【word】 基于多种Copula函数的沪新股市尾部相关性比较分析

【word】 基于多种Copula函数的沪新股市尾部相关性比较分析 基于多种Copula函数的沪新股市尾部相关 性比较分析 第24卷第6期 V01.24No.6 统计与信息论坛 Statistics&InformationForum 2009年6月 Jun.,2009 【统计应用研究】 基于多种Copula函数的沪新股市 尾部相关性比较分析 王晓芳,谢金静 (西安交通大学经济与金融学院,陕西西安710061) 摘要:投资组合理论要求在尽可能多的市场上进行投资组合,因而研究两个股票市场之间的尾部相关关 系对全球投资组合和风险管理具有重要的意义.采用基于秩的极大似然估计法,分别采用静态和动态Copula 函数对比研究上证综指和新加坡海峡时报指数收益序列的尾部相关关系.结果发现时变的CCopula函数较 其他3种静态Coptlla函数的拟合效果好;两市股指收益序列的尾部 相关关系不对称,存在显着的下尾相关, 而上尾相关不明显,而且上证综指和海峡时报指数收益序列的下尾相关系数是不断变化的,并呈现出日益上 升的趋势. 关键词:上证综指;新加坡海峡时报指数;尾部相关性;Copula函数 中图分类号:F222.3文献标志码:A文章编号:1007—3116(20o9)06—0o27—06 一暑l吉,Jl口 股票市场的尾部相关性考察的是当一个股票市 场收益率高涨(猛跌)时,是否会引起其他股票市场 价格的高涨(猛跌).与通常两个股票市场之间的相 关关系相比,在市场价格急剧上涨或下跌等极端情 况下的相关关系会呈现出与平时不同的特征.在市 场极端波动时,两个股票市场之间的尾部相关性对 全球投资组合的风险影响更大,因而对控制风险而 言,研究两个股票市场之间的尾部相关性更为重要. Copula是将多个随机变量的联合分布与它们各 自的边缘分布相连接的函数,由它导出的相关性度 量可以更准确地描述出变量间的非线性相关关系. 在研究资产价格的相关性,尤其是尾部相关时,Cop. ula函数具有独特的优势.已有的使用Copula函数 对股票市场尾部相关性的研究主要是以沪,深股票 指数,或上证综数和恒生指数为研究对象,例如王 璐,韦艳华,钟君和李悦等[卜引.此外,既有文献大 多只研究了变量间静态的尾部相关性,而没有考察 股市之间的尾部动态相关性.研究上证综指和新加 坡海峡时报指数的尾部相关性的更是鲜见.新加坡 股市与中国股市都位于同一时区,距离较近,语言相 通,两国政治关系稳定,新加坡已经成为中国企业海 外上市的一个主要目的地.在国际股票市场上,除 香港外,两个市场之间的信息不对称程度较轻,市场 分割程度较轻.因而从理论上讲,两国股市之间的 尾部相关性应当较大.但实际情况如何?两市具有 什么样的尾部相关特征?这些问题都是值得深入研 究和探讨的.基于此,本文拟采用基于秩的极大似 然估计法,分别采用静态和动态Copula函数对比研 究上证综指和新加坡海峡时报指数收益序列的尾部 相关关系. 本文结构安排如下:首先是本文用到的Copula 函数和基于Copula函数的尾部相关性介绍;其次给 出基于秩的极大似然估计法这一参数估计方法;再 次,采用3种静态Copula和1种动态Copula分别对 收稿日期:2o09—03-25 基金项目:国家社会科学基金项目<防止资产价格过快上涨和抑 制资产泡沫问题研究——基于货币调控的理论与实 证)(08NY153) 作者简介:王晓芳(1958一),女,陕西西安人,教授,博士生导师,研究方 向:金融市场; 谢金静(1978一),男.河南上蔡人,博士研究生,研究方向:金融市场. 统计与信息论坛 上海证券交易所的上证综指和新加坡交易所的海峡 时报指数的尾部相关性进行实证对比分析,最后得 出结论. 二,Copula函数及基于 Copula函数的尾部相关性 (一)Copula函数 Copula函数包含了变量尾部相关的全部信息, 可以使分析者更加全面地了解变量之间的尾部相关 关系.下面对几种函数的分布形式进行介绍,其中 前3种为静态的Copula函数,后1种为时变的动态 Copula函数. 