武汉艺考生文化课 武昌区华英艺考让你实现梦想2009年高考试题

武汉艺考生文化课 武昌区华英艺考让你实现梦想2009年高考试题 2222ABDMxyrr:(4)(0),，,,Eyx:,1. 如图，已知抛物线与圆相交于、、、四个点。 C BDP(I)求得取值范围; (II)当四边形的面积最大时，求对角线、的交点坐标 rABCDAC 2222Mxyrr:(4)(0),，,,Eyx:,分析:(I)这一问学生易下手。将抛物线与圆的方程联立，消 222y去，整理得((((((((((((((,) xxr,，,,7160 2222ABDMxyrr:(4)(0),，,,Eyx:,抛物线与圆相交于、、、四个点的充要条件是:C 15r,(,4)方程(,)有两个不相等的正根即可.易得.考生利用数形结合及函数和方程的思2 想来处理也可以( (II)考纲中明确提出不考查求两个圆锥曲线的交点的坐标。因此利用设而不求、整体代入的 方法处理本小题是一个较好的切入点( 设四个交点的坐标分别为Axx(,)、Bxx(,),、Cxx(,),、Dxx(,)。 11112222 152xxxxr，,,,7,16r,(,4))根据韦达定理有， 则由(I12122 1则 Sxxxxxxxx,,,,，,,，2||()||()211221122 2222？,，,，，,，,,Sxxxxxxxxrr[()4](2)(7216)(415) 12121212 2222Stt,，,(72)(72)令，则 下面求的最大值。 S16,,rt 方法一:利用三次均值求解。三次均值目前在两纲中虽不要求，但在处理一些最值问题有时很方 便。它的主要手段是配凑系数或常数，但要注意取等号的条件，这和二次均值类似。 122 Sttttt,，,,，，,(72)(72)(72)(72)(144)2 17272144128，，，，,ttt33 ,,,()()2323 157r,(,4) 当且仅当，即时取最大值。经检验此时满足题意。 t,72144，,,tt26 方法二:利用求导处理，这是命题人的意图。具体解法略。 PPPx(,0)下面来处理点的坐标。设点的坐标为: p xxx，7121,由三点共线，则得。 xxxt,,,APC、、p12xxxx,,6121p 以下略。 22yx1C，,,,1(0)abC3.已知椭圆:的右顶点为，过的焦点且垂直长轴的弦长为( A(1,0)1122ab (I)求椭圆C的方程; 1 2PPCyxhh,，,()RCC (II)设点在抛物线:上，在点处的切线与交于点(当线段MN,221 AP的中点与的中点的横坐标相等时，求的最小值( MNh b,1,2a,2,y,22，,x1解析:(I)由题意得所求的椭圆方程为， ,,？,,b4b,121,,,,a, 2,C(II)不妨设则抛物线在点P处的切线斜率为，直线MNyt,2MxyNxyPtth(,),(,),(,),，2xt,1122 2222ytxth,,，24(2)40xtxth，,，,,C的方程为，将上式代入椭圆的方程中，得，即122222414()()40，,,，,,,txtthxthC，因为直线MN与椭圆有两个不同的交点，所以有，，1 422，，,,,，，,，,162(2)40thth， 1，， 2xxtth，,()12x,,x设线段MN的中点的横坐标是，则， 33222(1)，t t，12tht，，，,(1)10xxx,设线段PA的中点的横坐标是，则，由题意得，即有，其中的x,43442 2或; ,,，,,？,(1)40,1hhh,,32 4222，，hh，,,,20,40,,,，，,，,162(2)40thth当时有，因此不等式不成立;因此，h,,3h,11，， 2tht，，，,(1)10当时代入方程得，将代入不等式ht,,,1,1h,1t,,1 422，，,,,，，,，,162(2)40thth成立，因此的最小值为1( h1，， 223xyx,Cab:1(0,0),,,,33、已知双曲线的离心率为，右准线方程为 223ab 22Pxyxy(,)(0),Oxy:2，,(?)求双曲线的方程;(?)设直线是圆上动点处的切线，Cll0000 与双曲线交于不同的两点AB,，证明的大小为定值. C，AOB 2,a3,,,222c3解法?由题意，得，解得， ?，?所求双曲线的方程为bca,,,2ac,,1,3C,c,,3,a, 2y2x,,1. 2 22xy，,2(?)点在圆上，圆在点处的切线方程为Pxyxy,0,Pxy,，，，，，，000000 2,y2xx,,1,220xy，,2xxyy，,2，化简得.由及得yyxx,,,,，，2,000000y0,xxyy，,200, 222202,,x344820xxxxx,,，,,，?切线与双曲线C交于不同的两点A、B，且， l，，0000 2222,,,,,,16434820xxx?，且， 340x,,，，，，0000 2482xx,00设A、B两点的坐标分别为，则， xyxy,,,xxxx，,,,，，，，11221212223434xx,,00 OAOB,1?