矩阵的秩的相关不等式的归纳小结

矩阵的秩的相关不等式的归纳小结 林 松 (莆田学院数学系，福建，莆田) 摘要:利用分块矩阵，一些矩阵的秩的相关不等式，观察矩阵在运算后秩的变化，归纳出常见的有关矩阵的秩的不等式，由此引出等式成立的条件。 关键词:矩阵的秩，矩阵的初等变换 引言:矩阵的秩是指矩阵中行(或列)向量组的秩，与之等价的说法通常是指矩阵中不为零的子式的最高阶数，是矩阵最重要的数字特征之一。利用分块矩阵，把子式看成元素，可将高阶矩阵的运算化为较低阶矩阵的运算，也为矩阵的秩的一些常见不等式的证明带来了方便。本文将讨论矩阵的秩的一些常见不等式，并由此引出一些秩的不等式等号成立的等价条件。 一 基本的定理 1 设A是数域P上矩阵，B是数域上矩阵，于是 nm，ms， 秩(AB)min [秩(A)，秩(B)]，即乘积的秩不超过个因子的秩 , 2 设A与B是矩阵，秩(A,B)秩(A)+秩(B) ,mn， 二 常见的秩的不等式 1 设A与B为n阶方阵，证明若AB = 0，则 r(A) + r(B) n , 证:设r(A) = r,r(B )= s,则由AB = 0，知，B的每一列向量都是以A为系数方阵的齐次线性方程组的解向量。 当r = n时，由于该齐次方程组只要零解，故此时 B = 0，即此时 r(A) = n，r(B) = 0,结论成立。 当r〈 n 时，该齐次线性方程组的基础解系中含n-r个向量， 从而B的列向量组的秩,n-r,即r(B), n-r 所以 r(A) + r(B) , n 2设A为矩阵，B为矩阵，证明不等式r(AB),r(A)+r(B)-n mn，ns， 证:设E为n阶单位矩阵， 为S阶单位方阵，则由于 ES EBAABA0,,,,,, ,,,,,,,0,EEEB0S,,,,,, EB,, 而 可逆，故 ,,0,ES,, AABA00AB,,,,,, r(A)+r(B) 秩 =秩 =秩 ,,,,,,,E0EBE0,,,,,, =r(AB)+r(E) =r(AB)+n 从而r(AB) r(A) + r(B) - n , 3设A，B都是n阶方阵，E是n阶单位方阵，证明 秩(AB-E)秩(A-E)+秩(B-E) , AEBE,,B0ABE,0,,,,,,证:因为 ,,,,,,,0BE,E0BE,0,,,,,, AEBE,,ABE,0,,,,故秩(AB-E)秩秩 ,,,,,,0BE,BE,0,,,, =秩(A-E)+秩(B-E) 因此 秩(AB-E)秩(A-E)+秩(B-E) , 4 设A，B，C依次为的矩阵，证明 mnnsst，，，,, r(ABC) r(AB) + r(BC) - r(B) , 证:设 分别为，s,t阶单位矩阵，则由于 EE,st ABABCECAB0,,,,,,s , ,,,,,,0B0,EBBC,,t,,,, EC,,s且是可逆矩阵，故 ,,0,Et,, ABABCAB00ABC,,,,,, r(AB) + r(BC),秩=秩=秩 ,,,,,,B0BBCB0,,,,,, = r(ABC) + r(B) ,从而r(ABC) r(AB) + r(BC) - r(B) ,5 设A，B都是n阶矩阵，证明;r( A B + A + B ) r( A ) + r ( B ) 证明:r( AB + A + B)=r( A (B+E) + B) 利用基本定理二 ,r( A (B + E)) + r(B) 利用基本定理一 ,r( A ) + r( B ) 6 设A，C均为矩阵，B，D均为矩阵，证明 mn，ns， r( A B – C D) r( A-C) + r( B - D) , 证明:根据分块矩阵的乘法可知 ACABCD,,ECEBAC,0,,,,,,,,mn = ,,,,,,,,00BD,0EE0BD,,,ns,,,,,, ACABCD,,,, 由此易知r(A-C)+r(B-D)=r ,,0BD,,, r(AB-CD) , 从而得r(AB-CD) r(A-C) + r(B-D) , 三 不等式等号成立的探讨 1 设A，B分别为和矩阵，则rAB=rA+rB-n的充mn，nm，，，，，，， 分条件为: A0A0，，，， r=r,,,,EB0B，，，， 证明:由 E-AA0E-B0-ABE-B0-AB，，，，，，，，，，，，得:==,,,,,,,,,,,,0EEB0EEB0EE0，，，，，，，，，，，， A00-AB，，，， r=r,,,,EBE0，，，， 0-ABA0，，，， 又，r=rAB+nr=rA+rB，，，，，，,,,,E0EB，，，， ？rAB=rA+rB-n ，，，，，， rAB=rA+rB-n2 设A，B分别为和矩阵，则的充分必要条mn，nm，，，，，，， 件为存在矩阵X、Y，使得 XA+BY=En 证明:根据三 1，只需要证明 A0A0，，，， XA+BY=Er=rXY,存在、，使得n,,,,EB0B，，，， E0A0E0E0A0，，，，，，，，，，mnn,由=,,,,,,,,,,-XEEB-YE-YE-AXB，，nnmm，，，，，，，， A0，，,,,E-XA-BYBn，， A0A0，，，，当 时， XA+BY=Er=rn,,,,EB0B，，，， ？ rAB=rA+rB-n，，，，，， EE00,,,,rS 设 P,,,AQPBQ,1122,,,,0000,,,, PQ00A0,,,,,,11 则 ,,,,,,00PQ0B22,,,,,, PAQ00,,,,11 ,,,,,00PBQ22,,,, PAQ0,,11 ,,,0PBQ22,, E000,,r,,0000,, (1) ,,,000ES,,0000,, PQ00A0,,,,,,11 ,,,,,,00PQEB,,22,,,, PAQ00,,,,11 ,,,,,PPBQ0222,,,, PAQ0,,11 ,,,PQPBQ2122,, E000,,r,,0000,, (2) ,,,CCE012S,,CC0034,, 对式(2)右端的方阵作行初等变换，可消去，，，由于式(1)，式(2)右CCC231 F0,,1端方阵秩相等，故在消去，，时也消去了，对式(2)右端分块记为 CCCC2341,,CF2,, CCE0E0,,,,,,12rS其中=， =， C= FF12,,,,,,C0C0CC,,,,34,, ,C0E0,,,,CC0C,,,,1r122于是上述消去的行变换相当于 C ，,1,,,,,,,,0000CCCC,,,,3434,,,, 有类似的结果，这样初等变换就相当于存在矩阵S，T，使 消去其余CCC,,234 =+=，即 TFFSPAQPBQTPQ，，,0SC011122212 从而有 令 得 XABYE，,n 3 设 A，B，分别为 矩阵，而B的一个满秩分解是B=HL，即H是列满mnnllm，，，,, 秩矩阵，L是行满秩矩阵，则r(ABC)=r(AB)+r(BC)-r(B)的充要条件是存在矩阵X，Y 使得 XAHLCYE，,r 证明:设r(B)=r，因为B=HL 是满秩分解 所以 有r(AB) = r(AHL) = r(AH) r(BC) = r(HLC) = r(LC) 则r(ABC) = r(AB) + r(BC) - r(B) r(AHLC) = r(AH) + r(LC) - r , 又由上题 得r(AHLC) = r(AH) + r(LC) - r 矩阵X,Y 使得 XAHLCYE，,,r 所以 3得证 2A4 设A为n阶矩阵，证明如果 = E，那么r( A + E ) + r( A – E )= n 2A 证明: ( A + E )( A – E ) = + A – A – E = E – E = 0 ？, r( A + E )+ r( A – E ) n , r( A + E ) + r( A – E ) r( A + E + A - E) = r(2A) = r(A) 2A = E 2 = E，即 0 ？A,A r(A)= n ？ r( A + E) + r( A - E) n , 故 r( A + E )+ r( A - E) = n 25 设A为n阶矩阵，且 = A，证明 r(A)+ r(A-E)= n A 2 证明:由 = A，可得 A( A – E )= 0 A 由题一 1知，r( A ) + r( A - E) n , 又因为 E-A和A-E 有相同的秩 n = r( E ) = r( A + E – A ) r ( A ) + r ( E – A ) , 从而 r( A ) + r( A – E ) = n 3226 设A是阶矩阵，则 = A的充分必要条件是r(A)= r(A-)+ r(A+) AAA 3证明: 必要性 一方面，由 = A(E-A)A(E+A)=0 由题二 4知 A, 0 r[(E-A)A] + r[ A (E+A)] - r(A) , 22 即r(A), r(A-A)+r(A+A) 2222 另一方面，由r(A-A)+r(A+A),r[(A-A)+(A+A)] = r(2A) = r(A) 22 所以 r(A)= r(A-A)+ r(A+A) 22 充分性 若r(A)= r(A-A)+r(A+A) 设r(A) = r,A的满秩分解是A = HL，则存在 X，Y 使(2X)H =，L(2Y)= 成立 EErr 则 X(E-A)H +L(E-A)Y=(XH + LY)-(XHLH - LHLY)= E-0 = E rr 由题三3得 r[(E-A)A(E+A)] =r[(E-A) A] + r[A (E+A)]- r(A) = 0 即得(E-A)A(E+A)=0 3A 从而得 = A 参考文献: [1] 张禾瑞 .高等代数(第二版)[M].高等教育出版社 [2] 杨子胥.高等代数习题解[M].山东科技出版社 [3] 李师正.高等代数解题方法与技巧[M].高等教育出版社