平行四边形练习题及答案

20.1 平行四边形的判定 一、选择题     1．四边形ABCD，从（1）AB∥CD；（2）AB=CD；（3）BC∥AD；（4）BC=AD这四个条件中任选两个，其中能使四边形ABCD是平行四边形的选法有（  ）     A．3种    B．4种    C．5种    D．6种     2．四边形的四条边长分别是a，b，c，d，其中a，b为一组对边边长，c，d为另一组对边边长且满足a2+b2+c2+d2=2ab+2cd，则这个四边形是（  ）     A．任意四边形          B．平行四边形     C．对角线相等的四边形  D．对角线垂直的四边形     3．下列说法正确的是（  ）     A．若一个四边形的一条对角线平分另一条对角线，则这个四边形是平行四边形     B．对角线互相平分的四边形一定是平行四边形     C．一组对边相等的四边形是平行四边形     D．有两个角相等的四边形是平行四边形     二、填空题     4．在□ABCD中，点E，F分别是线段AD，BC上的两动点，点E从点A向D运动，点F从C向B运动，点E的速度m与点F的速度n满足_______关系时，四边形BFDE为平行四边形． 5．如图1所示，平行四边形ABCD中，E，F分别为AD，BC边上的一点，连结EF，若再增加一个条件_______，就可以推出BE=DF．                                 图1                          图2     6．如图2所示，AO=OC，BD=16cm，则当OB=_____cm时，四边形ABCD是平行四边形．   三、解答题 7．如图所示，四边形ABCD中，对角线BD=4，一边长AB=5，其余各边长用含有未知数x的代数式表示，且AD⊥BD于点D，BD⊥BC于点B．问：四边形ABCD是平行四边形吗？为什么？   四、思考题 8．如图所示，在□ABCD中，E，F是对角线AC上的两点，且AF=CE，则线段DE与BF的长度相等吗？                                 参考 一、1．B  点拨：可选择条件（1）（3）或（2）（4）或（1）（2）或（3）（4）． 故有4种选法． 2．B  点拨：a2+b2+c2+d2=2ab+2cd即（a-b）2+（c-d）2=0， 即（a-b）2=0且（c-d）2=0．所以a=b，c=d，即两组对边分别相等， 所以四边形为平行四边形．     3．B  点拨：熟练掌握平行四边形的判定定理是解答这类题目的关键．     二、4．相等  点拨：利用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”来确定．     5．AE=CF  点拨：本题答案不惟一，只要增加的条件能使四边形EBFD是平行四边形即可．     6．8  点拨：根据对角线互相平分的四边形为平行四边形来进行判别． 三、7．解：如图所示，四边形ABCD是平行四边形．理由如下： 在Rt△BCD中，根据勾股定理，得BC2+BD2=DC2， 即（x-5）2+42=（x-3）2，解得x=8． 所以AD=11-8=3，BC=x-5=3，DC=x-3=8-3=5， 所以AD=BC，AB=DC．所以四边形ABCD是平行四边形．     点拨：本题主要告诉的是线段的长度，故只要说明AD=BC，AB=DC即可，本题也可在Rt△ABD中求x的值． 四、8．解：线段DE与BF的长度相等；连结BD交AC于O点，连结DF，BE， 如图所示．在ABCD中，DO=OB，AO=OC，又因为AF=EC， 所以AF-AO=CE-OC，即OF=OE，所以四边形DEBF是平行四边形，所以DE=BF．     点拨：本题若用三角形全等，也可以解答，但过程复杂，学了平行四边形性质后，要学会应用． 20.2 矩形的判定     一、选择题     1．矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（  ）     A．对角相等      B．对边相等    C．对角线相等    D．对角线互相垂直     2．下列叙述中能判定四边形是矩形的个数是（  ）     ①对角线互相平分的四边形；②对角线相等的四边形；③对角线相等的平行四边形；④对角线互相平分且相等的四边形．     