，且， cos，,AOBOAOBxxyyxxxxxx,,，,，,,22，，，，12121201022yOAOB,0 2222，，xx82,，，828,xx1100200，，,,,，,，，xxxxxxxx42,，,，4，，1201201222222，，2,x3423434xxxx,,,,,,00000，， 228282,,xx:00.? 的大小为. 90,,,,0，AOB223434xx,,00 xoy7. 在平面直角坐标系中，抛物线C的顶点在原点，经过点A(2，2)，其焦点F在轴上。 x(1)求抛物线C的方程; (2)求过点F，且与直线OA垂直的直线的方程; (3)设过点的直线交抛物线C于D、E两点，ME=2DM，记D和EMmm(,0)(0), 两点间的距离为fm()，求fm()关于的达式。 m 22xy6，,18.设椭圆E: (a,b>0)过M(2，2) ，N(,1)两点，O为坐标原点， 22ab (I)求椭圆E的方程; (II)是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且OAOB,,若存在，写出该圆的方程，并求|AB |的取值范围，若不存在说明理由。 22xy6，,1解:(1)因为椭圆E: 2(a,b>0)过M(2，) ，N(,1)两点, 22ab 4211,,，,1,222222,,,a,8xy,,aba8，,1所以解得所以椭圆E的方程为 ,,,2611184b,4,,,，,1,222,,abb4,, (2)假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且 ykxm,，,,2222xkxm，，,2()8OAOB,,设该圆的切线方程为ykxm,，解方程组得,即,xy，,1,84, 222(12)4280，，，,,kxkmxm, 22222222164(12)(28)8(84)0kmkmkm,，,,,，,则?=,即 840km,，, 4km,xx，,,122,,，12k,,228m,,xx,122,12，k, 222222kmkmmk(28)48,,222要使yykxmkxmkxxkmxxmm,，，,，，，,,，,()()()12121212222121212，，，kkk 222288mmk,,22xxyy，,0,需使,即,所以,所以，,0OAOB,3880mk,,,1212221212，，kk 22,m,2262638m,82222m,,m,k,,0又,所以,所以,即或,因为840km,，,m,,2338338m,, 直线为圆心在原点的圆的一条切线,所以圆的半径为ykxm,， 22m26mm88222r,,,,所求的圆为,此时圆的切线r,r,,,xy，,222338m,13，k31，k1，8 262626m,,x,,m,都满足或,而当切线的斜率不存在时切线为与椭圆ykxm,，333 2226262626xy(,),(,),,，,1的两个交点为或满足OAOB,,综上, 存在圆心在原333384 822点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且OAOB,. xy，,3 4km,xx，,,122,,，12k因为, ,228m,,xx,122,12，k, 2224288(84)kmmkm,,，222()()4()4xxxxxx,,，,,,,，,所以, 12121222221212(12)，，，kkk 228(84)km,，22222 ||()(1)()(1)ABxxyykxxk,,，,,，,,，，，12121222(12)，k 4223245132kkk，，, ,,,，[1]424234413441kkkk，，，， 321?当时||[1]AB,， k,013244k，，2k 1112因为所以, 448k，，,0,,21k8244k，，2k 32321所以, ,，,[1]12133244k，，2k 24k,,所以当且仅当时取”=”. 6||23,,AB23 46||AB,? 当时,. k,03 2626262646(,),(,),,||AB, 当AB的斜率不存在时, 两个交点为或,所以此时, ?33333 44综上, |AB |的取值范围为即: 6||23,,AB||[6,23]AB,33222210.在平面直角坐标系中，已知圆和圆.xoyCxy:(3)(1)4，，,,Cxy:(4)(5)4,，,,12 C23(1)若直线过点，且被圆截得的弦长为，求直线A(4,0)l1 的方程;l (2)设P为平面上的点，满足:存在过点P的无穷多对互相垂 CClCll直的直线和，它们分别与圆和圆相交，且直线被圆121211 lC截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，试求所有满足条22 件的点P的坐标。 【解析】 本小题主要考查直线与圆的方程、点到直线的距离公式，考查数学运算求解能力、综合 分析问题的能力。