1.GumbelCopula函数 GumbelCopula函数的分布函数和密度函数分 别为: CG(,;口) =exp{一[(一lnuo+(一lnv)]}(1) CG(,7./;口)(1nu?lnv) CG— UV[(一In)a+(一ln)a]一l/a {[(一lnuo+(一lnv).]i/a+口一1}(2) 其中口?[1,?).当口=1时,随机变量,独立, 即CG(“,;1)=“;当口一?时,随机变量,73 趋向于完全相关. 2.ClaytonCopula函数 ClaytonCopula函数的分布函数与密度函数分 别为: C(U,;a)=(U一+一一1)一/口(3) co(,;口)=(1+Ot)()一.一(U一+一一 1)一一(4) 其中a?[1,oo)\{0}.ClaytonCopula函数下尾的 相关性较强,可用于描述在下尾处具有较强相关关 系的现象. 3.FrankCopula函数 FrankCopula函数的分布函数和密度函数分别 为: cF(,;a) 一 1l og[1一](5) CF(“,;口) = 1等e-aU1a”O(6)一[(一e—a)一(1一)(一P一)],u 其中a?(一oo,+?)\{0}.a>0时,随机变量, 正相关,a一0时随机变量,趋向于独立,a< 0时随机变量,负相关. 4.时变的SJCCopula函数 时变的sJcCopula(SymmetrizedJoe—Clayton Copula)函数由Patton于2006年提出[引,其分布函 数为: Csjc(,l,)=0.5(Gc(,Ir, )+Qc(1一,1一l砖,)+”+一1) (7) 其中『C=1一(1一{[1一]]一+[1一(1一 Ot)]一一1})此处=[1oga(2一)],, yf=[一log2()]_.,和r}分别为上尾和下尾相 关系数. 时变的SJCCopula函数的参数就是上尾相关 系数和下尾相关系数,因而对上下尾相关都非常敏 感,时变的SJCCopula函数较其他3种静态SJC Copula函数的优点在于它考察了所估计参数的动态 变化性. (二)尾部相关性的定义 1.ArchimedearlCopula函数族的尾部相关性定 义 尽管GumbelCopula函数,ClaytonCopula函数 和FrankCopula函数的形式不同,但是它们都属于 ArchimedeanCopula函数族.这类Copula函数的尾 部相关性都可以用下述达式表示: = 2—2lim + (8) z,L=2(9) 其中是一个严格的生成元,使得-1属于拉普拉 斯变换类.如果9(0)是有限的且不等于0,那么 C(,口):(乒(U)+(口))没有上尾相关性.若 C(“,)有上尾相关性,那么1(0)=一oo,上尾 相关系数和下尾相关系数?分别为公式(8)和(9). 2.时变SJCCopula函数的尾部相关性定义 Patton在SJCCopula函数的基础上,根据上尾, 下尾相关系数的时变性来定义SJCCopula函数中的 参数的时变性,从而得到在每一个时间点上与给定 的上尾(或下尾)相关系数相对应的Copula参数的 值.在时变sJCCopula函数中,每一个时点上的上 ?Gumbd数A(?)为logistic转换函数,定义为A(z) =__,它的运用是为了确保上尾和下尾相关系 上十e一 数都处于(0,1)区间内. 三,Copula函数的参数估计方法 —— 基于秩的极大似然估计法 一 般采用参数估计法(ParametricApproach)对 具体Copula函数进行参数估计,参数估计法在对边 缘分布函数拟合时都对边缘分布函数本身作了相关 假定,即假定边缘分布函数服从正态分布或t分布 等.但是这种假定往往很难符合实际情况,因而对 边缘分布拟合的效果并不是很好,这往往影响到 Copula函数中的参数估计效果.由于两个随机变量 的相关结构只与它们相关的Copula函数有关,而与 边缘分布没有关系.在不假定边缘分布的情况下, 通过随机向量样本直接估计Copula函数的相关结 构参数会更加接近随机变量问的真实结构,这种方 法我们称其为基于秩(rank)的极大似然估计法[. 其具体的估计原理如下: 假设xl,Y1),…,(X,)是随机向量(X,y) 的一个样本,C(U,73,)是x和y的Copula函数, 伪极大似然估计的对数似然函数为: Ll()=?In[co{(五),G.(Yi)}](12) 其中(z)J(?z)和Gn()= I(yj~y)分别为随机变量x和y的经验 分布函数,ce(“,)=Y~COpula函数 C(U,;)的密度函数. 