交集、并集、补集、全集

交集、并集、补集、全集 交集、并集、补集、全集 一、学习: 1.理解交集、并集、全集与补集的概念。 2.熟悉交集、并集、补集的性质，熟练进行交、并、补的运算 二、例题 第一阶梯 例1、什么叫集合A、B的交集,并集, 答案: 交集:A?B={x | x?A , 且x?B} 并集:A?B={x | x?A , 或x?B} 说明: 上面用描述法给出的交集、并集的定义，要特别注意逻辑联结词"且"、"或" 的准确意义，在交集中 用"且"在并集中用"或交、并运算有下列推论: 例2、什么叫全集,补集, 答案: 在研究集合与集合的关系时，相对于所研究的问题，存在一个集合I，使得 问题中的所有集合都是I的 子集，我们就把集合I看作全集，全集通常用I表示。 补集: 。 说明: 全集和补集都是相对的概念。全集相对于所研究的问题，我们可以适当地选 取全集，而补集又相对于 全集而言。如果全集改设了，那么补集也随之而改变。为了简化问题可以巧设全集或改设全集，"选 取全集"成为解题的巧妙方法。 补运算有下列推论:?;?;?。 例3、(1)求证: ， 。 (2)画出下列集合图(用阴影表示): ? ; ?; ?; ? 。 提示: (1)证明两个集合M和P相等可分两步完成:第一步证明"由x?MT x?P";第二步证明"由x?P Tx?M "。 (2)利用(1)的结果画?、?。 答案: 说明: (1)中的两个等式是集合的运算定律，很容易记住它，解题时可以 应用它。这个证明较难，通常不作 要求。 但其证明是对交、并、补运算及子集的很好练习。 (2)中的四个集合图也是集合的图示法的很好练习。图(1)叫做"左月牙"，图2叫做"右月牙"。画图3、 图4时要利用集合的两个运算律来画。 第二阶梯 4322例1、已知A={x | 2x，5x,3x=0}，B={x | x，2|x|,15=0}，求A?B，A?B。 [提示] 先用列举法化简集合A和B。 [答案] 4322 由2x，5x,3x=0得x=0，或2x，5x,3=0， ?x=0，或x=,3，或x=， ?A={,3，0， } 2 由x，2|x|,15=0得|x|=3或|x|=,5， ?x= ?3，即得B={,3，3}。 ?A?B={,3}，A?B={,3，0， ，3} 例2、设全集I={2，3，a2，2a,3} , A={2 , |2a,1|} , ={5} , 求实数a的值。 答案: 说明: 例3、设全集I={1，2，3，…9}，={3，8}， ={2，5}，={1，2，3，5，6，7，8}， 求集合A，B。 [答案] 说明: 例4、设A={x | x>5或x<,1} , B={x | a?x?a，3}，试问实数a为何值时， (1) A?B=φ;(2) A?B?φ;(3) AB。 答案: 说明: 数形结合在集合中有两个方法:一是画集合图，如例3;二是利用坐标系，如本例画数轴(数轴是 一维的坐标系)。这两个方法总括为集合的图示法，即寻求集合与图形的对应，找到直觉。从而把 抽象的集合问题具体化和形象化 此外，本题之(二)的解法是补集法，省去了多少烦恼～ 第三阶梯: 例1、设全集I={(x , y) | x , y?R}，集合M={(x , y) | }，N={(x , y) |y=3x,2}，那 么 等于( )。 (A) φ (B) (2 , 4) (C) {(2 , 4)} (D) N 提示: 先等价化简集合M，再用坐标平面内的点集理解集合M与N的关系。 答案: ， ?M={(x , y)| y=3x,2，且x?2}， ?N=M?{(2 , 4)} ?={(2 , 4)}，故选(C)。 说明: 本题是数形结合法的范例，用点集来理解抽象的集合M、N的关系就十分清晰、直观。解题的关键是 分清M和N的关系，当找到N=M?{(2 , 4)}时，问题便迎刃而解。此外，注意单元素集合{(2,4)}和元素 (2, 4)不同，所以选(B)是错误的。 例2、据统计我校高中一年级的100名学生中，爱好体育的学生有75人，爱好文艺的学生有56人，试问文 艺、体育都爱好的学生最多有多少人,最少有多少人, 提示: 利用集合图列出各种爱好者的人数间的数关系。 答案: 设A={爱好体育的学生}，B={爱好文艺的学生}， 则A?B={文艺、体育都爱好的学生}， A?B={爱好文艺或爱好体育的学生}。 我们把有限集合M的元素个数记作card(M)，card(A)=75， card(B)=56，card(A?B)=y , card(A?B)=x。于是由集合图(图7) 得 x=75，56,y (75?x?100) 即 y=131,x (75?x?100) ?31?y?56。 答:文艺、体育都爱好的学生最多有56人，最少有31人。 说明: 关于有限集合的并、交的元素个数的问题，用图解法解决具有无比的优越性。 一般地，对于任意两个有限集合A , B有 card(A?B)=card(A)，card(B),card(A?B). 其道理可由图8看出来。 对于任意的三个有限集合A，B，C，有 card(A?B?C) =card(A)，card(B)+card(C), card(A?B), card(B?C), card(C?A)， card(A?B?C) 其道理可由图9看出来。 三、练习题 A组 一、选择题 (1(已知全集I={0,,1 ,,2 ,,3 ,,4}，集合M={0,1,,2}，N ={0,,3,,4}，则= A.{0} B.{,3，,4} C.{,1，,2} D. φ (2(设全集为R，集合M={x | f(x)=0}，P={x | g(x)=0}，S={x | h(x)=0}，则方程 的解集是( ) A. M?P?N B.M?P C.M?P?S D.M?P? (3(已知集合P、M满足P?M={1，2}，P?M={1，2，3，4，5}，全集I=N，则(P?M)?( )为( ) A.{1，2，3} B.{2，3，4} C.{3，4，5} D.{1，4，5} (4(设I是全集，集合P、Q满足P?Q，则下面结论中错误的是 A.P?Q=Q B. C. D. (5(满足{1，2}?M={1，2，3}的所有集合M有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D. 4个 二、填空题 1、设A={梯形}，B={平行四边形}，C={矩形}，D={菱形}，E={正方形}，则(A?B) ?(B?C)?(D?E)= . 2、设x,y?R，集合A={(x,y)|4x,y,3=0},B={(x,y)|2x,3y，11=0} , 则A?B= . 3、全集I={1，2，3，4}，子集A和B满足: ={1}，A?B={3}， ={2}，则A= 。 24、集合A={1，x}，且 ={1，3，x}，则实数x的取值范围是 。 5、某班48名学生中，有13人爱打篮球又爱唱歌，有29人不爱唱歌，有16人不爱打篮球。则不爱打篮球 又不爱唱歌的学生数为 。 答案: 一、选择题 1—5 B，D，C，D，D 二、填空题 1、D 2、{(2 , 5)} 3、{3 , 4} 4、{0 , , , } 5、10 B组 一、选择题 1(集合{1，2，3}的子集共有( ) A(7个 B(8个 C(6个 D(5个 2(下列命题或记法中正确的是( ) +- A(R?R B(Z {x|x0,x?Z} C(空集是任何集合的真子集 D( 3(同时满足{1}A{1，2，3，4，5}，且A中所有元素之和为奇数的集合A的个数是( ) A(5 B(6 C(7 D(8 4(设A={x|1