A．1            B．2            C．3          D．4 3．下列命题中，正确的是（  ）    A．有一个角是直角的四边形是矩形            B．三个角是直角的多边形是矩形     C．两条对角线互相垂直且相等的四边形是矩形  D．有三个角是直角的四边形是矩形     二、填空题 4．如图1所示，矩形ABCD中的两条对角线相交于点O，∠AOD=120°，AB=4cm，则矩形的对角线的长为_____．                           图1                              图2     5．若四边形ABCD的对角线AC，BD相等，且互相平分于点O，则四边形ABCD是_____形，若∠AOB=60°，那么AB：AC=______． 6．如图2所示，已知矩形ABCD周长为24cm，对角线交于点O，OE⊥DC于点E，OF⊥AD于点F，OF-OE=2cm，则AB=______，BC=______． 三、解答题 7．如图所示，□ABCD的四个内角的平分线分别相交于E，F，G，H两点，试说明四边形EFGH是矩形．     四、思考题 8．如图所示，△ABC中，CE，CF分别平分∠ACB和它的邻补角∠ACD．AE⊥CE于E，AF⊥CF于F，直线EF分别交AB，AC于M，N两点，则四边形AECF是矩形吗？为什么？                                       参考答案     一、1．C  点拨：A与B都是平行四边形的性质，而D是一般矩形与平行四边形都不具有的性质．     2．B  点拨：③是矩形的判定定理；④中对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线相等的平行四边形是矩形，故④能判定矩形，应选B．     3．D  点拨：选项D是矩形的判定定理．     二、4．8cm     5．矩；1：2  点拨：利用对角线互相平分来判定此四边形是平行四边形，再根据对角线相等来判定此平行四边形是矩形．由矩形的对角线相等且互相平分，可知△AOB是等腰三角形，又因为∠AOB=60°，所以AB=AO=AC．     6．8cm；4cm 三、7．解：在□ABCD中，因为AD∥BC，所以∠DAB+∠CBA=180°， 又因为∠HAB=∠DAB，∠HBA=∠CBA． 所以∠HAB+∠HBA=90°，所以∠H=90°． 同理可求得∠HEF=∠F=∠FGH=90°， 所以四边形EFGH是矩形．     点拨：由于“两直线平行，同旁内角的平分线互相垂直”，所以很容易求出四边形EFGH的四个角都是直角，从而求得四边形EFGH是矩形． 四、8．解：四边形AECF是矩形．理由：因为CE平分∠ACB，CF平分∠ACD， 所以∠ACE=∠ACB，∠ACF=∠ACD．所以∠ECF=（∠ACB+∠ACD）=90°． 又因为AE⊥CE，AF⊥CF，所以∠AEC=∠AFC=90°，所以四边形AECF是矩形．  点拨：本题是通过证四边形中三个角为直角得出结论．还可以通过证其为平行四边形，再证有一个角为直角得出结论．                   20.3 菱形的判定 一、选择题     1．下列四边形中不一定为菱形的是（  ）     A．对角线相等的平行四边形        B．每条对角线平分一组对角的四边形     C．对角线互相垂直的平行四边形    D．用两个全等的等边三角形拼成的四边形     2．四个点A，B，C，D在同一平面内，从①AB∥CD；②AB=CD；③AC⊥BD；④AD=BC；⑤AD∥BC．这5个条件中任选三个，能使四边形ABCD是菱形的选法有（  ）．     A．1种            B．2种      C．3种      D．4种     3．菱形的周长为32cm，一个内角的度数是60°，则两条对角线的长分别是（  ） A．8cm和4cm    B．4cm和8cm    C．8cm和8cm    D．4cm和4cm     二、填空题 4．如图1所示，已知□ABCD，AC，BD相交于点O，添加一个条件使平行四边形为菱形，添加的条件为________．