假设R表示Xf在X一,z中的秩,Sf表示Yf 在Yl,…,中的秩,那么容易得到(z)= 和G()=,将其代入式(12),就有 ,)=骞n,}](13) 因此基于秩(rare)的极大似然估计方法就是 将式(10)作为该方法的对数似然函数,从而求出0 的估计量=arg口maxLf(). 四,沪新股市指数收益序列间 尾部相关性的实证研究 (一)样本数据的整理及初步分析 本文选取代表中国股市的上证综指和代表新加 坡股市的海峡时报指数,样本区间为1991年10月 3日至2008年6月13日,所有数据均来源于雅虎 财经().剔除两市没 有同时交易的日数据后,共得到4052个日数据.两 市每日的收益率为数据处理后的相邻交易日收盘价 的对数一阶差分,即yt=ln(p)一ln(pH).利用 Ex进行数据处理后得到收益率数据4051个. 表1上证综指和新加坡海峡指数收益率序列统计指标 从表1的统计指标可以看出,上证综指和新加 坡海峡指数收益率序列的偏度S>0,峰度K>3, 与正态分布相比,序列呈现明显的右偏,尖峰的 分布状态,JB统计量也至少在99%的置信水平上 拒绝了序列为正态分布的假设.上证综指和新加坡 海峡指数收益率序列具有金融时间序列通常所具有 的尖峰厚尾特征,并且波动的集聚性(clustering)明 显. (二)用静态Copula函数对上证综指和新加坡 海峡时报指数收益率的尾部相关性分析 为了考察股票市场极端风险事件发生或者重大 利好出现时上证综指收益率和新加坡海峡时报指数 收益率的风险相关度,本文分别采用Gumbel,Clay— ton,FrankCopula函数对两指数收益波动的尾部相 关性进行静态研究,所使用的软件为Matlab2008. 基于秩的极大似然估计法,我们可以得到 29 统计与信息论坛 Gurnbel,Clayton,FrankCopula函数的参数估计结 果,以及AIC和BIC值,如表2所示. 表2上证综指和海峡时报指数收益序列 Copula函数的参数估计结果 根据表2中的AIC和BIC值对几种Copula函 数进行比较,数据拟合程度最好的是FrankCopula 函数,其AIC值为一24.646;其次是ClaytonCopula 函数,其AIC值为一23.427;数据拟合程度最差的 是GumbelCopula函数,其AIC值为一7.998.从 Copula函数的特性来看,FrankCopula函数形式对 上,下尾相关性均不敏感(尽管其拟合的最好,但其 不存在具体的尾部相关系数),GumbelCopula的函 数形式对上尾相关性敏感,而对下尾相关性不敏感; ClaytonCopula函数形式对下尾相关性敏感,而对上 尾相关性不敏感,ClaytonCopula函数对沪新股市的 拟合程度好于GumbelCopula函数,说明沪新股市 指数收益率间的尾部相关性呈现不对称结构,下尾 相关性要强于上尾相关性.由于ClaytonCopula函 数与GumbelCopula并非最优的拟合结果,加上还 没有用时变SJCCopula来考察上证综指和海峡时 报指数问的尾部相关性,因而本文这里先不给出其 对应的上尾或下尾相关系数. (三)用时变SJCCopula函数对尾部相关性的 分析 为了进一步考察上证综指和海峡时报指数间的 尾部相关性,下面用时变的SJCCopula函数进行研 究. 采用基于秩的极大似然估计法,使用前面得到 的序列和(t=1,2,…,,z),可以得到上证综指 和海峡时报指数收益序列时变SJCCopula函数的 参数估计结果,见表3. 表3上证综指和海峡时报指数收益序列时变SJCCopula函数的参数 估计结果 从表3可以看出,AIC:一38.1396,BIC= 一 38.1303,均小于静态的GumbelCopula,Clayton Copula和FrankCopula上下尾估计所对应的AIC 和BIC值,表明利用时变sjcCopula函数的拟合效 果比上述3种静态Copula函数的拟合效果更好. 根据表3的参数估计结果,可以进一步算出时变 sjcCopula在每个时点上的上尾相关系数和下 尾相关系数值各4051个(本文样本有4051个观 测值),这里不一一列出,只给出相应的统计量和图 示. 