导数练习题及答案

导数练习题及 一、选择题(每小题只有一个选项是正确的，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。) 1(已知某函数的导数为y′,12(x,1)，则这个函数可能是 ( ) A(y,ln1,x B(y,ln11,x C(y,ln(1,x) D(y,ln11,x 2((2009•江西)设函数f(x),g(x)，x2，曲线y,g(x)在点(1，g(1))处的切线方程为y,2x，1，则曲线y,f(x)在点(1，f(1))处切线的斜率为 ( ) A(4 B(,14 C(2 D(,12 3((2009•辽宁)曲线y,xx,2在点(1，,1)处的切线方程为 ( ) A(y,x,2 B(y,,3x，2 C(y,2x,3 D(y,,2x，1 4(曲线y,ex在点(2，e2)处的切线与坐标轴所围成三角形的面积为 ( ) A.94e2 B(2e2 C(e2 D.e22 5(已知函数y,f(x)，y,g(x)的导函数的图象如图，那么y,f(x)，y,g(x)的图象可能是( ) 6(设y,8x2,lnx，则此函数在区间(0，14)和(12，1)内分别 ( ) A(单调递增，单调递减 B(单调递增，单调递增 C(单调递减，单调递增 D(单调递减，单调递减 7(下列关于函数f(x),(2x,x2)ex的判断正确的是 ( ) ?f(x),0的解集是{x|0,x,2}; ?f(,2)是极小值，f(2)是极大值; ?f(x)没有最小值，也没有最大值( A(?? B(??? C(? D(?? 8(已知f(x),,x3,x，x?[m，n]，且f(m)•f(n),0，则方程f(x),0在区间[m，n]上( ) A(至少有三个实根 B(至少有两个实根 C(有且只有一个实根 D(无实根 9(已知函数f(x),x3，ax2，(a，6)x，1有极大值和极小值，则实数a的取值范围是( ) A(,1,a,2 B(,3,a,6 C(a,,3或a,6 D(a,,1或a,2 10(要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20cm，要使其体积最大，其高应为 ( ) A.2033cm B(100cm C(20cm D.203cm 11((2010•河南省实验中学)若函数f(x),(2,m)xx2，m的图象如图所示，则m的范围为 ( ) A((,?，,1) B((,1,2) C((1,2) D((0,2) 12(定义在R上的函数f(x)满足f(4),1.f′(x)为f(x)的导函数，已知函数y,f′(x)的图象如图所示(若两正数a，b满足f(2a，b),1，则b，2a，2的取值范围是 ( ) A((13，12) B((,?，12)?(3，，?) C((12，3) D((,?，,3) 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案填在题中的横线上。) 13((2009•武汉模拟)函数y,xln(,x),1的单调减区间是________( 14(已知函数f(x),x3,12x，8在区间[,3,3]上的最大值与最小值分别为M，m，则M,m,________. 15((2009•南京一调)已知函数f(x),ax,x4，x?[12，1]，A、B是其图象上不同的两点(若直线AB的斜率k总满足12?k?4，则实数a的值是________( 16((2009•淮北模拟)已知函数f(x)的导数f′(x),a(x，1)•(x,a)，若f(x)在x,a处取到极大 值，则a的取值范围是________( 三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字、演算步骤或证明过程。) 17((本小题满分10分)设a为大于0的常数，函数f(x),x,ln(x，a)( (1)当a,34，求函数f(x)的极大值和极小值; (2)若使函数f(x)为增函数，求a的取值范围( 18((本小题满分12分)已知函数y,f(x),lnxx. (1)求函数y,f(x)的图象在x,1e处的切线方程; (2)求y,f(x)的最大值; (3)设实数a,0，求函数F(x),af(x)在[a,2a]上的最小值( 19((本小题满分12分)设a,0，函数f(x),x,ax2，1，a. (1)若f(x)在区间(0,1]上是增函数，求a的取值范围; (2)求f(x)在区间(0,1]上的最大值( 20((本小题满分12分)已知函数f(x),1，ln(x，1)x.