数学八年级上册

方法.显然,根据前三个方程式,可得出x=y=z.由于3n=x+y+z+6减去第四个方程,得到 n=3,因此x+2=3,所以x=1.全部答案可由x值求得. 由于动物只数通常是正整数(谁养的猫是用分数来表示只数的?),可以把奎贝尔教授的动物问题看作所谓刁番图问题的一个平凡例子.这是一个其方程解必须是整数的代数问题.一个刁番图方程有时无解,有时只有一个解,有时有不止一个或个数有限的解,有时有无穷多个解.下面是一个难度稍大的刁番图问题,同样也与联立方程和三种不同的动物有关. 一头母牛价格10元钱,一头猪价格3元钱,一头羊价格0.5元钱.一个农夫买了一百头牲口,每种至少买了一头,总共花了100元钱,问每种牲口买了多少头? 令x为母牛的头数,y为猪的头数,z为羊的头数,可以写下如下两个方程式: 10x+3y+z/2=100 x+y+z=100 把第一个方程中的各项都乘以2消去分数,再与第二个方程相减以便消去z,这样得到下列方程式: 19x+5y=100 x和y可能有那些整数值?一种解法是把系数最小的项放到方程的左边:5y=100-19x,把两边都除以5得到: y=(100-19x)/5 再把100和19x除以5,将余数(如果有的话)和除数5写成分数的形式,结果为: y=20-3x-4x/5 显然,表达式4x/5必须是整数,亦即x必须是5的倍数.5的最小倍数既是其自身,由此得出y的值为1,将x,y的值带入任何一个原方程,可得z等于94.如果x为任何比5更大的5的倍数,则y变为负数.所以,此题仅有一个解:5头母牛,一头猪和94头羊.你只要把这个问题中牲口的价钱改变一下,便可以学到许多初等刁番图分析的知识.例如,设母牛价钱为4元钱,猪的价钱为2元钱,羊的价钱为三分之一元钱,一个农夫准备花一百元钱买一百头牲口,并且每种牲口至少买一头,试问他每种牲口可以买多少头?关于这一问题,恰好有三种解.但是如果母牛价钱为5元钱,猪的价钱为2元钱,羊0.5元钱呢?那就无解. 刁番图分析是数论的一大分支,其实际应用范围极广.有一个著名的刁番图问题,以 nnn费马最后定理而著称:设有方程x+y=z,其中n是大于2的正整数,问此方程是否有整数 222解(如果n=2,则称此为毕达格拉斯三元数组,具有自3+4=5起始的无穷多组解)?这是一个最著名的数论问题,已经由英国数学家安德鲁.威尔斯解决,他用于解决此问题的方法可以说是大大出乎人们的意料,他应用了一种叫做椭圆函数的理论,实际上,他证明的并不是方程本身,而是在椭圆函数领域中另一个著名的猜想: 谷山-志村猜想.由于椭圆函数的模形式与费马最后定理同构,所以,等于是从侧面攻破了这个300多年的大难题. ?高斯猜想 大数学家高斯是第一个把有理数的数论推广到代数数的数论中。如m是一个不含平方因子的整数，则m是无理数或虚数，有理数经过加、减、乘、除(0不做除数)后仍 m然是有理数，我们称有理数的集合为有理数域。把有理数全体再加上以后，经加、减、乘、除之后，所得的数全体称为二次代数数域，m>0时称为实代数数域，m<0时称虚二次数域。代数数域中有一部分数相当于有理数域中的整数，我们称为代数整数。当m 为4k+2和4k+3型的整数时，这些整数可以写为a+bm。通常整数有一个最基本的性质，就是它能惟一分解成素数的乘积。但是，对于代数整数来说，这就不一定成立。例 ,5如，添加的虚二次数域中，代数整数就有两种素因子分解的方法: 6,(1，,5)(1,5),2,3 可是有哪些二次数域，惟一因子分解定理成立,对于虚二次数域，这个问题已经解决，一共有9个虚二次数域，惟一因子分解定理成立。但是对于实二次数域，惟一因子分解定理成立的域就相当多，但是有多少还没有确定下来。高斯猜想，有无穷多。这个猜想有近200年历史，至今既没有证明，也没有反证。对于一般的代数数域，这也就是最基本的类数问题。 数学家故事 ?数学神童维纳的年龄 20世纪著名数学家诺佰特?