利用加减法判断函数的奇偶性

利用加减法判断函数的奇偶性 新疆财经大学本科毕业 题目: 利用加减法判断函数的奇偶性 学 号, 学生姓名, 院 部, 专 业, 数学与应用数学 年 级, 指导教师 姓名及职称, 完成日期, 目 录 1.函数的定义 .................................................... 1 2.函数奇偶性的定义 .............................................. 1 3.函数奇偶性的性质 .............................................. 2 4.判断函数奇偶性的方法 .......................................... 3 4.1定义法 ................................................... 3 4.2图像法 ................................................. 4 4.3性质法 ................................................. 5 4.4对称曲线法 ............................................. 7 4.5求导法 ................................................. 8 5.利用加减法判断函数的奇偶性 .................................... 8 6.正确理解函数的奇偶性及判断函数奇偶性常见的错误 ............... 12 ........................................................... 16 参考文献 ....................................................... 17 致谢 ........................................................... 18 利用加减法判断函数的奇偶性 利用加减法判断函数的奇偶性 数学与应用数学学院，应用数学2007-2班 米哈依.多力昆 【摘要】:函数的奇偶性是函数的基本性质之一。它在代数，三角函数以及高等数学中有着广泛的应用;不论是何种函数，都必须与函数性质相关联，函数性质是函数知识的重点;判断函数的奇偶性是研究函数性质时应予以考察的一个很需要方面。它在计算函数值，探讨函数的单调性，绘制图像，求定积分等方面均有用处;因此在解题中，针对不同的函数类别及函数性质的应用，归纳出一定的解题思路是很有必要的，本文就介绍了以函数奇偶性的定义，函数奇偶性的性质，判断函数奇偶性的方法构建了利用加减法判断函数的奇偶性现过程，引导积极思考，详细讲述了函数奇偶性的判断方法，利用加减法判断函数的奇偶性,正确理解函数的奇偶性及判断函数奇偶性常见的错误。 【关键词】:函数的的定义，函数奇偶性 ，加减法判断函数的奇偶性 1.函数的定义 f给定两个实数集D和M，若有对应法则，使对D内的每个数，都x y,Mf有唯一一个数与它相对应的，则称 是定义在数集D上的函数，记f:D,M,x,yff数集D称为函数的定义域，所对应的数y,称为在点xx f(x)f(D),,,，，yy,f(x),x,D,M的函数值，常记为.全体函数值的集合称 f为函数的值域. 2.函数奇偶性的定义 1 利用加减法判断函数的奇偶性 ，，fxfxfx,,,02.1如果对函数的定义域内任意一个都有x，，，， 2，，，，，，，，，，f,x,fxfxfx,xfx,x()，那么函数就叫做偶函数，如: ，。 ，，，，，，fxfx，f,x,02.2如果对函数的定义域内任意任意一个都有 x 1，，fx，，，，，，f,x,,fxfx,x()，那么函数就叫做奇函数，如: , fx,，，x 2f，，x,lg(x，1,x)【例1】判断函数的奇偶性。 22，，fx？x，1,x,x 函数的定义域为，又 解:？R 22，，，，fx，f,x,lg(x，1,x)，lg(x，1，x) 22,lg(x，1,x),lg1,0。 ？，，fx 为奇函数。 xxfx【例2】判断函数 的奇偶性, ，，,，x212, x？？