(x,0) (1)函数f(x)在区间(0，，?)上是增函数还是减函数,证明你的结论; (2)若当x,0时，f(x),kx，1恒成立，求正整数k的最大值( 21((2009•天津)(本小题满分12分)已知函数f(x),(x2，ax,2a2，3a)ex(x?R)，其中a?R. (1)当a,0时，求曲线y,f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率; (2)当a?23时，求函数f(x)的单调区间与极值( 命题意图:本小题主要考查导数的几何意义、导数的运算、利用导数研究函数的单调性与极值等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想( 22((2010•保定市高三摸底考试)(本小题满分12分)已知函数f(x),lnxx，ax,1(a?R) (1)求函数f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线方程; (2)若f(x)?0在区间(0，e2]上恒成立，求实数a的取值范围( 答案: 一、1答案:A 解析:对选项求导((ln1,x)′,11,x(1,x)′,11,x•12(1,x),12•(,1),12(x,1). 2答案:A 解析:f′(x),g′(x)，2x. ?y,g(x)在点(1，g(1))处的切线方程为y,2x，1， ?g′(1),2，?f′(1),g′(1)，2×1,2，2,4， ?y,f(x)在点(1，f(1))处切线斜率为4. 3答案:D 解析:y′,(xx,2)′,,2(x,2)2， ?k,y′|x,1,,2. l:y，1,,2(x,1)，则y,,2x，1. 4答案:D 解析:?y′,ex，?y,ex在点(2，e2)的导数为e2. ?y,ex在点(2，e2)的切线方程为y,e2x,e2. y,e2x,e2与x轴、y轴的交点分别为(1,0)和(0，,e2)，?S,12×1×e2,e22. 5答案:D 解析:由题意知函数f(x)，g(x)都为增函数，当x,x0时，由图象知f′(x),g′(x)，即 f(x)的增长速度大于g(x)的增长速度;当x,x0时，f′(x),g′(x)，g(x)的增长速度大于 f(x)的增长速度，数形结合， 6答案:C 解析:y′,16x,1x. 当x?(0，14)时，y′,0，y,8x2,lnx为减函数; 当x?(12，1)时，y′,0，y,8x2,lnx为增函数( 7答案:D 解析:由f(x),0?(2x,x2)ex,0?2x,x2,0?0,x,2，故?正确; f′(x),ex(2,x2)，由f′(x),0得x,?2， 由f′(x),0得x,2或x,,2， 由f′(x),0得,2,x,2， ?f(x)的单调减区间为(,?，,2)，(2，，?)( 单调增区间为(,2，2)( ?f(x)的极大值为f(2)，极小值为f(,2)，故?正确( ?x,,2时，f(x),0恒成立( ?f(x)无最小值，但有最大值f(2)( ??不正确( 8答案:C 9答案:C 解析:由于f(x),x3，ax2，(a，6)x，1，有f′(x),3x2，2ax，(a，6)( 若f(x)有极大值和极小值， 则Δ,4a2,12(a，6),0， 从而有a,6或a,,3 10答案:A 解析:设高为h，则半径为202,h2， 体积V,13πr2h,13π(202,h2)•h ,,13πh3，2023πh(0,h,20)， V′,,πh2，2023π. 