满分16分。 (1)设直线的方程为:，即 ykx,,(4)kxyk,,,40l 2322C由垂径定理，得:圆心到直线的距离， ld,,,4()112 |314|,,,kk结合点到直线距离公式，得:,1, 2k，1 72化简得: 2470,0,,kkkork，,,,,24 7y,0y,0求直线的方程为:或，即或724280xy，,, lyx,,,(4) 24 ll(2) 设点P坐标为(,)mn，直线、的方程分别为: 12 111，即: ynkxmynxm,,,,,,,(),()kxynkmxynm,，,,,,，，,0,0kkk lClC因为直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，两圆半径相等。由垂径定理，得::1122 lClC圆心到直线与直线的距离相等。 1122 41|5|,,，，nm|31|,,，,knkmkk故有:， ,21k，1，12k 化简得: (2)3,(8)5,,,,,,，,，,mnkmnmnkmn或 20,,,mnm-n+8=0,,关于的方程有无穷多解，有: k,或,,mn,,,30m+n-5=0,, 31351解之得:点P坐标为或。 (,),(,),2222 2Cyx:,Axy(,)Bxy(,)xx,12.已知曲线与直线交于两点和，且(记曲线在lxy:20,，,CAABBAB ABLABDL点和点之间那一段与线段所围成的平面区域(含边界)为(设点是上的任一Pst(,) PAB点，且点与点和点均不重合( ABM(1)若点是线段的中点，试求线段的中点的轨迹方程; QPQ 51222D(2)若曲线与有公共点，试求的最小值( aGxaxyya:240,，,，，,25 152ABMy,xx,,1,x,2解:(1)联立与得，则中点，设线段的中点坐标y,x，2PQQ(,)AB22 15，s，t1522Px,,y,为，则，即s,2x,,t,2y,，又点在曲线上， (x,y)C2222 115122PLAB?化简可得，又点是上的任一点，且不与点和点重合，则2y,,(2x,)y,x,x，822 11151512M，即,,x,，?中点的轨迹方程为(,,x,). ,1,2x,,2y,x,x，448442 y xB xA D ox 51222(2)曲线， Gxaxyya:240,，,，，,25 49722E()(2)E(a,2)r,即圆:，其圆心坐标为，半径 x,a，y,,255 51222D0,a,2由图可知，当时，曲线与点有公共点; Gxaxyya:240,，,，，,25 51222DE当时，要使曲线与点有公共点，只需圆心到直线Gxaxyya:240,，,，，,a,025 |a,2，2||a|77272d,,,,,a,0,的距离，得，则的最小值为. alxy:20,，,55522 22xy,Pxy(,)，,,,1(0)abl13.点在椭圆上，直线与直线xayb,,,,cos,sin,0.,,,0020022ab2 xy00l,垂直，O为坐标原点，直线OP的倾斜角为，直线的倾斜角为. ,lxy:1，,2122ab 22xyPl，,1(I)证明: 点是椭圆与直线的唯一交点; 122ab (II)证明:构成等比数列. tan,tan,tan,,, 222xyxyb200解:(I)(方法一)由得代入椭圆，,1, xy，,1yaxx,,(),022222ababay0 2222bxbx21b200得. ()(1)0，,，,,xx24222aayayy000 xa,cos,,0222xaxa,,，,2coscos0,,,将代入上式,得从而 xa,cos.,,yb,sin,0, 22,xy，,1,22xx,,,0abl因此,方程组有唯一解,即直线与椭圆有唯一交点P. ,,1yy,xy0,00,xy，,122,ab, (cos,sin),02ab,,,,,,lll(方法二)显然P是椭圆与的交点，若Q是椭圆与的交点，代入的111111 cossin,,coscossinsin1,,,,,，,方程，得 ，,xy111ab cos()1,,,,,,,,,即故P与Q重合。 11 22xybb2222，,1(方法三)在第一象限内，由可得 yaxyax,,,,,,0022abaa 2bxbx00,kyx,,,,,(),椭圆在点P处的切线斜率 0222ayaax,00 2xxyybx000切线方程为即。 ，,1yxxy,,,，(),00222abay0 l因此，就是椭圆在点P处的切线。 1 l根据椭圆切线的性质，P是椭圆与直线的唯一交点。 1 22yxbyaba000ll(II)的斜率为的斜率为 tantan,,,,,,,tantan,,,,,1222xayaxbb000 2tantantan0,,,,,,由此得构成等比数列。 tan,tan,tan,,, 22xyyPxy(,),,116. 已知点为双曲线(为正常数)上b100228bb P2PFP任一点,为双曲线的右焦点,过作右准线的垂线,垂足为21AP1 AFAyP,连接并延长交轴于. 