维纳，从小就智力超常，3岁时就能读写，14岁时就大学毕业了(几年后，他又通过了博士论文答辩，成为美国哈佛大学的科学博土( 在博士学位的授予仪式上，执行主席看到一脸稚气的维纳，颇为惊讶，于是就当面询问他的年龄(维纳不愧为数学神童，他的回答十分巧妙:“我今年岁数的立方是个四位数，岁数的四次方是个六位数，这两个数，刚好把十个数字0，1，2，3，4，5，6， 7，8，9全都用上，且不重不漏(这意味着全体数字都向我俯首称臣，预示我将来在数学领域里一定能干出一番惊天动地的大事业(” 维纳此言一出，四座皆惊，大家都被他的这道妙题深深地吸引住了(整个会场上的人，都在议论他的年龄问题( 其实这个问题不难解答，但是需要一点数字“灵感”(不难发现，21的立方是四位数，而22的立方已经是五位数了，所以维纳的年龄最多是21岁;同样道理，18的四次方是六位数，而17的四次方则是五位数了，所以维纳的年龄至少是18岁(这样，维纳 的年龄只可能是18，19，20，21这四个数中的一个( 剩下的工作就是“一一筛选”了(20的立方是8 000，有重复数字0，不合题意，同理，19的四次方等于130 321，21的四次方等于194 481，都不合题意(最后只剩下一个18，是不是正确答案呢?验算一下，18的立方等于5 832，四次方等于104 976，恰好“不重不漏”地用完了十个阿拉伯数字，多么完美的组合! 这个年仅18岁的少年博士，后来果然成就了一番大事业，他成为信息论的先驱和控制论的奠基人( 专题研究方案 ?平均何所指 在资讯不断膨胀的今天，我们经常有机会接触到与统计有关的信 息。由于平均数具有总结大量数据的简便效应。因此屡屡见诸报纸和 其他传播媒介。其实，平均数可分为三大类:算数平均数，中位数和 众数。很可惜，一般的报纸并没有仔细说明，只让读者各自去理解。 在决定采用那种平均时，统计者必须考虑每种平均本身的特点是否适合于某种处境的描述上，一般而言，有关收入的统计若以中位数作平均，可说是较为公平的说法。无论该地区的财富收入如何分布，中位数总会让我们知道半数人口的收入低于何等水平。在财富收入不均的社会里，其余两种平均最好作劳资双方讨价还价之用。当资方以平均工资偏高(少数特高薪金可将算术平均值拉高～)为理由去冻结加薪时，劳方可用众数作为平均来说明“劳苦大众”的平均工资是偏低的。 在日常生活里，平均意念在广泛地使用。加强对各种平均数的认识，应有助于我们掌握更准确的信息。 ?桥址选在何处 放暑假后的一天，肖楠随爸爸回老家探亲，老家在四川省的一个偏辟山区。从小在城市长大的肖楠，不止一次地听爸爸描述过家乡的山村美景，描述过清水河上爷爷撑船摆渡，描述过满山黄澄澄的袖子和新奇的特产。肖楠多次梦回故乡，在河上帮爷爷撑船摆渡。 经过两天的跋涉，父子俩来到了日夜向往的清水河边，爷爷正在渡口张望。肖楠兴奋地跳上了小船，看看这儿，摸摸那儿，不断地打断爷爷和爸爸的谈话，问这问那，对爷爷说:“爷爷，明天您教我撑船，我跟您学撑船摆渡!”爷爷哈哈大笑:“怎么?我的乖孙子要当爷爷的接班人啦?”转过头来对爸爸说:“村长已经等了你好几天啦，他要请你这桥梁设计专家帮着选个桥址，等汛期过后好动工呢。这已列入了咱村的发展规划。”爸爸顺着爷爷指的方向，向四周察看着。 正说着，村长和支书来到了船上，爸爸一一向肖楠介绍。村长他们和爸爸说起修桥选址的事，爷爷撑着船沿河而下，大家在船上察看着地形。肖楠帮着爷爷忙活。爸爸详细地询问着情况，并不时地在早已准备的图纸上划着、写着。 “肖楠!你过来!”肖楠听见爸爸叫，便来到了小桌旁。“你来帮着选个桥址，把需要的数据都写在纸上了!”“我?”肖楠瞪大了眼睛看着周围的人，村长、支书鼓励地点点头。爷爷把船停好，笑眯味地看着肖楠。 肖楠坐下来。爸爸指着草图(图1)向他解释:“A点是北村，北村到河边的最短距离是330米，D点是咱们南村，南村到河边的最短距离是630米，南村较北村偏东720米。要选的桥址应距两村一样远。” 