，，fx(,,,0),(0,，,)x,02,1,0解: 函数 的定义域为， xxxx又 ,,,,,，()()fxfx，，，，,xx212212,, xxx,2xx(2,1) ,,,x,,x,0xxx2,12,12,1 ？,,fxfx()() fx()故是偶函数. 3.函数奇偶性的性质 3.1 对称性 奇偶函数的定义域关于原点对称。 如: 2 利用加减法判断函数的奇偶性 3.2整体性 x奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个都必须成立. 3.3可逆性 fxfxfx()()(),,,是偶函数 fxfxfx()()(),,,,是奇函数 3.4等价性 fxfxfxfx()()()()0,,,,,, fxfxfxfx()()()()0,,,,，,, 3.5可分性 根据奇偶性可将函数分为四类:奇函数，偶函数，既是奇函数又是偶函数，非奇非偶函数. y 3.6奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于轴对称. 4.判断函数奇偶性的方法 4.1定义法 1、任取自变量的一个值，是否有定义，如果存在一个属于定义x,x fx,域的但在没有定义，则既不是奇函数也不是偶函数，若存在，，，x,x00 则进一步看. fxfx()(),,,2、着相当于证明一个恒等式，有时，为了运算上的方 3 利用加减法判断函数的奇偶性 fxfx()()0,,,便可转而验证 奇函数fx()0fxfx()()，,,， ,,1,fx2()偶函数fx(), 【例3】确定下列函数的奇偶性: xx,2ee,(1xx)，(1) ，(2)fx()c,,21so, ，(3)， ().fx(),fx,xx,x，1ee， 22fxxx()sincos,，(4)。 x,0fx()f(0)0,,,，,,解:(1)显然的定义域为，，时 ，， xxxx,,fxeeee(),， ,,,,1,xxxx,,fxeeee(),，, fx()故为奇函数。 fx()x,,fx()0,解:(2)定义域为。对任意有， , fxfx()()0,,,从而， fx()故既是奇函数有是偶函数。 fx(),,,,,，,,1(1,)解:(3)定义域为,它不对称于原点， ，， fx()故既不是奇函数也不是偶函数。 fx(),,xRfx()1,解:(4)的定义域为,任意,,从而 Rfxfx()()0,,,， fx()故为偶函数. 4.2图像法 函数为奇(偶)函数的充要条件是图象关于原点(轴)对称. y 【例4】根据函数的图象，判定函数的奇偶性. 4 利用加减法判断函数的奇偶性 图(1) 图(2) 图(3) 图(4) 解:(1)为偶函数。(2)，(3)为奇函数。(4)为非奇非偶函数。 4.3性质法 性质1:偶函数的和，差，积，商(分母不为零)仍为偶函数。 性质2:奇函数的和，差仍为奇函数。 性质3:奇(偶)数个奇函数的积为奇(偶)函数。 5 利用加减法判断函数的奇偶性 性质4:一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数。 Fxfgx()(()),性质5:对于复合函数有: gx()Fx()(1)若为偶函数，则为偶函数。 gx()fx()Fx()(2)若为奇函数，也为奇函数，则为奇函数。 gx()fx()Fx()(3)若为奇函数，为偶函数，则为奇函数。 ()()()xfxfx,，,性质6:为偶函数，而为奇函数。 ()()()xfxfx,,,FF12 【例5】判定下列函数的奇偶性。 fxx()12cos,,fxx()ln(12cos),,fxxx()sinarcsin,，(1)，(2)，(3)， 2x,11xe33fx,,()fxx(),fxxx()11,，,,(4)，(5)，(6)。 x22x，12e fx()解:(1)为定义域在R上的两个偶函数之差， fx()故为偶函数。 ,,,，，fx()解:(2)的定义域为 ， DRUkk2,2,,,,，，,,,,k,,,33，， D1cos2,x因为在上为偶函数，由性质5(1) Dfxx()ln(12cos),,知为上的偶函数。 解:(3)因为两个奇函数的积为奇函数， fxxx()sinarcsin,，,1,1故为 上的奇函数。 ,, 2xxx,,,1eeegxgx()(),,解:(4)由及为R上奇函数。 