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有理数集的可列性和稠密性及其应用

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有理数集的可列性和稠密性及其应用有理数集的可列性和稠密性及其应用 第 16 卷第 5 期 高 等 数 学 研 究 16 , .5 . Ё 3 201 年 9 月 ., 3 201 有 理 数 集 的 可 列 性 和 稠 密 性 及 其 应 用 胡绍 宗 ( 阜阳 师范学 院 数 学系 , 安徽 阜阳 41 60 23 ) 摘 要 介绍关 于有理 数集可 列性和 稠密性 的一种 证明方法 , 并 借助实 例说明 这两种 看似互 斥的性 质在实 分 析中的 一些应 用 . 关 键词 有 理数集 ; 可 列集 ; 稠密集 ; 一 一对应 中 图分...
有理数集的可列性和稠密性及其应用
有理数集的可列性和稠密性及其应用 第 16 卷第 5 期 高 等 数 学 研 究 16 , .5 . Ё 3 201 年 9 月 ., 3 201 有 理 数 集 的 可 列 性 和 稠 密 性 及 其 应 用 胡绍 宗 ( 阜阳 师范学 院 数 学系 , 安徽 阜阳 41 60 23 ) 摘 要 介绍关 于有理 数集可 列性和 稠密性 的一种 证明方法 , 并 借助实 例说明 这两种 看似互 斥的性 质在实 分 析中的 一些应 用 . 关 键词 有 理数集 ; 可 列集 ; 稠密集 ; 一 一对应 中 图分类 号 1 74 1 . 文献 标识码 文章编 号 04 ? 18 00 ? 3 05 201 99 13 ) ( ? 08 10 定义 1 设 , 上的两 是直线个 点 集 , 如 果 实数 , 且 < , 有有理数 则必 , 适合 < < . 中必有 个点的任何邻域 每 中 的点 ( 或 中 的 任 何 事实上 , 设 开区间中必有 的点 ) , 么称 那 在 密 中稠 . 当{} ( 基本有理数列 ) , = 是 全直线时 , 即 线上处处稠密时 在全直 , 那么称= {} ( 理数列 基本 有 ) , 密集 是稠 .由 { } < { } , 必有正有理数 δ 整数 和正 , 当 使得 例如 , 体是稠密集 有理数全 , 见定理 证明 2 .时 , 有 δ . 又因 {} 及{} 有 是基本 ? - > 定义 2 设 是直线 上 的 点 集 . 若 任 何 开 区 间 理数列 , 必有 1 > , 使得当 , > 1 时 , 有 ( , ) 存 中 在 开 区 间 ( ′ , ′ ) 炒 ( , ) , 且 在 ( ′ , ′ ) δ δ , . - < - < 4 4 有 中没 的点 , 则称 稠密集 是疏朗集或称无处 . 不妨取 例如 , 体是无处稠密集 正整数全 . δ 定义 3 凡 与 正 整 数 一 一 对 应 的 集 , 称 为 可 列- = , 1 2 集 , 换 句 话 说 , 可 列 集 的 一 切 元 素 可 以 用 正 整 数 编 这是有理数 , 当 且 ? 1 时 , 有 号 , 列的形式 使之成为无穷数 : 1 , 2, ,? , . δ - = - + > 定理 1 集是可列集 有理数 . 1 2 δ δ δ 证 明 把正有理数 既约分数 为 , 称 + - + = > 0 , 4 2 4 是 的高度 . 理数只有有 一高度的正有限 个 同 . 对 两 也即 有理数 个正 , 若其高 度 不 同 , 低 者 排 在 前 面 ; 若 高 度 {} > { } . 相同 , 面 值小者排在前 . 于是 , 理数集排为 可把正有 : 又当 ? 1 时 , 有 1 1 1 2 3 1 , 2 , , 3 , , , , 4 , ,δ 2 3 4 3 2 - = - - = 1 2 为 可把有理数集排 从而 δ ( ) + ( ) - - - > 1 1 1 1 1 1 1 2 0 , - 11 ,, - , , - 22 ,, - , , - 33,, 2 2 3 3 δ δ δ δ - - = > 0 , 定义 4 设 1 , 2, ,? , 都 是 有 理 数 . 