爸爸长他们下船了，船上只剩下肖楠和爷爷，爷爷默默地坐在一边抽烟，肖楠在图上比划着，思考着。 只见肖楠从书包里拿出了一张白纸和一支铅笔，在白纸上打草，画出了图2。 肖楠画完了，站起来伸了伸腰，向爷爷点了点头。爷爷高兴地向村长招招手，大家围过来。肖楠满有把握地说:“桥址应该定在这儿～”肖楠用铅笔指着图上EF处，“这里在咱们南村北向西160米处。”。肖楠抬头看了看大家，只见村长、支书赞许地点点头，只有爸爸仔细地审视着草图，头也不抬地说:“说说理由。” 肖楠指着草图:“为了节省材料，这个桥应该建成正南正北的，这样桥身最短。按照桥到两村的距离一样远的协议，我们不妨先在河南量一段距离，让它和北村到河边的距离一样远，即图2上取CA′,AB,330米。为了让桥到两村等距离，就是草图上DF,AE，可以先联结A′D，取中点H，做垂直平分线交PC(河南岸)于F，则F应为要选的桥址。可以算出两村到河边的距离是650米。” 爸爸、爷爷笑了，村长称赞道:“楠楠的数学学得不错，将来可以接你爸爸的班，当个设计师。” 亲爱的朋友，你知道肖楠是怎么算出来的吗,有兴趣的同学不妨看看下面的证明。 由于:DP?CP，A′C?CP，A′F,DF 由勾股定理得: 2222222222 A′F,A′C，FC，DE,PF，PD，A′C，FC,PF，PD 设PF,米，则FC,(720,)，代入上式，解得:,160米。 xxx 22米。 DF,PD，PF,650 由?ABE??A′CF，得:AE,A′F，AE,DF ?概率论 概率论是研究随机现象数量规律的数学分支。 随机现象是指这样的客观现象，当人们观察它时，所得的结果不能预先确定，而只是多种可能结果中的一种。在自然界和人类社会中，存在着大量的随机现象。例如，掷一硬币，可能出现正面或反面;测量一物体长度，由于仪器及观察受到环境的影响，每次测量结果可能有差异;在同一工艺条件下生产出的灯泡，其寿命长短参差不齐;等等。这些都是随机现象。随机现象的实现和对它的观察称为随机试验，随机试验的每一可能结果称为一个基本事件，一个或一组基本事件又通称随机事件，或简称事件。事件的概率则是衡量该事件发生的可能性的量度。虽然在一次随机试验中发生某个事件是带有偶然性的，但那些可以在相同条件下大量重复的随机试验却往往呈现出明显的数量规律性。人们在长期实践中已逐步觉察到某些这样的规律性，并在实际中应用它。大数定律及中心极限定理就是描述和论证这些规律的。在实际中，人们往往还需要研究在时间推进中某一特定随机现象的演变情况，描述这种演变的就是概率论中的随机过程。研究随机过程的统计特性，计算与过程有关的某些事件的概率，特别是研究与过程样本轨道(即过程的一次实现)有关的问题，是现代概率论的主要课题。总之，概率论与实际有着密切的联 系，它在自然科学、技术科学、社会科学、军事和工农业生产中都有广泛的应用。概率论还是数理统计学的理论基础。 发展简史。概率论有悠久的历史，它的起源与博奔问题有关。16世纪，意大利的的一些学者开始研究掷银子等赌博中的一些简单问题，例如:比较掷两个银子出现总点数为9或10的可能性大小。17世纪中叶，法国数学家B(帕斯卡、P(de费马及荷兰数学家C(惠更斯基于排列组合的方法研究了一些较复杂的赌博问题，他们解决了“合理分配赌注问题”(即“得分问题”)、“输光问题”等等。其方法不是直接计算赌徒赢局的概率，而是计算期望的赢值，从而导致了现今称之为数学期望的概念。使概率论成为数学的一个分支的真正奠基人则是瑞士数学家雅各布第一?伯努利，他建立了概率论中第一个极限定理，即伯努利大数律。拉普拉斯对概率论的发展贡献很大。他在系统总结前人工作的基础上，写出了《概率的分析理论》(1812年出版)。在这一著作中，他首次明确规定了概率的古典定义(通常称为古典概率)，并在概率论中引入了更有力的分析工具，如差分方程、母函数等，将概率论推向一个新的发展阶段。到20世纪30年代，有关独立随机变量序列的极限理论日臻完备。