声表面波波动方程求解的速度分析

声表面波波动方程求解的速度 声表面波波动方程求解的速度分析 第35卷第3期 2007年6月 浙江工业大学 JOURNAIOFZHEJIANGUNIVERSITYOFTECHNOIOGY Vol_35NO.3 Jun.2007 O 声表面波波动方程求解的速度分析 俞红杰,王 (1.浙江海洋学院机电工程学院,浙江舟山316004 涌,李良儿 2.浙江工业大学信息工程学院,浙江杭州310032) 摘要:声表面波(SAW)波动方程的求解是SAW传播特性分析的理论依据,也是材料切型优化的 基础.在具体求解时需要采用不断反复迭代的数值算法,计算工作量非常庞大,因此加快求解速度 对于提高计算效率显得格外重要.基于边界条件系数行列式值法求解SAW波动方程,通过对影响 求解速度的各因素的理论分析,提出了利用相应的波动模式,材料的连续性和对称性等特点来缩短 粗搜区间;通过合理选取初始步长,动态调整搜索步长等策略来加快求解速度.求解实践证明这些 措施是有效的.为SAW传播特性的准确快速的分析提供参考. 关键词:声表面波;波动方程;波动速度 中图分类号:TP212文献标识码:A文章编号:1006—4303(2007)03—0320—05 Analysisofsolvingspeedinwaveequationsofsurfaceacousticwaves YUHong—jie.WANGYong,LILiang—er (1_CoilegeofMechanical8LElectricalEngineering,ZhejiangOceanUniversity,Zhoushan316004,China) 2.CoilegeofInformationEngineering,ZhejiangUniversityofTechnology,Hangzhou310032,China) Abstract:ThesolvingofwaveequationsofSurfaceAcousticWaves(SAW)isthetheoretical foundationforanalyzingSAWpropagationcharacteristics.Itisalsothegroundworkforoptimi— zingmaterialcutting.Thenumericalalgorithmisneededtoiteratecontinuousandrepeatedlydur— ingthesolvingprocess.Itwillleadtohugecomplicatedcalculation.Sohowtospeedupthesol— vingprocessisveryimportantforimprovingcalculationefficiency.Thispaperintroducesthe methodofboundaryconditiondeterminantforthesolvingofSAWwaveequations,analyzesthe correspondingfactorswhichinfluencewavespeedcalculation,andputsforwardseveralmeasures toshortenrough— searchrangeaccordingtotheSAWmodes,thecontinuityandsymmetryO{the material.andetc.ThesolvingprocessisacceleratedbythestrategiessuchasreasonablechoiceO{ theinitia1steplength,dynamicadjustmentofthesearchsteplength.Thesolvingpracticeproves thatthesemeasuresandstrategiesareeffective.Thesesupplyusefulreferencetotheaccurateand swiftanalysisofSAWpropagationcharacteristics. Keywords:surfaceacousticwaves;waveequation;wavespeed 引 声表面波(SAW)是一种能量集中在介质表面 传播的弹性波,最早是由英国物理学家瑞利(Ray— leigh)在1885年研究地震波传播过程时发现的,但 由于当时科学技术水平的限制,它一直没有得到实 际的应用.直到1965年美国的M.White和F.M. 