假 如 4 2 4 理数 对 于任意的正有 ε , 有正整数 , 使当 ,> 也即 时 , 不等式 ε 成立 , 就称 {} 是基本 有 - < { } > {} . 列 理数 , 理数列是一个实数 并称基本有 . 综上可知 { ,} < { } < {} , 即 . < < 1 [ ] 定理 2 是稠密集 有理数集 . 有理 数 集 的 上 述 两 个 性 质 , 意 味 着 处 处 稠 密 的 有理 数 在 实 数 中 是 处 处 稠 密 的 , 就 是 任 何 两 个 密 有理数和无处稠 ( 或疏 朗 ) 的 正 整 数 “ 一 样 多 ” , 这 之间必有有理数 实数 . 换句话说 , 设 , 任意 是两 个 难 个表面看来令人以 置 信 的 事 实 , 充 分 说 明 了 要 判 伪 断数学命题的真 , 靠不住的 仅凭直觉是 . 收 稿 日 期 1 1 ? 0 3 2 ? 0 1 3 ; : 修 改 日 期 3 1 ? 0 2 7 ? 0 1 3 : 在数 学 各 领 域 中 , 许 多 问 题 的 解 决 或 理 论 的 推 作 者 简 介 : 胡 绍 宗 1 9 ( 2 9 - ) , 男 , 安 徽 颍 上 人 , 副 教 授 , 从 事 实 分 析 研 究 .3 7 1 5 1 7 8 8 3 @ : .个性质 理数集的这两 导都要借助于有 .第 16 卷第 5 期 胡 绍宗 : 有理 数集的 可列性 和稠密 性及其 应用 1 9 2 [ 2 ] 8 2 例 1 平 面 上 以 有 理 点 ( 即 坐 标 都 是 有 理 例 3 形如 证明( 1 ) 的一切 点 所 成 之 集 + 数 ) 为中心 , 半径的 有理数为园 称 为 有 理 圆 . 有 理 圆 在半直线 0 [ + , ? ) 上为稠密集 ( 切有理数 为一 ) . 是可列的 全体 . 的 上有理点集是稠密 平面 . 证明 察函数 考 2 证明 设{,} 点 为平面上的有理 , 先固定横( 1 ) , = + 或纵坐标 坐标 , 有理数的可列性 则由 , 知这样的有理 显间 然它是区 0 : ? < + ? 函 上严格增加的连续 可列个 点有 , 是可列集 列个可列集之并仍 再由可 , 知 1 0 : ? . 任取一点 0 1 , 作 数 , 而值域为 ? < + ? 可列集 上有理点全体为 平面 . 径 再固定半 , 则以有理 0 的任一邻域 ( 0 ε , 0 ε ) , 这里 ε 0 充 应取得- + > 中心的有理圆 有 点为 可 列 个 , 还 是 由 有 理 数 集 的 可 分小 , 域包含于 使这个邻 1 , 如果 0 0 , 域 用半邻 = 及可列个可列 集 列性 之 并 的 可 列 性 , 知 平 面 上 有 理 0 ( , ε ) 代 替 邻 域 . 以 下 证 明 上 述 邻 域 中 至 少 有 一 形 2 体所成 全 圆 之 集 是 可 列 集 . 对 平 面 上 任 一 点 如( 1 )( 有理数 是 ) 的点 . + 2 0 0 0 0 0 ( , ) , 作任意的 ε 邻 域 ( , ε ) , 即 以 为 由数 于函( 1 ) 续且严格增加 连 , 可 故 = + 心 中 , ε 为半径的开圆 . 密性 由有理数集的稠 , 轴 上 在 上找到点 1 和 2 ( 1 2 ) , 使 < 2 ε ε( 1 1 ) = 0 ε , + - 间 开区 ( 0 , 0 ) 有理数 内必有一 ′ , 即 - + 2 2 2( 2 1 ) = 0 ε , + + ε ε 性 由有理数的稠密 , 在 1 和 2 理 之间至少有一个有 0 ′ 0 , - < < + 2 2 点 , 记它为 : 12 , 调性可得 则由单 < < ε ε 2 2 2 0 0( 1 1 ) <( 1 ) <( 2 1 ) , 量 同 , 的开区间 轴上 ( - , + ) 内 也 必 有 + + + 2 2 也即 理数 一有 〃 , 即 2 0 ε( 1 ) < 0 ε . - < + + ε ε 0 〃 0 , - < < + 例 4 若 是 [ , ] 度可测集 上的正测 , 则 中 2 2 至少存在两点 , 为有理数 它们之间的距离 . 