在这期间，由于实际问题的需要，人们开始研究随机过程。1905年A(爱因斯坦和R(斯莫卢霍夫斯基各自独立地研究了布朗运动。1907年马尔可夫提出了现今称之马尔可夫链的概念;而马尔可夫过程的理论基础则由柯尔莫哥洛夫在1931年所确定。莱维建立了独立增量过程的一般理论。他的著作《随机过程与布朗运动》(1948)至今仍是随机过程理论的一本经典著作。现代概率论的另外两个代表人物是J(L(杜布和伊藤清，前者创立了鞅论，后者创立了布朗运动和随机积分理论。 应用。在物理学方面，高能电子或核子穿过吸收体时产生级联(或倍增)现象，在研究电子一光子级联过程的起伏问题时，要用到随机过程，常以泊松过程、弗瑞过程或波伊亚过程作为实际级联的近似，有时还要用到最新过程的概念。湍流理论以及天文学中 的星云密度起伏、辐射传递等研究要用到随机场的理论。 化学反应动力学中，研究化学反应的时变率及影响这些时变率的因素问题，自动催化反应，单分子反应，双分子反应及一些连锁反应的动力学模型等，都要以生灭过程来描述。 随机过程理论所提供的方法对于生物数学具有很大的重要性，许多研究工作者以此来构造生物现象的模型。研究群体的增长问题时，提出了生灭型随机模型，两性增长模型，群体间竞争与生勉模型，群体迁移模型，增长过程的扩散模型等。 许多服务系统，如电话通信，船舶装卸，机器损修，病人候诊，红绿灯交换，存货控制，水库调度，购货排队，等等，都可用一类概率模型来描述。这类概率模型涉及的过程叫排队过程，它是点过程的特例。 概率论进入其他科学领域的趋势还在不断发展。值得指出的是，在纯数学领域内用概率论方法研究数论问题已有很好的结果。在社会科学领域，特别是经济学中研究最优决策和经济的稳定增长等问题，也大量采用概率论方法。 ?数学与折纸 我们中的大多数人都有过折纸的经历，只是折叠后便收了起来。只有少数人折纸，是为了研究其间所揭示的数学思想。折纸是一项教育与娱乐两者兼备的活动。连L?卡洛尔也是一位折纸的热心者。虽然折叠纸张超越了许多文化，但日本人却把它作为一种交谊的途径，闪通过普及和发展，使之成为一门称之为“折纸”的艺术。 纸张折出的一些数学形体 当折叠纸张的时候，很自然地会出现许多几何的概念。诸如:正方形、矩形、直角三角形、全等、对角线、中点、内接、面积、梯形、垂直平分线、毕达哥拉斯定理及其他一些几何和代数概念。 下面是一些折纸的例子， 它说明了上述概念的运用。 1) 从一个矩形式样的纸张，作成一个正方形(左图)。 由一张正方形的纸张，变成四个全等的直角三角形(右图)。 2) 找出正方形一条边的 中点(下图右)。 3) 在正方形的纸中内接一个正方形(下图左和中)。 4) 研究纸的折痕，注意内接正方形的面积是大正方形面积的1,2。 5) 拿一个正方形纸张折叠，使折痕 过正方形中心，便会构成两个全 等的梯形(下图左)。 6) 把一个正方形折成两半，那么折 痕将成为正方形边的垂直平分线(下图右)。 7) 证明毕达哥拉斯定理。 如下图折叠正方形纸: 2,正方形ABCD的面积。 c 2,正方形FBIM的面积。 a 2,正方形AFNO的面积。 b 由全等形状相配得: 正方形FBIM的面积,?ABK的面积。又AFNO的面积,BCDAK的面积(此即 正方形ABCD除?ABK外剩余部分的面积)。 222这样，。 a，b,c 8) 证明三角形内角和等于180?。 取任意形状的三角形，并沿图示的点划线(横的为中位线)折叠。 10)通过折切线构造抛物线。 程序: ——在离纸张一边一两英寸的地方，设置抛物线的焦点。如图所示的方法，将纸折20—30次。所形成的一系列折痕，便是抛物线的切线，它 们整体地勾画出曲线的轮廊。 数学?八年级下册 课本相关资料 数学家 ?柏拉图 柏拉图(PIato，公元前427—前347)是古希腊数学哲学 家、数学教育家，生于雅典附近的埃癸那(Aegina)岛，卒 于雅典。 