（只写出符合要求的一个即可）                               图1                        图2     5．如图2所示，D，E，F分别是△ABC的边BC，CA，AB上的点，且DE∥AB，DF∥CA，要使四边形AFDE是菱形，则要增加的条件是________．（只写出符合要求的一个即可）     6．菱形ABCD的周长为48cm，∠BAD：∠ABC=1：2，则BD=_____，菱形的面积是______． 7．在菱形ABCD中，AB=4，AB边上的高DE垂直平分边AB，则BD=_____，AC=_____．   三、解答题 8．如图所示，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB=CD=BC，四边形ABCD是菱形吗？说明理由．   四、思考题 9．如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，PD∥AC，PC∥BD，PD，PC相交于点P，四边形PCOD是菱形吗？试说明理由．                           参考答案     一、1．A  点拨：本题用排除法作答．     2．D  点拨：根据菱形的判定方法判断，注意不要漏解． 3．C  点拨：如图所示，若∠ABC=60°，则△ABC为等边三角形， 所以AC=AB=×32=8（cm），AO=AC=4cm． 因为AC⊥BD， 在Rt△AOB中，由勾股定理，得OB==4（cm）， 所以BD=2OB=8cm．     二、4．AB=BC  点拨：还可添加AC⊥BD或∠ABD=∠CBD等．     5．点D在∠BAC的平分线上（或AE=AF） 6．12cm；72cm2  点拨：如图所示，过D作DE⊥AB于E， 因为AD∥BC，所以∠BAD+∠ABC=180°． 又因为∠BAD：∠ABC=1：2，所以∠BAD=60°， 因为AB=AD，所以△ABD是等边三角形，所以BD=AD=12cm．所以AE=6cm． 在Rt△AED中，由勾股定理，得AE2+ED2=AD2，62+ED2=122，所以ED2=108， 所以ED=6cm，所以S菱形ABCD=12×6=72（cm2）． 7．4；4  点拨：如图所示，因为DE垂直平分AB， 又因为DA=AB，所以DA=DB=4．所以△ABD是等边三角形，所以∠BAD=60°， 由已知可得AE=2．在Rt△AED中，AE2+DE2=AD2，即22+DE2=42，所以DE2=12， 所以DE=2，因为AC·BD=AB·DE，即AC·4=4×2，所以AC=4． 三、8．解：四边形ABCD是菱形，因为四边形ABCD中，AB∥CD，且AB=CD， 所以四边形ABCD是平行四边形，又因为AB=BC，所以ABCD是菱形．  点拨：根据已知条件，不难得出四边形ABCD为平行四边形，又AB=BC，即一组邻边相等，由菱形的定义可以判别该四边形为菱形． 四、9．解：四边形PCOD是菱形．理由如下： 因为PD∥OC，PC∥OD，所以四边形PCOD是平行四边形． 又因为四边形ABCD是矩形，所以OC=OD， 所以平行四边形PCOD是菱形． 20.4 正方形的判定 一、选择题     1．下列命题正确的是（  ）     A．两条对角线互相平分且相等的四边形是菱形     B．两条对角线互相平分且垂直的四边形是矩形     C．两条对角线互相垂直，平分且相等的四边形是正方形     D．一组邻边相等的平行四边形是正方形     2．矩形四条内角平分线能围成一个（  ） A．平行四边形    B．矩形    C．菱形  D．正方形     二、填空题     3．已知点D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，连结DE，EF，要使四边形ADEF是正方形，还需要添加条件_______． 4．如图1所示，直线L过正方形ABCD的顶点B，点A，C到直线L的距离分别是1和2，则正方形ABCD的边长是_______．                       图1                        图2                  图3     5．如图2所示，四边形ABCD是正方形，点E在BC的延长线上，BE=BD且AB=2cm，则∠E的度数是______，BE的长度为____． 