22FFOx12 PEPP(1)求线段的中点的轨迹的方程; 12 EE(2)设轨迹与轴交于两点,在上任取一点xBD、 Qxyy(),(0),y,直线分别交轴于两点.求证:以为直径的圆过两定点. QBQD，MN，MN111 3y80FA解: (1) 由已知得,则直线的方程为:, yxb,,,(3)FbAby(，)，(，)30220b3 yy,9Py(0,9) 令得,即, x,0020 x,0xx,2x, ,22220,xy4xy,,200,,1,,1设,则,即代入得:, Pxy(，),y,2222yy，98bb825bby,000,,yy,,505,,,2 22xyPE,,1即的轨迹的方程为. 22225bb 22xy22,,1BbDb(，)，(，)-2020(2) 在中令得,则不妨设, y,0xb,222225bb yy11yxb,，(2)yxb,(-2)于是直线的方程为:,直线的方程为:, QBQDxb，2xb-2112-2byby11则, MN(，)，(，)00 xbxb，2-211 22byby211则以为直径的圆的方程为: , xyy，，,()()-0MN xbxb，2-211 2222xy22by22221Qxy(),,,1令y,0得:,而在上,则, x,xby,,211112222225bbxb,2251 于是,即以为直径的圆过两定点(5,0),(5,0),bb. xb,,5MN 2ypxp,,2(0)18.过抛物线的对称轴上一点的直线与抛物线相交于M、N两点，自M、Aaa,00,，，，， pMNAMANN向直线作垂线，垂足分别为、。(?)当时，求证:?; a,lxa:,,11112 ,AMM,AMN,ANNSSS(?)记、 、的面积分别为、、，是否存在，使得对任意的，,a,01111123 2都有成立。若存在，求出的值;若不存在，说明理由。 ,SSS,,212 xmyaMxyNxy,，,(,),(,)，则有 解:依题意，可设直线MN的方程为1122MayNay(,),(,),, 12 xmya,，,2ympyap,,,220由消去x可得 ,2ypx,2, yymp，,2,12从而有 ? ,yyap,,212, 2于是 ? xxmyyampa，,，，,，()22()1212 22()yy(2),ap22212xxa,,,ypx,2又由，可得 ? ypx,21212221144pp ppp(?)如图1，当时，点即为抛物线的焦点，为其准线x,, A(,0)a,l222 PP2此时 ?可得 MyNy(,),(,),,,并由yyp,,11121222 uuuuvuuuv 证法1: QAMpyANpy,,,,(,),(,)1112 uuuuvuuuv222？,,，,,,,AMANpyyppAMAN0,即111211 yy12,,QKK,,,,AMAN11证法2: pp 2yyp121,？,,,,,,,KKAMAN即. AMAN112211pp 2SSS,4(?)存在，使得对任意的，都有成立，证明如下: ,,4a,0213 A证法1:记直线与x轴的交点为,则。于是有 OAOAa,,l11 11SMMAMxay,,,,，()11111122 1SMNAAayy,,,,,2111122 11SNNANxay,,,,，()31112222 22？,,,,，,，SSSayyxayxay4()()()213121122 222,，,,，，，ayyyyxxaxxayy[()4][()]1212121212 将?、?、?代入上式化简可得 2222222ampapapampaapmpa(48)2(24)4(2)，,，,， 2aSSS,,0,4上式恒成立，即对任意成立 213 2yyapypx,,,2,2MNNM,证法2:如图2，连接,则由可得 111211 ypypyy222p1222MNKK,,,,,,,所以直线经过原点O， 1OMON1xyyyapa,,21112 NM同理可证直线也经过原点O 1 又设则 OAOAa,,MAhNAhMMdNNd,,,,,,,,11111121112 111 SdhSahhahhSdh,,,，,，,,2()(),.11121212322222 223xyABCab:1(0)，,,,20. 已知椭圆的离心率为，过右焦点F的直线与相交于、两点，lC223ab 2当的斜率为1时，坐标原点到的距离为 lOl2 (I)求，的值; ab OPOAOB,， (II)上是否存在点P，使得当绕F转到某一位置时，有成立, Cl若存在，求出所有的P的坐标与的方程;若不存在，说明理由。 l 2解:(I)设Fc(,0)，直线lxyc:0,,,，由坐标原点到的距离为 Ol2 c3|00|2,,ceab,,？,,,3,2 则，解得.又. ,c,1a322 22xyBAxy(,)C:1，,(,)xy(II)由(I)知椭圆的方程为.设、 112232 lxmy:1,，由题意知的斜率为一定不为0，故不妨设 l 22(23)440mymy，，,,代入椭圆的方程中整理得，显然。 ,,0 4m4由韦达定理有:((((((((? yy，,,,yy,,,12122223m，23m， .假设存在点P，使成立，则其充要条件为: OPOAOB,， 22()()xxyy，，1212P(,)的坐标为xxyy，，点，点P在椭圆上，即，,1。 121232 2222整理得。 2323466xyxyxxyy，，，，，,11221212 2222又在椭圆上，即. 236,236xyxy，,，,AB、1122 2330xxyy，，,故((((((((((((((((((((((((((((((((? 1212 122将及?代入?解得 xxmymymyymyy,，，,，，，(1)(1)()1m,121212122 2223243mxx，？，,,yy或P(,),,=,，,2,即. 121222222232m， 2322mPlxy,,,，时,(,),:1当; 2222 2322mPlxy,,,,，时,(,),:1当. 2222 2x2y,22. 已知A,B 分别为曲线C: +=1(y0,a>0)与x轴 2a 的左、右两个交点，直线过点B,且与轴垂直，S为上 xll 异于点B的一点，连结AS交曲线C于点T. AB(1)若曲线C为半圆，点T为圆弧的三等分点，试求出点S的坐标; (II)如图，点M是以SB为直径的圆与线段TB的交点，试问:是否存在,使得O,M,S三点共线,a若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由。 19.【解析】 解法一: (?)当曲线C为半圆时，如图，由点T为圆弧AB的三等分点得?BOT=60?或120?. a,1, (1)当?BOT=60?时, ?SAE=30?. ,,,,又AB=2,故在?SAE中,有 SBABst,,:,？tan30,(,);,, 23(1,23) (2)当?BOT=120?时,同理可求得点S的坐标为,综上, S(1,)或S(1,23)3(?)假设存在,使得O,M,S三点共线. aa(0), BTOS,由于点M在以SB为直线的圆上,故. 显然,直线AS的斜率k存在且k>0,可设直线AS的方程为. ykxa,，() 2,x2，,y1,222224222由 得(1)20，，，,,akxakxakaa, ,ykxa,，(), 222aka,(,),(),Txyxa？,,,设点 TTT221，ak 22aak,2akx,故,从而. ykxa,，,()TTT22221，ak1，ak 22aakak,2T(,).亦即 222211，，akak 22,22akakBaBT(,0),((,))？, 222211，，akak xa,,saakOSaak(,2),(,2).？,由得 ,ykxa,，(), 2222,，24akak2222BTOS,BTOS,,,0由,可得即 ,，,240akak212，ak kaa,,？,0,0,2 经检验,当时,O,M,S三点共线. 故存在,使得O,M,S三点共线. a,2a,2解法二: ?)同解法一. ( (?)假设存在a,使得O,M,S三点共线. SMBT,故由于点M在以SO为直径的圆上,. 显然,直线AS的斜率k存在且K>0,可设直线AS的方程为 ykxa,，() 2,x2，,y1,222222222由 得(1)20，，，,,abxakxakaa, ,ykxa,，(), 422aka,().xa,,,设点Txy(,),则有 TTT221，ak 2222aakakaakak,,22xykxaT,,，,,,()().从而亦即故 TTT22222222aakakakak，，，，111 y12T Bakkak(,0),,？,,,,故BTSM2xaak,T xa,,2得S(a,2ak),yakakxa,,,2()由所直线SM的方程为 ,ykxa,，(), 22()akaka,,O,S,M三点共线当且仅当O在直线SM上,即. aKa,,？,0,0,2 故存在,使得O,M,S三点共线. a,2 324.已知，椭圆C过点A，两个焦点为(,1，0)，(1，0)。 (1,)2 (1) 求椭圆C的方程; (2) E,F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的 斜率为定值，并求出这个定值。 (20)解: 19322(?)由题意，c=1,可设椭圆方程为，解得，(舍去) b,3b,,，,122414，bb 22xy，,1所以椭圆方程为。 ……………4分 43 22xy3，,1(?)设直线AE方程为:，代入得 ykx,,，(1)432 3222 (34)4(32)4()120，，,，,,,kxkkxk2 3E(x,y)F(x,y) 设,,因为点在椭圆上，所以 A(1,)EEFF2 324()12,,k2,x F2，k34 3 ………8分 ykxk,，,EE2 又直线AF的斜率与AE的斜率互为相反数，在上式中以—K代K，可得 32，,k4()122x, F2，k34 3 ykxk,,，，EE2 yykxxk,,，，()21FEFEK,,,所以直线EF的斜率 EFxxxx,,2FEFE 1即直线EF的斜率为定值，其值为。 ……12分 2 25.已知椭圆C的中心为直角坐标系xOy的原点，焦点在s轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离 分别是7和1. (?)求椭圆C的方程; OP(?)若P为椭圆C上的动点，M为过P且垂直于x轴的直线上的点，=λ，求点M的轨迹方OM程，并说明轨迹是什么曲线。 解:(?)设椭圆长半轴长及半焦距分别为ac，，由已知得 ac,,1,， ,4,3解得ac,,,ac，,7, 22xy所以椭圆的标准方程为，,1 C167 2OP2P(?)设，其中。由已知及点在椭圆上可得 Mxy(,),,x,,4,4C,,2OM 29112x，2,,。 2216()xy， 2222(169)16112,,,，,xy整理得，其中。 x,,4,4,, 329112y,(i)时。化简得 ,,4 47Myx,,,,,(44)所以点的轨迹方程为，轨迹是两条平行于轴的线段。 x3 223xy(ii)时，方程变形为，其中 ,,x,,4,4，,1,,112112422,,16916, 3My当时，点的轨迹为中心在原点、实轴在轴上的双曲线满足的部分。 ,,,0,,,44x4 3M当时，点的轨迹为中心在原点、长轴在轴上的椭圆满足的部分; x,,,1,,,44x4 M当时，点的轨迹为中心在原点、长轴在轴上的椭圆; x,,1 22525yxe,,,,,1(0,0)ab27.已知双曲线C的方程为，离心率，顶点到渐近线的距离为。 2225ab (I)求双曲线C的方程; (II)如图，P是双曲线C上一点，A，B两点在双曲线C的两条渐近线上，且分别位于第一、二象 1限，若，求面积的取值范围。 ,,,,APPB,[,2],AOB3 28((本小题满分14分) 22yx,,,,1(0,0),ab已知双曲线C的方程为 22ab 525e,,.离心率顶点到渐近线的距离为 25 (?)求双曲线C的方程; (?)如图，P是双曲线C上一点，A,B两点在双曲线C的两条渐近线上，且分别位于第一，二 1象限.若求?AOB面积的取值范围. ,,,,APPB,[,2],3 25axby,,0的距离为，解答一(?)由题意知，双曲线C的顶点(,)Oa到渐近线 5 abab2525? ,,,,即2255cab， ,ab25,a,2,,,,c5,,2b,1,,,c5y,2,,,,x1.由 得 ?双曲线C的方程为 ,,a24,c,5,222,,cab,， ,,, (?)由(?)知双曲线C的两条渐近线方程为yx,,2. 设AmmBnnmn(,2),(,2),0,0.,,, mnmn,，,,2()由APPB,,得P点的坐标为 (,),11，，,, 22y(1)，,n2,,x1,mn,.将P点坐标代入化简得 44, ,114设?AOB ,,,？,,,2,tan()2,tan,sin,sin2.,,,,,2225 又 ,||5||5OAmOBn,,4， 111,,？,,,，，SOAOBmn||||sin22()1.AOB22, 111,,,,，，,S()()1,[,2],记 23, 189由 ,,,,,,得又S(1)=2,S(SS'()01,),(2),334 18当时，?AOB的面积取得最小值2，当时，?AOB的面积取得最大值??AOB面积的取,,,,13.3 8值范围是 [2,].3 解答二(?)同解答一 (?)设直线AB的方程为ykxm,，,||2,0.km,,由题意知 ykxm,，mm2 由{ 得A点的坐标为 (,),yx,222,,kk ykxm,，,mm2 由{ 得B点的坐标为 (,).yx,,222，，kk mm121,, 由得P点的坐标为 APPB,,,，((),()),，,，，,，122122kkkk,, 222ym4(1)，,2 将P点坐标代入 ,,,x1.得244,k, 设Q为直线AB与y轴的交点，则Q点的坐标为(0，m). 111 SSSOQXAOQxmxAxB,,,，,,|||||||8|()AOBAOQBOQ222 211411mmm，,,，，, =m()()1.2,，,222242kkk, 以下同解答一. 33.在平面直角坐标系xOy中，点P到点F(3，0)的距离的4倍与它到直线x=2的距离的3倍之和记为d，当P点运动时，d恒等于点P的横坐标与18之和 (?)求点P的轨迹C; (?)设过点F的直线I与轨迹C相交于M，N两点，求线段MN长度的最大值。 22dxy,,,，4(3) 解(?)设点P的坐标为(x，y)，则3,x-2, 由题设 122当x>2时，由?得 (3)6,xyx,，,,2 22xy，,1. 化简得 3627 22(3)3,，，,，xyx当时 由?得 x,2 2yx,12 化简得 22xyC:1，,故点P的轨迹C是椭圆在直线x=2的右侧部分与抛13627 2Cyx:12,物线在直线x=2的左侧部分(包括它与直线x=2的交点)所组成的曲线，参见图1 2 CC26(?)