柏拉图出生于雅典的显贵世家，他的父亲佩里斯顿 (Ariston)是雅典君主柯德罗斯(Kodros)的后裔，母亲城里克 蒂尼(Perictione)的远祖是希腊“七贤”之一棱伦(Solon)的兄弟。柏拉图原名亚里斯多柯斯(Aristocles)，意思是“最好最有名”。在他就学期间，体育老师见他身材高大，前额宽广，谈吐广博，给他起了绰号柏拉图，意为“大块头”。柏拉图从小接受了良好而全面的文化教育，他勤奋好学，多才多艺，在诗艺和数学方面尤为突出。 公元前407年，柏拉图20岁时拜年逾六旬的苏格拉底为师。他被老师的哲学思想所吸引，放弃了原来对文学、诗歌的爱好，把旧诗稿付之一炬，专攻哲学。苏格拉底是柏拉图心目中最敬仰的导师，无论是讲学还是外出，柏拉图总是形影不离地跟随着。后来，他在回忆这段生活时曾写道;“我感谢上帝，使我生活在苏格拉底时代，使我做了苏格拉底的学生。”柏拉图是苏格拉底最杰出的门生，苏格拉底事业的继承人。柏拉图深受老师逻辑思想的影响，这和他日后将几何奠基在逻辑的基础上很有关系。 公元前399年，苏格拉底被雅典重建的民主政体处以死刑。在这一打击下，柏拉图与其他一些同门子弟离开雅典，开始了为期12年的游历生涯。他首先去了科林斯海峡的麦加拉，苏格拉底的学生欧几里得(Eucleides)在当地创立了麦加拉学派。柏拉图进一步接受了其哲学影响。接着他去了金字塔之乡埃及。那里高度发展的官僚政治和制度，强行推行的教育制度和算术教育中的各种具体办法，以及天文、数学等领域中的成就，都给他留下了深刻的印象。离开埃及后柏拉图去了希腊殖民地昔勒尼，向著名的数学家西奥多罗斯(Theodorus)学习数学、天文学。公元前390年，他前往南意大利，在那里结识了毕达哥拉斯派的主要代表阿尔希塔斯(Archytas)、菲洛劳(Philolaus)等。柏拉图熟悉和研究了这个学派的组织初学说，并把它们融合到自己的理论体系中。 公元前387年，柏拉图在雅典城的西北郊创建了一所“学园”(Academy)。这所学园可以说是欧洲历史上第一所综合性的、传授知识、培养上层统治者和提供政治咨询的学校。在他的领导下，学园积极传授和研究数学、自然科学，成为当时希腊世界的学术研究中心。学生多来自上层社会，其父母经常给学园捐钱献款，学生不缴纳学费。柏拉图 还兼收女生，倡导男女平等。学生在学园接受百科全书式的教育，他们不仅钻研数学、哲学，而且还开展天文学、地理学、物理学和生物学等方面的研究。柏拉图一面从事学园的管理、教学，一面著书立说，前后达40年之久。在这期间，他曾两次离开雅典，前往叙拉古，游说他的政治理想，险遭不测，理想终成泡影。 柏拉图晚年更加倾向于毕达哥拉斯学派的数的神秘主义，将理念论与世界的数的结构联系起来，以数学理念描绘世界规律。公元前347年，他走完了人生的旅途(在—次欢乐的婚宴上，与世长辞，而与他的名字相联系的学园却历经沧桑，持续了9个多世纪。一直延续到公元529年才被东罗马皇帝查士丁尼(Justinian)所封。柏拉图的科学思想哺育了西方科学史上不少巨匠，对人类的思想发展产生厂巨大影响，他堪称“—代宗师，千古哲人”。他的弟子亚里士多德在悼词中说:“岿岿盛德(莫之能名。光风霁月，涵育贞明。有诵其文，有瞻其行。乐此盛世，善以缮生。”意思是说，柏拉图是如此崇高和伟大，人们甚至连想颂扬他也是困难的。他—生的道德、文章都已达到最高境界，又是一个仁慈和幸福的人、观在再也没有一个人。能够达到他这样高的成就了。 柏拉图在数学上的成就和贡献是多方面的。他的认识论、数学哲学和数学教育思想对于古希腊科学的形成和数学的发展，具有不可磨灭的推进作用。 他坚持严密定义与逻辑证明，促成了数学的科学化。他把数学概念当作抽象物，不依赖于经验而自有其实在性。他主张把知识用演绎系统整理出来，是第—个把严密推理法则加以系统化的人。数学上要求根据一些公认的原理作出演绎证明，是从柏拉图时代开始的。