6．如图3所示，正方形ABCD的边长为4，E为BC上一点，BE=1，F为AB上一点，AF=2，P为AC上一动点，则当PF+PE取最小值时，PF+PE=______．     三、解答题 7．如图所示，在Rt△ABC中，CF为∠ACB的平分线，FD⊥AC于D，FE⊥BC于点E，试说明四边形CDFE是正方形．     四、思考题     8．已知如图所示，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC边上的点，且AE=BF，请问：     （1）AF与DE相等吗？为什么？ （2）AF与DE是否垂直？说明你的理由．                               参考答案     一、1．C  点拨：对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，对角线相等的平行四边形是矩形，既是菱形又是矩形的四边形一定是正方形，故选C．     2．D  点拨：由题意画出图形后，利用“一组邻边相等的矩形是正方形”来判定．     二、3．△ABC是等腰直角三角形且∠BAC=90°     点拨：还可添加△ABC是等腰三角形且四边形ADEF是矩形或∠BAC=90°且四边形ADEF是菱形等条件．     4．  点拨：观察图形易得两直角三角形全等，由全等三角形的性质和勾股定理得正方形的边长为=． 5．67.5°；2cm  点拨：因为BD是正方形ABCD的对角线， 所以∠DBC=45°，AD=AB=2cm． 在Rt△BAD中，由勾股定理得AD2+AB2=BD2，即22+22=BD2， 所以BD=2cm，所以BE=BD=2（cm）， 又因为BE=BD，所以∠E=∠EDB=（180°-45°）=67.5°． 6．  点拨：如图所示，作F关于AC的对称点G．连结EG交AC于P， 则PF+PE=PG+PE=GE为最短．过E作EH⊥AD． 在Rt△GHE中，HE=4，HG=AG-AH=AF-BE=1，所以GE==，即PF+PE=． 三、7．解：因为∠FDC=∠FEC=∠BCD=90°，所以四边形CDFE是矩形， 因为CF平分∠ACB，FE⊥BC，FD⊥AC，所以FE=FD，所以矩形CDFE是正方形．     点拨：本题先说明四边形是矩形，再求出有一组邻边相等，还可以先说明其为菱形，再求其一个内角为90°． 四、8．解：（1）相等．理由：在△ADE与△BAF中，AD=AB，∠DAE=∠ABF=90°，AE=BF， 所以△ADE≌△BAF（S．A．S．），所以DE=AF． （2）AF与DE垂直．理由：如图，设DE与AF相交于点O． 因为△ADE≌△BAF，所以∠AED=∠BFA．又因为∠BFA+∠EAF=90°， 所以∠AEO+∠EAO=90°，所以∠EOA=90°，所以DE⊥AF． 20.5 等腰梯形的判定 一、选择题     1．下列结论中，正确的是（  ）     A．等腰梯形的两个底角相等        B．两个底角相等的梯形是等腰梯形     C．一组对边平行的四边形是梯形    D．两条腰相等的梯形是等腰梯形 2．如图所示，等腰梯形ABCD的对角线AC，BD相交于点O， 则图中全等三角形有（  ） A．2对          B．3对      C．4对      D．5对     3．课外活动课上，老师让同学们制作了一个对角线互相垂直的等腰梯形形状的风筝，其面积为450cm，则两条对角线所用的竹条长度之和至少为（  ）     A．30cm      B．30cm    C．60cm      D．60cm     二、填空题     4．等腰梯形上底，下底和腰分别为4，10，5，则梯形的高为_____，对角线为______．     5．一个等腰梯形的上底长为5cm，下底长为12cm，一个底角为60°，则它的腰长为____cm，周长为______cm．     6．在四边形ABCD中，AD∥BC，但AD≠BC，若使它成为等腰梯形，则需要添加的条件是__________（填一个正确的条件即可）．     三、解答题 7．如图所示，AD是∠BAC的平分线，DE∥AB，DE=AC，AD≠EC． 求证：四边形ADCE是等腰梯形． 四、思考题 8．如图所示，四边形ABCD中，有AB=DC，∠B=∠C，且AD