令V′,0，得h,2033或h,,2033(舍去)， 即当h,2033时，V为最大值( 11答案:C 解析:f′(x),(x2,m)(m,2)(x2，m)2,(x,m)(x，m)(m,2)(x2，m)2 由图知m,2,0，且m,0，故0,m,2， 又m,1，?m,1，因此1,m,2 12答案:C 解析:由y,f′(x)的图象知，当x,0时，f′(x),0，函数f(x)是减函数;当x,0时，f′(x) ,0，函数f(x)是增函数;两正数a，b满足f(2a，b),1，f(4),1，点(a，b)的区域为 图中的阴影部分(不包括边界)，b，2a，2的意义为阴影部分的点与点A(,2，,2)连线 的斜率，直线AB、AC的斜率分别为12、3，则b，2a，2的取值范围是(12，3) 二、13答案:(,1e，0) 14答案:32 解析:令f′(x),3x2,12,0，得x,,2或x,2， 列得: x ,3 (,3，,2) ,2 (,2,2) 2 (2,3) 3f′(x) ， 0 , 0 ， f(x) 17 极值24 极值,8 ,1 可知M,24，m,,8，?M,m,32. 15答案:92 解析:f′(x),a,4x3，x?[12，1]，由题意得12?a,4x3?4，即4x3，12?a?4x3，4在 x?[12，1]上恒成立，求得92?a?92，则实数a的值是92. 16答案:(,1,0) 解析:结合二次函数图象知，当a,0或a,,1时，在x,a处取得极小值， 当,1,a,0时，在x,a处取得极大值，故a?(,1,0)( 三、17解析:(1)当a,34时，f′(x),12x,1x，34， 令f′(x),0，则x,2x，34,0，?x,94或14， 当x?[0，14]时，f′(x)>0，当x?(14，94)，f′(x)<0， 当x?(94，，?)时，f′(x)>0， ?f(x)极大值,f(14),12，f(x)极小值,f(94),32,ln3. (2)f′(x),12x,1x，a，若f(x)为增函数，则当x?[0，，?)时，f′(x)?0恒成立， ?12x?1x，a，即x，a?2x， 即a?2x,x,,(x,1)2，1恒成立， ?a?1. 18解析:(1)?f(x)定义域为(0，，?)，?f′(x),1,lnxx2 ?f(1e),,e，又?k,f′(1e),2e2， ?函数y,f(x)的在x,1e处的切线方程为: y，e,2e2(x,1e)，即y,2e2x,3e. (2)令f′(x),0得x,e. ?当x?(0，e)时，f′(x),0，f(x)在(0，e)上为增函数， 当x?(e，，?)时，f′(x),0，则在(e，，?)上为减函数， ?fmax(x),f(e),1e. (3)?a,0，由(2)知: F(x)在(0，e)上单调递增，在(e，，?)上单调递减( ?F(x)在[a,2a]上的最小值f(x)min,min{F(a)，F(2a)}， ?F(a),F(2a),12lna2， ?当0,a?2时，F(a),F(2a)?0，fmin(x),F(a),lna. 当a,2时，F(a),F(2a),0，f(x)min,f(2a),12ln2a. 19解析:(1)对函数f(x)求导数，得f′(x),1,axx2，1. 要使f(x)在区间(0,1]上是增函数，又要f′(x),1,axx2，1?0在(0,1]上恒成立， 即a?x2，1x,1，1x2在(0,1]上恒成立( 因为1，1x2在(0,1]上单调递减， 所以1，1x2在(0,1]上的最小值是2. 注意到a,0，所以a的取值范围是(0，2]( (2)?当0,a?2时，由(1)知，f(x)在(0,1]上是增函数， 此时f(x)在区间(0,1]上的最大值是f(1),1，(1,2)a. ?当a,2时，令f′(x),1,axx2，1,0， 解得x,1a2,1?(0,1)( 因为当0,x,1a2,1时，f′(x),0; 当1a2,1,x,1时，f′(x),0， 所以f(x)在(0，1a2,1)上单调递增，在(1a2,1，1)上单调递减( 此时f(x)在区间(0,1]上的最大值是f(1a2,1),a,a2,1. 综上所述，当0,a?2时，f(x)在区间(0,1]上的最大值是1，(1,2)a; 当a,2时，f(x)在区间(0,1]上的最大值是a,a2,1. 20解析:(1)f′(x),1x2[xx，1,1,ln(x，1)],,1x2[1x，1，ln(x，1)]( 由x,0，x2,0，1x，1,0，ln(x，1),0，得f′(x),0. 因此函数f(x)在区间(0，，?)