鉴于毕达哥拉斯学派在其对点的定义——点是有位置的单位——上不够明确，在关于线的定义上也遭到困难，柏拉图着力澄清这些基本概念，不再把点看成是构成平面和立体图形的“砖块”，而定义点是直线的开端。或点是不可分割的线、线是面之界。他还认为把点作为一类事物纯属几何虚构，这—思想已接受把点作为不可定义的原始概念了。柏拉图还阐明了负数的概念，对偶数、图形等定义也有过再三的推敲。他所作的 许多定义，也可能有一两条公理，被欧几里得采纳到《几何原本》中。他发展了分析的证明方法来代替希腊人所常用的综合法。在分析法中，假定特征的命题为真，然后由此推导出一些结论。若得出矛盾，则待证的命题不成立。若得出一个已知真理，则把分析步骤倒过来，于是命题得证。 柏拉图似乎已经意识到算术和几何之间存在的鸿沟。有人曾推测，他可能试图根据他关于数的概念以及在一个相当于19世纪独立于几何而制定的那种坚实的公理基础上建立的算术，在鸿沟上架起桥来。柏拉图最早提出一种确定构成直角三角形的一段长度 22的系统性方法。他指出，其长度以数字(n,1)、2n和(n，1)表示的三条线段构成直角三角形。 柏拉图的另—个重要成就是在科学工作中指明了数学的重要作用。他认为数学能激励心灵上升到最高的理性认识，是接受辩证法教育的阶梯。他在《菲利布》中指出，每门科学只有当它含有数字时才成其为科学。他坚信自然是有其数学设计的。柏拉图的数学化的宇宙观是科学数学化思想的渊源，它在希腊时代和以后各个世纪里激起了数学的创造发明和科学的蓬勃发展。 数学趣题 ?关于古诗客房问题 根据下面一首古诗，解决其中问题(我问开店李三公，众客来到此店中(一房七客多七客，一房九客一房空，请问几客几房中(注:此古诗选自程大位(明朝数学家)原著，梅毂成(清朝数学家) 《增删算法统宗》( 译文:我问开店的李三掌柜:“有多少旅客住进了你的店中(”李三回答说:“如果一间住7人，那么就要剩下7个客人无住处;如果一间住9入，那么就要空出一间屋子，请你算算店里有几间房，一共来了多少客人(” 解:设此店中有房 x间，则前来住宿的人数为7x+7,此题可从两个角度来思考: ?若是方程问题，则住宿人数为9(x— 1)人于是7x+7=9(x-1)，解得x=8，故住宿人数7x8+7=63人( ?若是不等式问题，则“一房九客一房空”可理解为(x-1)间房中有一间住宿的客人不多于9人，则有解之，得8?x<12(5(因为z是整数，所以z可取 8;9、10、11、12，故住宿人数可能是63人或 70人或77人或84人或91人( ?为什么总不少于9千克 小李是新风菜市场蔬菜组的营业员(前不久，他注意到有不少顾客在买菜的过程中为了等营业员称重、算钱和找零钱要浪费不少时间，于是就想了一个办法:他把较受欢迎的而且单价之和为整数的几种蔬菜搭配起来出售，并事先称好、包装好(小李的这一招不仅大大方便了顾客，而且营业额也明显提高，真可谓皆大欢喜( 有一次，小李把青菜、萝卜、辣椒三种蔬菜作为一组，它们的单价分别为a元、b元和c元，且a+b+c=1(显然，a,b,c都是小于1的正数)(要买这组蔬菜的顾客，付1元钱可以买3千克(青菜、萝卜、辣椒各1千克)，2元钱买6千克，3元钱买9千克，等等(但是有一些顾客并不要这一方便，他们虽然每次掏出的是3元钱，买的是这三种菜，但要的不是已经搭配好、包装好的菜，而是要求买1元钱青菜，1元钱萝卜1元钱辣椒(这样，小李就得给他们称1/a千克青菜、1/b千克萝卜和1/c千克辣椒(好在蔬菜组有电子秤，这种要求倒也难不倒小李，不过这种顾客多了之后，小李发现了一个问题，即他们用3元钱买走的三种蔬菜的总质量总是不少于9千克!这是什么道理呢?小李一时想不通(你能对这一现象做出解释吗? 由于青菜、萝卜和辣椒的单价之和为1元，即a+b+c=1，且a,b,c均为小于 1的正数(我们的问题就是在这种条件下解释为什么 ?