收稿日期:2006—11-29 基金项目:浙江省教育厅基金资助项目(20040535) 作者简介:俞红杰(1973一),男,浙江舟山人,讲师.硕士,研究方向为自动控制与应用 及新型传感器 第3期俞红杰,等:声表面波波动方程求解的速度分析 Volrmov利用叉指换能器直接在压电介质上有效地 激励出SAW后,这项技术才得以快速的发展,相继 出现了许多各具特色的SAW器件J.声表面波器 件大多采用各向异性的压电材料.压电材料中波动 方程的求解是SAW器件设计的基础.由于材料不 同,切型不同,表面封装形式不同,波的模式不同, SWA波动方程的解就各不相同,决定器件性能的 重要(如波速,机电耦合系数,温度延时常数等) 会有非常大的差异.要使器件达到最佳的性能,选取 材料及其理想的切型成了器件开发的关键.人们正 在不断寻找适合SAW的新的压电材料.与此同时, 在材料选定之后,切型的优化是器件开发者最为关 注的问题.由于求解各向异性压电介质中的SAW 耦合波方程常采用数值解,要经过多次反复迭代.而 且压电晶体在晶轴的坐标系中它的已知的一些参数 (如弹性劲度常数张量,压电应力常数张量,介质常 数张量等)必须经过坐标变换,变成波动方程坐标系 中的参数后方能适用方程的求解.每一切型对应于 坐标变换中欧拉角(,,y)中的一个确定的值,由于 ,,y均可取三维空间中的任一值(也包括小数), 因此对于给定的材料寻找理想切向的求解其计算量 将是十分之庞大.由此可见,提高SAW波动方程求 解速度的研究就显得十分必要.对SAW波动方程 的求解目前常用有效介电常数和边界条件系数行列 式绝对值(简称为行列式值)两种方法[.].基于行列 式值法适应范围广,且其波形过零点的跨度一般较 大,可以用较大的步距进行搜根的一些特点,该文采 用此方法求解SAW的波动方程.在确定的算法下, 通过对影响求解速度各因素的定量分析,从中找出 加快求解速度的若干方法.供SAW波动方程求解 以参考. 1行列式值法求解SWA波动方程的 原理及算法 1.1求解原理 在图1的坐标系中,假定SAW沿正方向传播, 表面法线方向为.,.<0为无限伸展的压电介质. 在各向异性的压电材料中,由于压电效应的存 在,除了传播的声波之外还会激起电磁波,它们互相 耦合,根据牛顿第二定律,绝缘介质中的电位移的连 续性方程及压电本构方程可以得到SAW耦合波方 程为 C~sklUk,o十幻'一—u (1) IeSklUk,一,0 式中:C为介质的弹性劲度张量;e为介质的压电张 量;s为介质的介电常数张量;为位移;为电势;下 标变量i,J,k,z分别为1,2,3,并采用Einstein求和 约定. 介质中的声波可认为是平面波,设其解为 — Aexp[j(tipmm一" 一 1,2,3(2) l—A4exp~j(z一wt)j 其中P为波的方向余弦. 图1声表面波计算坐标系 Fig.1ThecalculationcoodnateforSAW 为讨论问题简化起见,设SAW沿图1所示的轴 正方向传播,则P一1,P.一0,令P.一叩,叩为波在 深度.方向的衰减系数,为波数, 一<o/v一2 其中:为波的传播速度;OA为角频率;为波长;A 为场量各分量的振幅. 将式(2)代入式(1),可得波传播的Christofel 方程【-叫为 jPzPj一*)A+PPA一0(3) 【eikzP,PJAk—CjkP^PJA4:0 其矩阵简式为?A=0(4) 式中 1-;一Cij~lPzPJ一,re4===ekijP^PJ,4^一 诎PPz,r44一一sPPk(5) 要得到振幅A非全零的解,就必须使式的行 列式值为零即ll一0,而lrl一0是一个以波的 相速度口及衰减系数叩为自变量的8次方程.当选 取一个定值时,可以求得叼的8个数值解.而后再根 据波的不同模式选取4个有效的根,分别将 代入式(3)可以解得对应的振幅分量的4组解 Ai,n一1,2,3,4. 根据部分波理论,设解的最终形式为 === ?cAI"exp[』(z一)] Jn=l(6){4 (6' l一?cAexpEi(flP2'一)] 浙江工业大学第35卷 式中:户三1,兰0,户三叩(设波沿图1的z的 正方向传播);为各部分波的组合系数. SAW的解不仅要满足耦合波方程,同时还要满 足由力学和电学两部分组成的边界条件. 力学的边界条件为 3I:.一0(7) 电学边界条件包括表面电势的连续和边界电位 移的不连续,即 I.:.+一I.:.一 D3I:0+一D3}=0-一a(x1)(8) 式中:D.为表面的法向电位移;()为表面的自由 电荷密度. 对于金属表面其边界条件为 (Ci3~;A:+eki3A5)C埘一o f9)IA:一0, 即为C一0(10) 对于自由表面其边界条件为 f(c3户;A+eH3A)c一0 1(.Am,户;,.