上是减函数( (2)解法一:当x,0时，f(x),kx，1恒成立，令x,1有k,2[1，ln2]( 又k为正整数(则k的最大值不大于3. 下面证明当k,3时，f(x),kx，1(x,0)恒成立( 即证明x,0时(x，1)ln(x，1)，1,2x,0恒成立( 令g(x),(x，1)ln(x，1)，1,2x， 则g′(x),ln(x，1),1. 当x,e,1时，g′(x),0;当0,x,e,1时，g′(x),0. ?当x,e,1时，g(x)取得最小值g(e,1),3,e,0. ?当x,0时，(x，1)ln(x，1)，1,2x,0恒成立( 因此正整数k的最大值为3. 解法二:当x,0时，f(x),kx，1恒成立( 即h(x),(x，1)[1，ln(x，1)]x,k对x,0恒成立( 即h(x)(x,0)的最小值大于k. 由h′(x),x,1,ln(x，1)x2，记Φ(x),x,1,ln(x，1)((x,0) 则Φ′(x),xx，1,0， ?Φ(x)在(0，，?)上连续递增( 又Φ(2),1,ln3,0，Φ(3),2,2ln2,0， ?Φ(x),0存在惟一实根a，且满足:a?(2,3)，a,1，ln(a，1)， 由x,a时，Φ(x),0，h′(x),0;0,x,a时，Φ(x),0，h′(x),0知: h(x)(x,0)的最小值为h(a),(a，1)[1，ln(a，1)]a,a，1?(3,4)( 因此正整数k的最大值为3. 21解析:(1)当a,0时，f(x),x2ex，f′(x),(x2，2x)ex，故f′(1),3e. 所以曲线y,f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率为3e. (2)f′(x),[x2，(a，2)x,2a2，4a]ex. 令f′(x),0，解得x,,2a，或x,a,2. 由a?23知，,2a?a,2. 以下分两种情况讨论( ?若a,23，则,2a,a,2，当x变化时，f′(x)、f(x)的变化情况如下表: x (,?,2a)， ,2a (,2a，a,2) a,2 (a,2，，?) f′(x) ， 0 , 0 ， f(x) 极大值 极小值 所以f(x)在(,?，,2a)，(a,2，，?)内是增函数， 在(,2a，a,2)内是减函数( 函数f(x)在x,,2a处取得极大值f(,2a)，且f(,2a),3ae,2a. 函数f(x)在x,a,2处取得极小值f(a,2)，且f(a,2),(4,3a)ea,2. ?若a,23，则,2a,a,2.当x变化时，f′(x)、f(x)的变化情况如下表: x (,?，a,2) a,2 (a,2，,2a) ,2a (,2a，，?) f′(x) ， 0 , 0 ， f(x) 极大值 极小值 ?，a,2)，(,2a，，?)内是增函数，在(a,2，,2a)内是减函数( 所以f(x)在(, 函数f(x)在x,a,2处取得极大值f(a,2)，且f(a,2),(4,3a)ea,2. 函数f(x)在x,,2a处取得极小值f(,2a)，且f(,2a),3ae,2a. 22解析:(1)因为函数f(x)的定义域为(0，，?)，导函数f′(x),1,(lnx，a)x2， ?k,f′(1),1,a， 又f(1),a,1，即切点坐标为(1，a,1)， 所以，函数f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线方程为: y,(a,1),(1,a)(x,1)，即y,(1,a)x，2(a,1)( (2)结合(1)，令f′(x),0得x,e1,a，由对数函数的单调性知: 当x?(0，e1,a)时，f′(x),0，f(x)是增函数; 当x?(e1,a，，?)时，f′(x),0，f(x)是减函数( (?)当e1,a,e2时，a,,1时，f(x)max,f(e1,a),ea,1,1， 令ea,1,1?0，解得a?1，即,1,a?1， (?)当e1,a?e2即a?,1时，f(x)在(0，e2]上是增函数， ?f(x)在(0，e2]上的最大值为f(e2),2，ae2,1， 令2，ae2,1?0，解得a?e2,2，即a?,1， 综上可知，实数a的取值范围是a?1.