有趣的数字诗 数字入诗，由来已久，早在一千四百多年前的南朝乐府中，就有一首数字诗，诗写得朴素、自然，颇具情趣: 江陵去扬州，三千三百里( 已行一千三，还有两千在( 这首诗，既没写景，也没抒情，好像一道连小学生都会的计算路程的数学题(但因它巧妙地表现了旅行者盼望早日到达目的地的心情，再加上文字通俗易懂，所以仔细读来很有味道( 下面是用自然数按顺序写成的一首五言绝句: 一去二三里，烟村四五家( 草房六七座，八九十枝花( 短短的20字小诗中，数字占了一半，但读来丝毫没有枯燥之感，眼前却仿佛出现了一幅优美的田园风景画( “五四”时期，一位青年在泥雕的佛像上写了一首小诗: 一声不吭，二目无光，三餐不吃，四肢无力，五官不全，六亲不认，七窍不通，八面威风，九(久)坐不动，十(实)是无用( 这首小诗通过由1到10的形容，把泥佛像的特征全面、风趣地概括了出来，揭穿了它的假象和本质，使人们在笑声中接受了破除迷信的教育( 解放前，一些教师生活很清苦(重庆硒的一家晚报上发表了一首数字诗: 一身平价布，两袖粉笔灰,三餐吃不饱，四季常皱眉,五更就起床，六堂要你吹,七天一休息，八方逛几回,九天不发薪，十家皆断炊. 这首小诗把教师的生活艰辛`劳苦的特点表现得淋漓尽致。 再看下面的一则顺口溜: 一摆二三桌，每月四五回， 来客六七位，八九十人陪( 花钱百千元，报账上万块( 这首顺口溜对那些大肆挥霍`公款吃喝的人进行了有力的讽刺,也从侧面反映了人民群众对这种腐败的痛恨. ?邮递员的疑惑 邮递员为了递送邮件，每天要走遍自己投递范围的大街小巷，也就是说，每天，他都要到相同的地方送信，每天都可以走相同的路线，这其中必有一条最短的路线，如果能找到这条路，每天都按着这条路线走，必然可以减少工作量，提高效率。 显然，这个邮递员从邮局出发，走遍每条大街小巷，而且只走过一次，最后回到邮局，这是最短的路线。 有人会说，找到这条路不就完了吗,但事实上，这条路并不一定能找到。那么，在什么条件下，能找到这样最短路线呢,用数学上的一笔画问题 可以解决这个难题。所谓一笔画问题，指的是:什么样的图形 可以一笔画成，笔不离开纸，而且每条线只画一次不重复。很 容易看出，邮递员问题就是一个一笔画问题。 数学家欧拉提出并解决了一笔画问题。一笔画是有一个起 点和一个终点的图形，而中间每经过一点都应和偶数条线相连。欧拉把与偶数条线相连的点称为偶点，与奇数条线相连的点称为奇点。如果这个图形是封闭的，那么起点(也就是终点)一定是偶点。而不论什么时候，中间点都是偶点。 除此以外，一笔画图形还必须是由具有两个相异端点的有限条线组成的一个图形(称为网络)，任意两个顶点都可用一条线连接，这样的网络称为连通网络。例如，形如“品”字形的网络就不是连通的，它无法一笔画成。 这们，欧拉得到了一个结论:一个网络能够一笔画成，必须是连通的，并且奇点个数是0或2。这就是著名的欧拉定理。有了欧拉定理，邮递路线问题就可以解决了。 ?淘汰制比赛 在乒乓球比赛中，有时使用淘汰制。某地区举行业余乒乓球赛，报上来的选手共有158名，筹备组决定实行“淘汰制”。也就是说，不论哪轮比赛，某选手只要输一场就被淘汰，以后不再参赛。为了使许多选手不至于一开始就被淘汰掉，以照顾参赛机会均等，筹备组在编排竞赛场次时，总是把轮空放在第一轮，从而使这批轮空的选手在第二轮仍有机会参赛。 78因为2,158,2 即128,158,256 所以，第一轮要淘汰掉158-128=30人。 也就是说，第一轮要由60位选手分为30组，进行30场比赛。这样，第一轮比赛 轮空的人数是158-60=98人。 10参加第二轮比赛的选手只128人，不再轮空，进行2场比赛。这样推算下去，第 432三轮要赛25场;第四轮要赛2场，即16场;第五轮要赛2场，即8场;第六轮赛2 1场，即2场;第八轮决赛，决定冠亚军。 场，即4场;第七轮赛2 这样，一共要比赛的场次是:30+64+32+16+8+4+2+1=157。 值得引起我们注意的是，158位选手，要比赛157场，才能决出冠亚军。这里比赛的场次正好比选手的人数少1～这个结论上偶然的么,不是的。