,lD1的距离,
即gDl:-^lDl,=l,c?
又因为正方体ABCD—A1BCD,的棱长为2, .
.
.
s?l=s方形^口lj—s?BEG一2S/AAAtG争. 故:^4l.:?sA=1.
评注本题若直接求解,须先求出SaatFol和点F
到平面.4D的距离,但这样做较为困难.这里利用
中点,巧妙地得到平行关系,进而"换顶点","换底
面",将问题得以巧妙地转化,过程简捷,解法明快.