如图2所示，易知直线x=2与，的交点都是A(2，)， 12 kk,26,2626B(2，)，直线AF，BF的斜率分别为=，=. AFBF C上时，由?知 当点P在1 1. ? PFx,,62 C当点P在上时，由?知 2 ? PFx,，3 若直线l的斜率k存在，则直线l的方程为ykx,,(3) xkk6xy(i)当k?，或k?，即k?-2 时，直线I与轨迹C的两个交点M(，)，N(，AFBF112 y)都在C 上，此时由?知 12 11xx?MF?= 6 - ?NF?= 6 - 1222 111xxxx从而?MN?= ?MF?+ ?NF?= (6 - )+ (6 - )=12 - ( +) 1122222ykx,,(3),,222222(34)24361080，,，,,kxkxkxy由 得 则，是这个方程的两根，所以,11xy，,1,3627, 2224k12k1xxxx+=*?MN?=12 - (+)=12 - 11222234，k34，k2 2因为当 kk,,,26,6,24,或k2时 21212100k MN,,,,,1212.213411，k，42k k,,26时，等号成立。 当且仅当 MxyNxy(,),(,)(2)当时，直线L与轨迹C的两个交点 分别在kkkk,,,,,,26261122AEAN 1MCCC,C上，不妨设点在上，点上，则??知， MFxNFx,,,，6,31212122 (,),,2.xyxxx则,,C设直线AF与椭圆的另一交点为E 100012 11 MFxxEFNFxAF,,,,,,，,，,66,33210222 C 所以。而点A，E都在上，且 MNMFNFEFAFAE,，,，,1 100100 有(1)知 k,,26,AEMN,,,所以AE1111 xx的斜率不存在，则==3，此时 若直线,12 1100 MNxx,,，,,12()912211 100综上所述，线段MN长度的最大值为 11 222xyaFcFcc(,0)(,0)(0),,和，,,,1(0)abE(,0)35. 以知椭圆的两个焦点分别为，过点的直线1222abc 与椭圆相交与两点，且。 AB,FAFBFAFB//,2,1212 (1) 求椭圆的离心率; (2) 求直线AB的斜率; ,AFCFB(3) 设点C与点A关于坐标原点对称，直线上有一点在的外接圆Hmnm(,)(0),21 n上，求的值 m 2a,cEFFB1122cFAFB解:由//且，得，从而 FA2FB,,,,12122EFFA2a211，cc c322e,, 整理，得，故离心率 ac,3a3 2222222236xyc，,(I) 解:由(I)得，所以椭圆的方程可写为 bacc,,,2 2,,a 设直线AB的方程为，即ykxc,,(3). ykx,,,,c,, ykxc,,(3),AxyBxy(,),(,) 由已知设，则它们的坐标满足方程组 ,1122222236xyc，,, 222222(23)182760，,，,,kxkcxkcc消去y整理，得. 3322,,,,,,,48(13)0ckk，得依题意， 33 218kc而 xx，, ? 12223，k 22c276kcc, ? xx,12223，k 由题设知，点B为线段AE的中点，所以 xcx，,32 ? 12 2292kcc,92kcc，x,联立??解得x,， 212223，k23，k 2xx,k,,将代入?中，解得. 123 3c(III)解法一:由(II)可知 xx,,0,122 2Ac(0,2)Cc(0,2),k,,当时，得，由已知得. 3 22c,,AF线段的垂直平分线l的方程为直线l与x轴 ycx,,,，1,,222,, 22ccc,,,,,,2,0,AFCx,，,，yc的交点是外接圆的圆心，因此外接圆的方程为. 1,,,,,,222,,,,,, yxc,,2()FB直线的方程为，于是点H(m，n)的坐标满足方程组 2 52,2,cc9mc,,,2,mn,，,n22,3,,,,m,0, ， 由解得故 24,,,,m522,,nc,nmc,,2(),,3, 2n22k,,,当时，同理可得. 3m5 3c解法二:由(II)可知 xx,,0,122 2Ac(0,2)Cc(0,2),k,,当时，得,由已知得 3 ,AFCF由椭圆的对称性可知B，，C三点共线，因为点H(m，n)在的外接圆上， 21 FAFB//AFCH，所以四边形为等腰梯形. 且121 yxc,,2()(,22)mmc,FB 由直线的方程为,知点H的坐标为. 2 5222因为，所以，解得m=c(舍)，或. AHCF,mc,mmcca，,,,(222)13 22n22,nc,则，所以. m53 2n22k,,,当时同理可得 3m5 222xyFF,e,，,,,1(0)ab36.已知椭圆的左右焦点分别为，离心率，右准线方程为。 x,21222ab (I)求椭圆的标准方程; 226FFMFN，,(II)过点的直线与该椭圆交于两点，且，求直线的方程。 MN,ll1223 c2, {a22解:(?)