2xxx,，，1eee fxxgx()(),,再由性质3知，两个奇函数的积为R上的偶函数。 33fxxx()11,，，,解:(5)，由性质6知 fx()为R上的偶函数。 6 利用加减法判断函数的奇偶性 1xfx,,()fx()解:(6)，由性质6知为R上的奇函数。 x2 2 4.4对称曲线法 奇偶函数图象的性质可以看成是一般曲线对称性的特列，把函数表达 Fxy,0,式改写成曲线方程，则有 ，， Fxy(,)0,,偶函数同时成立. ,Fxy(,)0,,, Fxy(,)0,,奇函数同时成立. ,Fxy(,)0,,,, 这个方法对于分段定义的函数特别方便。 【例6】判断下列数的奇偶性。 xxx(1)0,,ln0xx,,,(1)，(2)， fx(),fx(),,,,，,xxx(1)0,,,ln()0xx,, 20xx,,arccos(1)0xxx,,,,(3)，(4) fx()fx(),,1,,,x1arccos[(1)]0xxxx,，,,x,,2 x,0,,x0解:(1)定义域:任取，有， fxxxxxfx()()1()(1)(),,,,，,,,, ,, x,0,,x0fxxxxfx()()1()(1)(),,,,,,,，,又任取，有， ,, fx()故按定义为偶函数。 图象法:见例4(1) 2fxxx(),,性质法:函数可以表示成两个偶函数的差为偶函数。 1 x,0:(,)(1)0Fxyyxx,,,,对称曲线法:若把时函数表达式改写成，则c1x,0:(,)(1)0Fxyyxx,,，，,的表达式为这表明，于轴对称，故yccc212 fx()为偶函数。 7 利用加减法判断函数的奇偶性 易见，性质法和对称曲线法较为简单。 ||x,Fxyyx(,)ln||0,,,,x,x)有，或 解:(2fxx()ln,,||xx,Fxyyx(,)ln||0,,,,，,,x, fx()故为奇函数。(例4.(2)图象) 2fxx()arccos(),,解:(3)有， x Fxy(,)0,,fx()由性质5.(1)知为偶函数，或由知为偶函数。 ,Fxy(,)0,,, xFxy(,)0,,x解:(4)有 或 ()2fx,,Fxy(,)0,,x, fx()故为奇函数。 4.5求导法 可微奇(偶)函数的导函数为偶函数，反之也对。 【例7】确定函数的奇偶性 1,x2fxxx()ln(1),，,(1)，(2)。 fx()ln, 1，x ,2解:(1)为偶函数， fx(),,21,x fx()故为奇函数。 ,1解:(2)为偶函数 fx(),2x，1 fx()故为奇函数. 5.利用加减法判断函数的奇偶性 利用一些已知函数的奇偶性及下列准则(前提条件为两 8 利用加减法判断函数的奇偶性 个函数的定义域交集不为空集):两个奇函数的代数和是奇函数;两 个偶函数的代数和是偶函数;奇函数与偶函数的代数和非奇函数非偶函数;两个奇函数的积为偶函数;两个偶函数的积为偶函数;奇函数与偶函数的积是奇函数。 根据函数奇偶性定义易证: 设f(x)是定义在R上的任一函数,则 F(x) = f(x) + f(-x)是偶函数; F(x)= f(x) - f(-x)是奇函数; 这个结论给出了判断函奇偶性的一种新方法,即对于定义域中的 任一x， 若函数F(x)能表示成 F(x)= f(x)+f(-x),则F(x)是偶函数; 若函数F(x)能表示成 F(x)=f(x)-f(-x),则F(x)是奇函数; 利用这种方法判断函数的奇偶性,关键在于能否将已知函数F(x)分裂成f(x)?f(-x)的形式。这种分裂虽然技巧性较强， 但对判定一类复合函数却常常较为简便, 因此这种方法具有一定的实用性。 (1) 设在定义域D 中,函数f(x)和g(x)均为奇函数, 则它们的和函数是奇函数;证明如下: 令F(x)=f(x)+g(x) 因为F(-x)=f(-x)+g(-x )=-f(x)-g(x) =-[f(x)+g(x)]=-F(x) 所以F(x)=f(x)+g(x) 为奇函数 3例如: y=sin x+ x是奇函数。 (2) 设在定义域D 中, 函数f(x)和g(x)均为偶函数, 则他们的和函数 9 利用加减法判断函数的奇偶性 是偶函数; 证明如下: 令F(x)=f(x)+g(x) 因为F(-x)=f(- x )+g(-x)=f(x)+g(x)=F(x) 所以F(x)=f(x)+g(x) 为偶函数 2例如: y= cos x+ x 是偶函数。 (3) 设在定义域D 中, 函数f(x)和g(x )分别为奇函数和偶函数, 则它 们的和函数是非奇非偶函数; 证明如下: 令F(x)=f(x)+g(x) 因为F(-x)=f(-x)+g(-x)=-f(x)+g(x) 显然-f(x)+g(x)?f(x)+g(x) 且-[f(x)-g(x)]?-[f(x)+g(x)] 所以F(x)= f(x)+g(x) 为非奇非偶函数 例如: y= sin x+ co s x 是非奇非偶函数。 注: 上述g(x)?0( 因为0 函数既是奇函数又是偶函数)。 综上能总结出以下的奇偶性运算: (1) 两个偶函数相加所得的和为偶函数; (2) 两个奇函数相加所得的和为奇函数; (3)一个偶函数与一个奇函数相加所得的和为非奇函数与非偶函数; (4) 两个偶函数相乘所得的积为偶函数; (5) 两个奇函数相乘所得的积为偶函数; (6) 一个偶函数与一个奇函数相乘所得的积为奇函数; 以上的总结也可以表示为: 奇?奇,奇 偶?偶,偶 奇×奇,偶 偶×偶,偶 奇×偶,奇 10 利用加减法判断函数的奇偶性 (两函数定义域要关于原点对称) 至于复合函数其实只要掌握好奇偶函数的定义，自己推一下 是非常容易的。 设在定义域D 中, 函数y= f(x)是奇函数,y=g(x)是偶函数,则 (1) F(x)=f[f(x)] 是奇函数, 因为 F(-x)=f[f(- x)]=f[-f(x)]=-f[f(x)]=-F(x) (2) F(x)=g[g(x)] 是偶函数, 因为 F(-x)=g[g(-x)]=g[g(x)]= F( x ) (3) F(x)=g[f(x)]是偶函数, 因为F(-x)=g[f(-x)]=g[-f(x)]=g[f(x)]=F(x) (4) F(x)=f[g(x)]是偶函数, 因为 F(-x)=f[g(-x)]=f[g(x)]=F(x) 所以由两个函数复合而成的复合函数，当里层的函数是偶函数时，复合函数是偶函数;不论外层是怎样的函数，当里层的函数是奇函数，外层的函数也是奇函数时，复合函数是奇函数;当里层的函数是奇函数，外层的函数是偶函数时，复合函数是偶函数;在其它的场合，就不能判断复合函数的奇偶性了。 【例8】 2Fxxx()32sin,，(1) 2gxx()2sin,fxx()3, 因为是奇函数，是奇函数，所以根据同奇则奇，同偶 Fxfxgx()()(),，则偶得是奇函数. Fxfxgx()()(),， (2) 是奇函数. Gxxx()sincos,， 11 利用加减法判断函数的奇偶性 fxx()sin,gxx()cos,Gxxx()sincos,，因为是奇函数，是偶函数所以是非奇非偶函数. 【例9】判断下列函数的奇偶性 x2,,ex,1，，x，1，x,,Fx，，，，，，fx,loga,0,a,11),; (2) (ax2,,e，1x，1,x,, xx,xx,xx,exx,ex,ex,e,x,e，，Fx,,,,,，解:(1) ，，xxx,xx,xe，1e，1e，1e，1e，1e，1 xx,e，，，，，，，，Fx,fx，f,xFx 如令fx,，则，所以是偶函数 ，，xe，1 22，，，，，，fx,logx，1，x,logx，1,x (2) aa 22log(1)log[()1()]xxxx，，,,，，, = a 2，，，，fx,logx，1，x 令, a ，，，，，，，，Fx,fx,f,xFx 则,所以是奇函数. 6.正确理解函数的奇偶性及判断函数奇偶性常见的错误 fx()的定义域内任意一个，都有一个一般的，如果对于函数xfx(),,fx()fx()=，则称称为这一定义域内的奇函数; fx()fx(),fx()一般的，如果对于函数的定义域内任意一个，都有= ，xfx()则称为为这一定义域内的偶函数.很多时候我们认为形式上 fx(),,fx()fx()fx(),fx()fx()=，就是奇函数;有= , 就是偶函数而与函 12 利用加减法判断函数的奇偶性 fx()数的定义域没有任何关系。事实上如果不先看函数义域，函数的奇偶 2,,,2,4fxx(),性是无法判别的. 比如，对于定义在区间上的函数，虽然从 fxfx()(),,形式上来看有但它并不是偶函数. 【例10】判断下列的奇偶性 42fxxx()23,，(1) 42fxxx()23,，的定义域是R. 