表4时变SJCCopula函数上尾和下尾相关系数统计量 从表4和图1中可以看出,在任何时点上,上证 综指和海峡时报指数收益序列几乎不存在上尾相 关,上尾相关系数的均值为0.001.上证综指和海 峡时报指数收益序列存在明显的下尾相关,下尾相 关系数的均值为0.038,最大下尾相关系数为 0.519.注意相关系数在(0,1)区间,只表明相关程 度大小,而不反映是正相关还是负相关. 为了更加清晰地了解上证综指和海峡时报指数 收益序列的下尾动态变化趋势,本文又做出图2. 从图2中的趋势线走势可以知道,上证综指和海峡 30 时报指数收益序列的下尾动态相关性日益增加,这 印证了本文在开始提出问题时的理论判断,即随着 日益增多的中国企业在新加坡股票市场挂牌,两个 市场之间的信息不对称程度日益弱化,市场分割程 度也越来越轻,从而导致两国股市之间的尾部相关 性也日益增大. 从图1和图2来看,下尾相关系数有数个峰值, 但是最大的峰值和峰值集群则都集中在2005年l0 月之后,其中最大峰值对应的时点在2007年5月 23日,下尾相关系数为0.519096695.在这一最大 王晓芳,谢金静:基于多种Copula函数的沪新股市尾部相关性比较分 析 值出现的前后一周的交易日内,上证综指和海峡时 报指数收益序列的下尾相关系数都比较大,并且呈 现逐步增大到最大值又逐渐减小的趋势.相对应 地,上证综指和海峡时报指数的收益率同样逐步增 到最大值又逐渐减小,表明沪新两市的联动性日益 增强. 0.8 0.6 0.4 O.2 0 图1基于时变的SJCCopula函数的 上尾和下尾动态变化 sJcCopulaLowertail R{———————————————————————琵面面础 宁宁4 图2带有趋势线的上证综指和海峡时报 指数收益序列的下尾动态变化 五,结论,不足和展望 在研究方法上,既有研究都是在假定边缘分布 参考文献: 服从正态分布或t分布的前提下,采用静态Copula 的方法对两市的尾部相关性进行研究,而本文对边 缘分布则采用基于秩的极大似然估计法,通过3种 静态Copula和1种动态Copula对沪新股市的尾部 相关性进行了对比研究,并得到如下结论:(1)时变 的SJCCopula函数比静态的GumbelCopula,Clay. tonCopula和FrankCopula函数更适合描述上证综 指和海峡时报指数收益序列的波动性;(2)上证综指 和海峡时报指数收益序列的尾部相关结构是非对称 的结构,其下尾相关性显着而上尾相关性不显着; (3)时变的SJCCopula函数拟合结果表明:上证综 指和海峡时报指数收益序列的下尾相关系数是不断 变化的,并且呈现出日益上升的趋势. 尽管本文从动静态Copula函数对比考察了沪 新股市的尾部相关性,但是本文还存在以下不足: (1)本文只选用了ArchimedeanCopula族的3种二 维Copula函数形式和时变的二维sJCCopula函数, 而没有选用其他很多形式的二维Copula函数来考 察沪新股市的尾部相关性;(2)本文选用的时变SJC Copula是在假定Copula函数形式不变的前提下,利 用系数的变化来考察尾部相关性的动态变化的,但 有可能在不同的区间内,尾部相关系数是相对稳定 的,而Copula函数的形式发生了变化,本文没有考 虑到这一点.展望未来,本文认为未来有关Copula 函数应用在股票市场的研究会集中在以下两个方 面:(1)利用多维Copula函数来研究多个股票市场 之间的尾部相关性;(2)假定尾部相关系数在一定区 间内保持不变的情况下,通过在不同区间设定不同 Copula函数的形式来考察两个股票市场尾部相关性 的动态变化. [1]王璐,王沁,庞皓.股票收益率尾部相关性的copula度量及模拟[J].数学的实践与认识,2007,37(10):57—61. [2]韦艳华,张世英.金融市场非对称尾部相关结构的研究[J].管理,2005,2(5):601,605. [3]钟君,史道济.沪深股市收益率的尾部相关函数[J】.数学的实践与认识,2008,38(10):5—12. [4]李悦,程希骏.上证指数和恒生指数的o.pula尾都相关性分析[J].