有条件有，解得a2c=1,，。 a,2 c22 。 ？,,,bac1 2x2，,y1 所以，所求椭圆的方程为。…………………………………4分 2 F(1,0),F(，)10(?)由(?)知、。 12 若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x=-1. 2y,, 将x=-1代入椭圆方程得。 2 22N(，),,1M(1,), 不妨设、， 22 uuuuvuuuv22？，,,，,,,,FMFN(2,)(2,)(4,0) . 2222 uuuuvuuuv ？，,FMFN4,与题设矛盾。 22 直线l的斜率存在。 ？ 设直线l的斜率为k，则直线的方程为y=k(x+1)。 M(xy)，Nxy(,)、， 设1122 2x2，,y1 22222{(12)4220，，，,,kxkxk联立，消y得。 y=k(x+1) 2,4k2kxx，,由根与系数的关系知，从而， yykxx，,，，,(2)1212122212，k12，k 又，， FMxy,,(1,)FNxy,,(1,)211222 。 ？，,，,，FMFNxxyy(2,)221212 222 ？，,，,，，FMFNxxyy(2)()221212 2822kk，22,，()() 221212，，kk 424(1691)kk，，, 42441kk，， 424(1691)226kk，，2？,()。 424413kk，， 42化简得 4023170kk,,, 1722解得 kk,,,1或者40 ？,,k1. ？,，,,,所求直线的方程为或者lyxyx11 2vx2ek,(1,)cy:1,,,38.已知双曲线设过点的直线l的方向向量 A(32,0),2 (1) 当直线l与双曲线C的一条渐近线m平行时，求直线l的方程及l与m的距离; 26(2) 证明:当>时，在双曲线C的右支上不存在点Q，使之到直线l的距离为。 k2 xmy:20............2,,分解:(1)双曲线C的渐近线 2 直线l的方程………………..6分 ？xy,，,2320 32直线l与m的距离……….8分 d,,6 12， (2)设过原点且平行与l的直线 bkxy:0,, 32k则直线l与b的距离 d,21，k 2kd,,时，6当 2 xy,,20又双曲线C的渐近线为 双曲线C的右支在直线b的右下方， ？ 6？双曲线右支上的任意点到直线的距离为。 Cl 6故在双曲线的右支上不存在点，使之到直线的距离为。 QCl (,)xy6[ 证法二] 双曲线的右支上存在点到直线的距离为， QCl00,kxy,，3200,,6,(1)则 2,1，k,xy,,22,(2)00, 2ykxkk,，,，3261由(1)得， 00 2设t, 3261kk,， 22k,当，t,,0………………………………..13分 3261kk,，2 222ykxt,，将 代入(2)得 (*) (12)42(1)0,,,，,kxktxt0000 222ktkktt,,？,,,,,，,,0,120,40,2(1)0 2 ？方程(*)不存在正根，即假设不成立 6故在双曲线C的右支上不存在Q，使之到直线l 的距离为…………….16分 433Me,y,40.已知以原点为中心的椭圆的一条准线方程为，离心率，是椭圆上的动点( O23 CD,(?)若的坐标分别是，求的最大值; MCMD(0,3),(0,3), 22ABMxy，,1(?)如题(20)图，点的坐标为，是圆上的点，是点在轴上的射(1,0)xN POQOMON,，QABA,0影，点满足条件:，(求线段的中点的轨迹方程; QQB 22xy，,1解:(?)由题设条件知焦点在y轴上，故设椭圆方程为(a ,b, 0 ). 22ab 433c322e,,y,3 设，由准线方程得.由得，解得 a = 2 ,c = ，从cab,,2a23 2y2x，,1而 b = 1，椭圆方程为 . 4 2y2x，,1 又易知C，D两点是椭圆的焦点，所以, MCMDa，,,244 MCMD，22MCMD,,,,()24 从而，当且仅当，即点M的坐标为 时(1,0),MCMD,2 上式取等号，的最大值为4 . MCMD, M(,),(,)xyBxy(II)如图(20)图，设 mmBB Qxy(,) .因为，故 NxOMONOQ(,0),，,QQN xxyy,,2,,QNQM 222y ? xyxy，,，,(2)4QQM QABA,,0, 因为 (1)(1),,,,,xyxyQQNn ,,,，,(1)(1)0,xxyyQNQN 所以 . ? xxyyxx，,，,1QNQNNQ (,)xy记P点的坐标为，因为P是BQ的中点 PP所以 2,2xxxyyy,，,，PQPPQP 22xy，,1由因为 ，结合?，?得 NN 12222 xyxxyy，,，，，(()())PPQNQN4 12222 ,，，，，，xxyyxxyy(2())QNQnQNQN4 1 ,，，,xx(52(1))QN4 3 ,，xP4 故动点P的估计方程为 122 ()1xy,，,2