4242xR,,,xRfxxxxx()2()3()23,,,，,,，对于任意,都有，并且，即 42fxfx()(),,fxxx()23,，所以是偶函数. 32fxxx()23,,，(2) 32fxxx()23,,，的定义域是 R xR,,,xR对于任意都有.而 3232fxxxxx()()2()323,,,,,，,,,， 32,,,，,fxxx()23 fxfx()(),,,fxfx()(),,所以且 32fxxx()23,,，因此既不是奇函数也不是偶函数. 1sincos，,xx(3) y,1sincos，，xx 解: xxx22sin2sincos，1sincos，,xx222 fx(),,xxx1sincos，，xx22cos2sincos，222 xxx2sin(sincos)，x222,,tanxxx22cos(sincos)， 222 ,xxfxfx()tan()tan(),,,,,,22 fx()是奇函数. ？ 13 利用加减法判断函数的奇偶性 出错的原因是没有考虑原函数的定义域，而且简化函数时没有考虑到xx的要求.所以正确解应该是 sincos0，,22 1sincos0，，,xx ,,, 2sin1x？，,,,,4,, ,2,, ？，,,sinx,,42,, ,,,,5且 ？，,,xk2，,，,xkkz2(),,4444 ,xkkz,，,2(),,且 ？,,xk2,2 fx()定义域不关于原点对称，故是非奇非偶函数. 总结以上概念判断函数奇偶的错误概念有: (1)错误的定义 2,xx，,0,fx(),【例11】判断函数的奇偶性( ,3xx，,0,, 2x,0fxxfx()()(),,,, 错解:当时，; 3x,0fxxfx()()(),,,,, 当时，， fx()x,0 当时，函数是偶函数( ？ fx()x,0 当时，函数是奇函数( 剖析:函数的奇偶性是针对函数的整个定义域而言的，应把函数的奇偶性与单调性区分开，函数的单调性是函数的一个局部性质，而函数的奇 x,0x,0偶性是函数的一个整体性质。“当时，函数是偶函数;当时，函数是奇函数”这种说法本身就是错误的( fx()x,0,,x0正解:显然，的定义域关于原点对称。当时，， 32fx()fxxxfx()()(),,,,,,,;故函数既不是奇函数也不是偶函数( 14 利用加减法判断函数的奇偶性 (2)对函数本质认识不透 2222fxxaaxa()(0),,,,,【例12】判断函数的奇偶性( 22222222fxxaaxxaax()()(),,,,,,,,,,, 错解:， ？,,fxfx()()fxfx()(),,, ，且( 故此函数是偶函数，但不是奇函数( 剖析:表面上看，以上结论似乎无懈可击，便考虑到函数的定义域 fx()0,,aa，0xaa,,，是，值域是，故函数的解析式可简化为，( ,,,,,, fx()0,xaa,,，正解:，， ,, ？,,fxfx()()fxfx()(),,,，且( 故此函数既是奇函数又是偶函数( 15 利用加减法判断函数的奇偶性 总结 判断函数的奇偶性是研究函数性质时应予以考察的一个很需要方面。它在计算函数值，探讨函数的单调性，绘制图像，求定积分等方面均有用处;因此在解题中，针对不同的函数类别及函数性质的应用，归纳出一定的解题思路是很有必要的。 经过这次毕业论文的写作过程我对加减法判断函数的奇偶性及函数的奇偶性等一系列问题有了深刻的认识。巩固了自己对函数的知识。 16 利用加减法判断函数的奇偶性 参考文献 [1] 胡炯涛 《数学教学论》 广西教育出版社 1996年 [2,王子兴 《数学方法论》 湖南师范大学出版社 199年6月 [3,陆少华 《微积分》 上海交通大学出版社 2002年 [4,数学学习与研究 2011年3期 [5] 雅安教育学院学报综合版 2000年4期 [6,数理化解题研究 2011年1期 17 利用加减法判断函数的奇偶性 致谢 四年的读书生活在这个季节即将划上一个句号，我将面对又一次征程的开始.四年的求学生涯在师长，亲友的大力支持下走的辛苦却也收获满囊，在论文即将递上之际，我感谢在座的所有师生陪伴我长大.在此特向艾尼瓦尔老师及学院的所有老师致以衷心的谢意～向你们无可挑剔的敬业精神、严谨认真的治学态度、深厚的专业修养和平易近人的待人方式表示深深的敬意～ 18 利用加减法判断函数的奇偶性 19