系统工程,2006,24(5):88—92. [5]PattonAndrewJ.Mod~gasymmetricexchangeratedependence[J].Intern ationalEODrI(ITIiCReview,2006,47(2):527— 556. [6]任仙玲,张世英.基于coma函数的金融市场尾部相关性分析[J].统 计与信息论坛,2008,23(6):66—71. (责任编辑:王南丰J 31 统计与信息论坛 CommliSOnonTailDependenceBetweenSCIandSSTIBasedonCopulas WANGXiao-fang,XIEJin-jing (School0fEoon(~aicsandFinance,Xi’anJiaotongUniversity,Xi’an710061,China) Abstract:Accordingtoportfoliotheory,portfolioshouldbemadeinmoremarkets,henceitisimportantfor globalportfolioandriskmanagementtoresearchthetaildependencebetweentwostockmarkets.3stationary Copulaandtime—raringSJCCopulafunctionsandMLEbasedonranksareusedintaildependencestructure researchbetweenShanghaicompositeindexandSingapore’SStraitsIimesindex.?findevidencethattail dependencebetweentwomarketsisasymmetry.Thelowertaildependenceisstrongerthantheuppertail dependenceandtime—varyingSJCCopulafunctionisbetterthanother4stationaryCopulafunctions.By applyingSJCCopularnodd,wefindthattaildependencecoefficientvaluesar eexperiencingdynamicchangesand Showingarisingtrend. Keywords:haicompositeindex;SingaporeStraitsTimesindex;taildependen ce;time—varyingSJC Copula 投稿须知 《统计与信息论坛》是公开发行的统计类学术期刊.集学术性,实用性于一体,主要刊登有创新性,探索 性的学术论文.开设的栏目有:统计理论与方法,统计应用研究,统计调查与分析等.本刊被《中国学术期刊 (光盘版)》《中国期刊网》全文收录;在《万方数据—数字化期刊群》全文上网,被《中国核心期刊(遴选)数据 库》收录;加入《中文科技期刊数据库》.其作者着作权使用费连同本刊稿酬一次性付清,如不同意上网,请来 函声明,本刊将作适当处理.本刊严格执行《中国学术期刊(光盘版)检索与数据规范》,敬请作者在投稿 时注意以下事项: 1.投稿应附作者简介,包括姓名,出生年,性别,民族(汉族可省略),籍贯(如陕西省××市/县人),职称, 学历,研究方向,具体工作单位,邮编,通讯地址,电话,E—mail地址等. 2.摘要应详细说明论文的研究目的,采用的方法,结果,结论和创新之处.摘要应以提供内容梗概为目 的,不加评论和补充解释,简明,确切地记述论文重要内容.不能写成论文的提纲和引言,不要出现”本文” “文章”等字样.具有独立性和自含性,一般不超过200字. 3.基金项目产出的论文应注明基金项目全称,并在圆括号内注明其项目编号. 4.参考文献采用顺序编码制,文末列示的所有参考文献必须在正文引用,参考处按顺序用阿拉伯数字连 续编码,置于[]内以上标表示.参考文献要素要齐全. 欢迎新老作者积极为本刊投稿.投稿请将word文档作为附件,用电子邮件发至tjyxxlt@126.com.编 辑部地址:西安市小寨东路64号,西安财经学院《统计与信息论坛》编辑部,710061.电话:029—82348751. 请勿一稿多投,来稿不退,请自留底稿.三个月未见通知,作者可自行处理.稿件一经采用,即按规定邮 寄稿酬,并赠送样刊两册. 本刊编辑部 32