户:砌)一.L鲁,]一0LLpJ (11) H,一0(12) 要使耦合波方程有解,在金属表面的条件下要 使IH}一0;在自由表面的条件下则要使IH,I一 0.在波速可能出现的范围内,先给定一个的试探 值,求得叩,A,再分别求lHl,IHrl的值,并 判它们的值是否为零,若等于零,则就是要求的金 属表面或自由表面的波速(,或V),反之改变值 重新计算,直到找到满足边界条件的值为止,这就 是边界条件系数行列式值法求解的原理. 1.2求解算法 图2为铌酸锂当欧拉角为[1.,146.,86.]切型的 自由表面fH,f,的波形图.在瑞利波速可能取值 范围(3000,4000m/s)内存在着三个凹点,为了 求得波速和,,可以采用多种不同的算法l_2].算 法的设计要求尽可能达到既准确又快速的目的.为 此特采用如下的算法:在整个速度所允许的范围 (?)内,以初定的步长(Av)由低速端顺次向高 速端进行搜索,假如在到达终点时,还未发现特征标 志(对行列值法可把凹点当作特征标志),则缩小步 长在原区间内重新搜索,反复循环.当发现凹点时粗 搜暂停,再经过适当的调整以确定比粗搜范围相对 小的多的细搜区间(Av.,?分别指金属表面和 自由表面的细搜区间),在此区间内再采用二分法或 优选法对根进一步的细搜及真伪的判断,若是伪根, 则在原中断处开始继续粗搜,直至解得符合精度要 求(nv.,Av.)的金属表面的波速和自由表面的波 速.图3是由此算法设计的流程图. 7 6 5 24 X 3 —— 2 1 0 vl(km?S) 图2LiNbOs[1.,146~,86.]切型的}Hr}曲线 Fig.2ThecuI~-esofatthe[1.,146.,86.]ofLiNbO3 图3系数行列式值法求解SAW波动方程流程 Fig.3FlowofsolvingSAWfluctuationequationsusing coefficientdeterminantvalue 2SAW波动方程求解的速度分析 由上述波动方程的求解原理和算法可见,其实 质就是在反复不断地搜寻符合方程和边界条件下的 第3期俞红杰,等:声表面波波动方程求解的速度分析 波速.由于在搜根过程中的每一步都包含着许多复 杂的运算,计算判断需要花费大量的时间,所以要缩 短整个波动方程求解的时间,也即要加快它的求解 的速度,必须尽可能的减少搜根的总步数.下面分析 影响求解速度的主要因素.每一切型的波动方程的 求解所需的最大的总步数: N一Nl+(N2+N3)(13) 式中:N,N,N.分别为粗搜,确定细搜区间及细搜 所需的步数.为粗搜区问内可能出现的凹点的个 数,也就是细搜区间的个数. 一 般情况下N《N,N.,所以减少,N,N. 的值是提高求解速度的关键. 若细搜采用对分法,则: Ns===+M1? lg+1? lg (14) 其中:N.,N.分别为细搜,所需的步数(取整 数);Av3,Av3分别为,,求解精度;Av3,Av 为细搜区间. 在求解精度?.,Av.确定后,要减少N.,只 有减少细搜区间?.,Av.的值.当细搜区问的值 每缩少10倍,N.的值只减少6或8步,对提高求解 速度的效果并不十分的显着.若?.一Av.一 10m/s,假设Av3一Av3^分别为:100,10,1, 0.1m/s时,则N.的值分别是:34,28,20,14步. N…一?N+N(15) 式中:N为粗搜时未搜到凹点的各不同步长在整 个粗搜区间内搜索步数(取整数);N为粗搜的最 后一次在它的粗搜区间内搜索步数(取整数);N… 为粗搜所需的最大可能的步数,公式为 一 茎寿 一 其中:?V为粗搜最后一次的粗搜区问;为粗搜 的起始速度;为Av为粗搜的起始步长;q为粗搜的 总次数,q一1,2,3,…,. 当q一1时,N一/kV— l~(17) 当q?时…N一茎+ (]8) 2一,?V一,一Av,为粗搜终止时搜索 步长,其中 ?z一(19) 以上分析可知,可以通过设法减少搜索区间内 凹点的个数,减少粗搜的搜索范围?V和?V适 当选取Av以达到快速求解之目的. 3加快求解速度的若干措施 3.1缩短粗搜区间的速度范围AV.和减少细搜区 间的个数 AV一一分别为粗搜区间的起始 速度,终点速度.显然可以通过减小和增大来 减小?V的值. (1)利用相应波动模式的特点 对于各种不同的压电材料在相应的波动模式下 的粗搜区间,根据经验一般是一个给定的估算值,但 对于不同的切型,在各种不同的波的模式下,它们的 截止波速都不相同.例对于Rayleigh波来说,其特点 是有效介电常数,(s)虚部为零,此时对应的衰减系 数的8个根均为复数.