以 这样 0 为中心 , 2 ε 方形内有有理 为边长的开正 明 证 设λ 0 , 由 于 有 理 数 集 是 可 列 = > 点 ( ′ , 〃 ) , 而 此 开 正 方 形 包 含 于 开 圆 ( 0 , ε )( 因 的 , 故可将 01 () , 数依次排为 上的全部有理 2 2 1 , 2 ,,,方形的对角线长 开正 ( 2 ε ) + ( 2 ε ) = 2 ε , 恰好 0 用 1 将 表示 平移 1 所得之集 , 不 根据测度的平移 开 等于 圆 的 直 径 ) , 于 是 开 圆 ( , ε ) 内 有 有 理 点 变性 , 经 即可测集平 移 后 , 仍 为 可 测 集 且 测 度 不 变 , ( ′ , 〃 ) . 稠密的 面上有理点集是 所以平 . 2 [ 2 ] 9 便有1. 用 2 表示将 移 平 2 集 所得之 , 例 2 证 明 单 调 增 加 函 数 的 不 连 续 点 至 多 = 则 有2 =? .用示将 表 平移之 所得 可列个 只有 .证 明 设 ( ) 函数 为单调增加 , 点 是它的一 集 , 则有=? .上述每个 炒 [ , + 1 ] , 因此 连续点 个不 , 不连续点 调函数只有第一类 由于单 , 故 ? ( 0 ) , ( 0 ) 存在 , 有限 , 且 - +[ , 1 ] , ? 炒 + = 1 ( - 0 ) < ( + 0 ) .可 以证明 , 集 诸个集相交 中至少有两 , 事实上 , 如 令 与开区间 ( ( - 0 ) , ( + 0 )) 对应 . 设点 又 是 果 所有集两互不相交 两 , 加 么由测度的可列可 那 ( ) 一不连续点 的另 , 且, 则有 > 性 , 有 ( + 0 ) < ( - 0 ) ,? ? 从 而 ( ( - 0 ) , ( + 0 )) 与 ( ( - 0 ) , ( + 0 )) 不 ( ?) = = ? = 1 = 1 相交 , 这样单增函数 ( ) 与 连续点所成之集 不 轴λ λλ? , + + + + = 开区间所成之集 个由互不相交的 上某 一一对应 . 调性 但又由测度的单 , 有 面证明集 下 可列 至多 , 事 实 上 由 有 理 数 的 稠 ? ( ?) ? [ , 1 ] = 1 , + + - 密性 , 可在 理数做代表 个开区间内取一有 中的每 , = 1 于是产生矛盾 , 所 以 诸 集中 存 在 这 样 两 个 集这些开区间是 互 因为 不 相 交 的 , 从 而 所 取 出 的 有 理 和 ( ) , ? . 设 , 则 互不相等的 数是 , 样 这 与 有 理 数 集 的 一 个 子 集? ? ? ? ? ξ ,, 对应 一一 , 集 是 而有理数 可 列 的 , 因 此 至 多 可 列 , ? ? ξ ξ 进而 至多可列 , 于是单增函数 ( ) 的不连续点至 存在 , ? 得 使 有可列个 多只 . = + , = +, ξ ξ高 等 数 学 研 究 013 2 年 9 月 2 0 从而 到 的一一对应 . 事实上 , 若有 1 , 2 , 1 2 , ? ? + = +, 而有 因此 , , , = = = 1 2 1 2 1 2-= - ? 0 , 则由式 1 () 及 1 ? 2 , 可得 说明至少存在两 个 不 这就 同 的点, , 它 ( 2 ) - ( 1 ) <( 2 1 ) , ? ?- 1 间的距离 们之 ( , ) =- 理数 是有 . ρ ( 1 ) - ( 2 ) <( 1 2 )- 2 3 [ ] 例 5 证明存在 可 列 个 开 球 , 使 任 一 开 集 都 同时成立 , 但由 , 成 上面两式不能同时 可知 = 1 2 中某些开球的并 为这可列个开球 可表 . 立 , 一一的 明了上述对应是 这一矛盾说 . 于是 多 至 证 明 在 ? 点 中取以有理 ( 个坐标都是有 可列 . 类似可证 可列 至多 , 故 至多可列集 为 . 理数 ) 为中心 , 以有理数 为半径的开球 ( , )( 称 例 7 设 心在点 为中 的开 单 位 圆 , 作 半 径 理开球 为有 ) . 由有 理 数 集 是 可 列 的 , 又 由 例 1 知 平 1 π 为 同心圆周 的 , 圆周 再作中心在 上 , 半径为 3 3 有理点集是可 列 面上 的 , 应 用 数 学 归 纳 法 及 可 列 个 圆族 的一切可能的开 , 这 些 开 圆 组 成 集 的 无 限 覆 集之并仍是可列 集 可列 这 个 性 质 , 可 证 得 维 有 理 盖 . 