高二数学讲义：直线与方程

讲义：直线与方程 内容讲解： 1、直线的倾斜角和斜率： （1）设直线的倾斜角为 ，斜率为 ，则 .当 时，斜率不存在. （2）当 时， ；当 时， . （3）过 ， 的直线斜率 . 2、两直线的位置关系： 两条直线 ， 斜率都存在，则： （1） ∥ 且 ；      （2） ； （3） 与 重合 且 3、直线方程的形式： （1）点斜式： （定点，斜率存在）  （2）斜截式： （斜率存在，在 轴上的截距） （3）两点式： （两点）  （4）一般式： （5）截距式： （在 轴上的截距，在 轴上的截距） 4、直线的交点坐标： 设 ，则： （1） 与 相交 ；（2） ∥   ；（3） 与 重合 . 5、两点 ， 间的距离公式 原点 与任一点 的距离 6、点 到直线 的距离 （1）点 到直线 的距离 （2）点 到直线 的距离 （3）点 到直线 的距离 7、两条平行直线 与 间的距离 8、过直线 与 交点的直线方程为 9、与直线 平行的直线方程为 与直线 垂直的直线方程为 10、中心对称与轴对称： （1）中心对称：设点 关于点 对称，则 （2）轴对称：设 关于直线 对称，则： a、 时，有 且 ；        b、 时，有 且 c、 时，有 典型例题 例1. 已知直线(2m2＋m－3)x＋(m2－m)y＝4m－1． ① 当m＝    时，直线的倾斜角为45°． ②当m＝    时，直线在x轴上的截距为1． ③ 当m＝      时，直线在y轴上的截距为－ ． ④ 当m＝      时，直线与x轴平行．⑤当m＝      时，直线过原点． 变式训练1. （1）直线3y＋ x＋2=0的倾斜角是  （  ） A．30°    B．60°    C．120°    D．150° （2）设直线的斜率k=2，P1（3，5），P2（x2，7），P（－1，y3)是直线上的三点，则x2，y3依次是  （    ） A．－3，4    B．2，－3    C．4，－3    D．4，3 （3）直线l1与l2关于x轴对称，l1的斜率是－ ，则l2的斜率是  （  ） A．     B．－     C．     D．－ （4）直线l经过两点（1，－2），（－3，4），则该直线的方程是              ． 例2. 已知三点A（1，-1），B（3，3），C（4，5）. 求证：A、B、C三点在同一条直线上. 变式训练2. 设a，b，c是互不相等的三个实数，如果A（a，a3）、B（b，b3）、C（c，c3）在同一直线上，求证：a+b+c=0. 例3．直线 绕原点逆时针旋转 ，再向右平移１个单位，所得到的直线为(      ) （Ａ）   （Ｂ）   （Ｃ）   （Ｄ） 例4．（全国Ⅰ文）若直线 被两平行线 所截得的线段的长为 ，则 的倾斜角可以是①   ②   ③   ④     ⑤     其中正确的序号是          .（写出所有正确答案的序号） 例5.已知三角形的顶点是A(－5,0)、B(3,－3)、C(0,2) ，求这个三角形三边所在的直线方程. 例6.一条直线从点A(3,2)出发,经过x轴反射,通过点B(－1,6),求入射光线与反射光线所在的直线方程 例7、已知点A(－3,5) 和B(2,15) , 在直线l： 3x－4y+4=0上找一点P, 使|PA|+|PB|最小, 并求这个最小值. 例8、在等腰直角三角形中,已知一条直角边所在直线的方程为2x-y=0,斜边的中点为A(4,2),求其它两边所在直线的方程. 例9、求过点P(－5,－4)且与坐标轴围成的三角形面积为5的直线方程. 例10、已知点A(2,5)与点B(4,－7),试在y轴上求一点P,使及 的值为最小. 例11、过点A(0,1)做一直线 ,使它夹在直线 :x-3y+10=0和 :2x+y-8=0间的线段被A点平分,试求直线 的方程. 巩固训练 1、直线(2m2-5m-3)x-(m2-9)y＋4=0的倾斜角为 ，则m的值是              （    ） A、3        B、2          C、-2          D、2与3 2、点(a,b)关于直线x+y=0对称的点是                              (    ) A、 (－a,－b)        B 、 (a,－b)        C、 (b,a)        D、 (－b,－a) 3、已知l 平行于直线3x+4y－5=0, 且l和两坐标轴在第一象限内所围成三角形面积是24,则直线l的方程是        (    ) A、3x+4y－12 =0          B、 3x+4y+12 =0      C、 3x+4y－24=0          D、 3x+4y＋24=0 4、若直线l经过点(1,1),且与两坐标轴所围成的三角形的面积为2,则直线l的条数为                                                          (    ) A、1                B、2              C、3                D、4 5、已知菱形的三个顶点为（a,b）、（－b,a）、（0，0），那么这个菱形的第四个顶点为                                                      （    ） A、(a－b,a＋b)      B、(a＋b, a－b)      C、(2a,0)        D、(0,2a) 6、若点(4，a)到直线4x-3y=1的距离不大于3，则a的取值范围是（    ） A、                           B、(0，10) C、                         D、(-∞，0 10，＋∞) 7、过定点P(2,1)作直线l,交x轴和y轴的正方向于A、B，使△ABC的面积最小，那么l的方程为                                              （    ） A、x-2y-4=0      B、x-2y+4=0      C、2x-y+4=0      D、x+2y-4=0 8、若直线Ax＋By＋C=0与两坐标轴都相交，则有（    ） A、A·B0      B、A0或B0      C、C0      D、A2＋B2=0 9、已知直线 1：3x＋4y=6和 2：3x-4y=-6，则直线 1和 2的倾斜角是（    ） A、互补      B、互余        C、相等      D、互为相反数 10、直线(2m2-5m-3)x-(m2-9)y＋4=0的倾斜角为 ，则m的值是（    ） A、3        B、2          C、-2          D、2与3 11、△ABC的一个顶点是A(3,-1),∠B、∠C的平分线分别是x=0,y=x，则直线BC的方程是                                                    （    ）      A、y=2x+5        B、y=2x+3        C、y=3x+5        D、y=- 12、直线kx－y=k－1与ky－x=2k的交点位于第二象限，那么k的取值范围是(    ) A、k＞1    B、0＜k＜       C、k＜     D、 ＜k＜1 13、直线(m+2)x+ 在x轴上的截距是3,则实数m的值是(      ) A、     B、6  C、-     D、-6 14、若平行四边形三个顶点的坐标为(1，0)，(5，8)，(7，4),则第四个顶点坐标为    。 15、平行线3x＋4y－7=0与3x＋4y＋8=0截直线x－7y＋19=0所得线段的长度等于____________. 16、已知点 在直线 上，则 的最小值为          17、 一直线被两直线 截得线段的中点是 点，当 点为 时，求此直线方程