因此在搜索计算过程中,一旦 出现实的衰减系数,即可设定此时的波速为搜索的 终止速度,这样在搜根过程中,可以动态的调整 的值,特别当截止波速比设定的小得多时,用它 作为将会使AV显着减少,这对于求解速度的提 高是非常有效的.如图4是石英Y切中[0.,90.,0.] 切型,,和衰减系数的其中一个根的虚部Im [刀"],波形图.从正确计算可知其相速度Vf一3 160m/s.从图中可见当一3299m/s时,它的刁? 其中一个根出现了实根,这也就是它的瑞利波的截 止波速.所以它的粗搜范围可从一般的3000,4 000m/s缩小到3000,3300m/s.用截止波速去 替代有时它还可以把其他模式出现的凹点去 除,以达到减少细搜区间数之目的,起到一举二得 的效果.如图5为铌酸锂当欧拉角为[1.,146.,86.] 切型的IHI,和衰减系数的其中一个根的虚部 ImEr]'],波形图.从图形可见其Rayleigh截止波 速为3609m/s,用它作为粗搜的终点速度,这样可 将搜索的凹点数由3个减为2个. (2)利用材料的连续性的特点 在分析材料的不同切向的SAW传播特性以及 浙江工业大学第35卷 0.4 0-3 0.2 0.1 0 33.23.43.63.84 v/(km?S) 图4石英[0.,90.,oo]切型IHsI,和ImEr/"] , 的曲线 Fig.4ThecurvesoflH,l,andIm["'],atthe [O.,90.,0.]ofquartz 33.23.43.63.84 v/(km?s) 图5铌酸锂[1.,146.,86.]切型ImEr]"],和 IH,I,的曲线 Fig.5ThecurvesofiH,l,andIm["'],atthe [1.,146.,86.]ofLiNbO. 切型的优化中,我们经常需要对大量相邻切型的波 速进行求解.由于压电介质的连续性,切型的微小变 化不可能引起压电材料参数的突变,所以波速的值 也不会有非常大的变化.根据这一特性,我们可以利 用上一切型求得的波速及其机电耦合系数的变化率 去限定下一切向波速求解的搜索区间,这样粗搜区 间将会成倍的缩短,求解速度也随之大大的加快. 如在求解硅酸镓镧(LGS)[1.,24.,89.]切型的相速 度r时,若已求得[1.,24.,88.]切型的Vr-二2979 m/s,机电耦合系数k-二0.136,根据机电耦合系 数,可调整该切向的?V约在(2980?30)m/s之 间,使粗搜区间的范围大为缩小,能较快的求得它的 相速度"Of-二2987m/s. 3.2合理选取粗搜的初始步长Av. 粗搜阶段初始步长?的选择,对于求解速度 起着重要的影响.如果取得太大,导致多次粗搜仍到 不到凹点,这样反而会增加用于无效的粗搜的循环 次数或增加细搜区间确定的难度;如果取得太小,也 会成倍的增加粗搜的次数.在对所以选取一个合理 的初始搜索步长值是十分重要.但由于材料不同,切 型不同,波速的变化可谓是千变万化,在确定初选步 长时,我们只能兼顾大部分切型所满足的规律,需经 过大量的实验,选择较为合适的值.一般可以选数十 米每秒为宜.同样在切型的优化中,可以根据上一切 型的机电耦合系数,动态的调整该切型的Av.的 值,以提高求解速度.此外,选用快速的算法和利用 材料的对称性的特点等,也有助于求解速度的提高. 4结论 针对SAW波动方程求解的边界条件系数行列式 值法,采用了粗搜和细搜相结合的算法.利用了相应 波动模式,材料的连续性和对称性等特点,采用尽量 缩短粗搜区间,合理选取初始步长和动态调整搜索步 长等措施,从求解的实践证明加快SAW求解的速度 的理论分析是正确的,快速求解的措施是有效的.当 然,若采用有效介电常数法,在所求的波模式确定后, 在它所在的区间,只可能出现一对零极点,只要合理 的选取特征标志,也能达到快速求解的目的. 参考文献: [1]DAVIDPM.Ahistoryofsurfaceacousticwavedevices[J]. InternationalJournalofHighSpeedElectronicsandSystems, 2000,10(3):553573. r2]DVOESHERSTOVMY,CHEREDNIKVI,CHIRIMANOV AP.Calculationofsurfaceacoucticwavesincrystalsusingthe globaloptirnizationgproceduer[J].RadiophysicsandQuantum Electronics,2000,43(9):719729. [3]李良儿,吉小军,施文康,等.声表面波波速快速求解的策略 [J].上海交通大学,2005,39(4):65666O. (责任编辑:刘岩)