覆盖 盖中可选出可列 证明从此覆 . 也是可列的 点集 , 进 而 再 利 用 有 理 数 集 的 可 列 性 及 证明 设 圆 周 的 半 径 向 量 与 某 固 定 半 径 所 可 列 个 可 列 集 之 并 的 可 列 性 ,又 推 得 有 理 开 球 成的角是 απ , 当 α 是 有 理 数 时 , 就 称 圆 周 上 的 这 点 ( , ) 有可列个 . ( 半径向 量 的 终 点 ) 为 有 理 点 . 这 样 , 有 理 数 集 与 圆 任 取开集 ? ? , 对每一点 ? , 存在 的邻 周 点集构 上的有理 成 一 一 对 应 . 因 此 由 有 理 数 集 域 ( ) 炒 , 数集的稠密 由有理性 , 又 由 例 1 知 平 性 的可列性和稠密 , 推 得 圆 周 上 有 理 点 集 的 可 列 性 有理点集的稠密 面上 , 法 应用数学归纳 , 可证 维 性和稠密性 . 点集是稠密的 理 有 , 此 据 , 存 在 有 理 开 球 ( 0 , 0 ) , 由于圆周 上 有 理 点 集 的 可 列 性 , 因 而 以 圆 周 得 使 ? ( 0 , 0 ) , 且 ( 0 , 0 ) 炒 ( ) . 于 是 这 2 有理开球既覆盖 一切 又 含 于 , 因 而 就 是 这 可 有理点为中心 的 , 以 的开圆有可列个 为半径 . 现 3 有理开球之并 列个 . 来 证从 可 样的可列个开圆即 覆盖中分出这 的无限 例 6 设 ( ) 是定义在 ( , ) 上 的 函 数 , 则 其 覆盖 . 事实上 , 对 于 任 意 的 点, 设 它 到 点 ? 左 、 多可列集 相等的点构成一至 右导数存在而不 . 的 距离是 ( < 1 ) , 且射线与圆周 交于点 0 , 证明 不妨令 这时有 = { : ? ( , ) , ′ + ( ) ? ′ - ( } ) ,1 2 = { : ? ( , ) , ′ + ( ) < ′ - ( } ) ,0 . = - < 3 3 = { : ? ( , ) , ′ + ( ) > ′ - ( } ) ,2 若 0 点 是有理 , 则中心在点 0 、 半径为 包 的开圆 则有 = ? . 要证 至多可列 , 只要证 及 皆 3 可列 至多 . 现证 多可列 至 . 0 含点 ; 若 理点 是无 , 利 用 圆 周 上 有 理 点 的 稠 对任一 ? , 性 由有理数集的稠密 , 可选有理 密 性 , 圆周 可在 上找出 0 点 近的这样的一有理 附 数使 2 1 , 使 0 1 1 , 则中心在 1 点 、 半径为 开 的 < - 3 ′ + ( ) << ′ - ( ) , 有理数 再选及( ) , 使 圆包含点 . 因为由三角不等式 这是 , 有 < < < ( , 1 ) ? ( , 0 ) + ( 0 , 1 ) ? ( ) - ( ) ρ ρ ρ ( ) , > < < - 1 2 ( ) + 1 ( ) = , - - ( ) - ( ) 3 3 ( ) , < < < - 于是 , 中的某圆内 所选可列个开圆 的每一点含于 . 上述两式 合并 , 得 参考文 献 ( ) - ( ) < ( - ) 1 [] 夏道 行 , 吴卓人 , 严 绍 宗 , 等 . 实 变 函 数 论 与 泛 函 分 析 : 上 ( , ) . 1 ) ( ? < < 册 [ ] . 北京 : 人 民教育出 版社 57 ? 956 197 . : , 可列的 三维有理点集是 由于 , 而 2 [] 程其 襄 , 张 奠 宙 , 魏 国 强 , 等 . 实 变 函 数 与 泛 函 分 析 基 础 { (,,) :,,数 为有理 ,} = ? [ ] . 北京 : 高等 教育出版 社 9 2 ? 0128 20 . : , 子集 为其 , 可列 当然至多 . 3 [] 盖尔 鲍姆 . 实分 析习题 及解 答 [ ] . 西 安 : 陕 西 人 民 教 育 令 与有理数组 (,,) 对应 , 应为 则此对 ( 下 转 第 5 0 页 ) 出版 社 8810 19 :. ,
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