事实上，因为每进行一场比赛就要淘汰1个人，在158人参加的比赛中，要产生一个冠军就得淘汰158-1人，即需比赛158-1=157场。 数学故事 ?岳飞布阵退金兵 岳飞是宋朝民族英雄，曾任通泰镇抚史、兼泰州知州(由于他在泰州地区抗击金兵多年，因而在那里留下了不少可歌可泣的动人故事( 据说，有一次岳飞被金兵围困在泰州城(当时他身边只有900名士兵，白天全部驻守在城上，城是四方形的，无论金兵从哪边看，都有250名士兵把守，兵力分布如图1所示( 为了打破金兵的围攻，岳飞抽调了200名精悍士兵准备突袭金兵大营，只留下700名士兵守城(众将领认为:“本来守城兵力就不足;如果金兵攻城怎么办?”然而岳飞自有妙法，说明情况，使众将领信服后，他召集剩下的700名士兵面授机宜，重新进行了布阵( 晚上，城楼上突然灯火通明，士兵们举着灯笼火把来来往往，金兵探子报告主帅金兀术，金兀术带兵亲临城下观看，发现东、南、西、北四面城上，无论从哪边看都是250人;过了一会儿，守城的士兵变换了阵式，每边由250人增加到265人(如图2)，又过了一会儿，每边又由265人增加到285人(如图3)、增加到295人(如图4)、增加到305人(如图5)、增加到315人(如图6)、增加到325人(如图7)„„一直增加到349人(如图 8)，直看得金兀术和众金兵眼花燎乱，金兵主帅发现城上守兵在不断增加，以为岳家军援兵已到，正犹豫时，突然后面金兵惊呼:“大营失火了!”原来突袭金兵大营的200名士兵已得手，这时金兀术急忙掉转马头，带着金兵撤走了(从而，岳飞巧妙运用数学知识，成功地打破了金兵的围困( 25 200 25 90 85 90 110 65 110 200 200 85 85 65 65 25 200 25 90 85 90 110 65 110 图1 图2 图3 120 55 120 130 45 130 140 35 140 150 25 150 174 1 174 55 55 45 45 35 35 25 25 1 1 120 55 120 130 45 130 140 35 140 150 25 150 174 1 174 图4 图5 图6 图7 图8 上面讲述的故事，在数学上称之为“隐藏海盗”问题。这个问题要求做到在守城总人数700人不变的前提下，使每个方向的人数变化，其变化的关键是在四个角上，以东南角上的士兵数为例，计算东边人数时要数他们一次，计算南边人数时还要数他们一次，因此，在总人数不变的前提下，要增加每个方向上的人数，必须增加四个角上的人数，而减少中间的人数。 ?买蟹骗局 一人提了一篓又肥又大的螃蟹到一条小街上出售，开价每斤(500克)50元(不一会儿，先后过来两个青年，由此一场合谋的骗局开始了(两青年中的一人自言自语:"这些蟹倒不错，不过，我就喜欢吃蟹肚，蟹脚、蟹钳吃起来真讨厌，真不想吃("另一青年马 上插话，说:"如果蟹脚、蟹钳便宜些价钱卖给我，下下酒倒蛮好的("于是他们煞有介事地商量决定蟹肚35元一斤，蟹脚、蟹钳15元一斤(转而对卖蟹人说，这些蟹我们包了，你帮我们分一分，再称给我们，反正35元加15元仍然是50元，我们又不占你便宜(卖 蟹人一时没有反应过来，没有觉察其中有诈， 就按他们的意思做了(结果分得蟹肚3斤， 蟹脚、蟹钳1斤，两青年分别付了105元和 15元，他们分别拿着蟹肚、蟹脚和留钳走 了(事后，卖蟹人一数钞票共120元，这与 他来小街前预计的数字相差甚远，发现有问题，再想去追回买蟹人，但已来不及了，只能连呼上当(想一想，这个问题错在哪里,应该怎样付钱才合理, 解:这是一个不难解决的问题，按"优质优价"的原则，蟹肚质量明显优于整只蟹的质量，所以蟹肚价格应高于整只蟹的价格，就是说蟹肚价格应高于50元，现在定在35元是不合理的，为了较为容易地说明问题，不妨设想蟹肚、蟹脚和蟹钳各买1斤，货款的和是50元，但重量的和却是2斤，这不就说明两者都低于原价是不合理吗, 合理的方法是先称出蟹的总重量(4斤)后， 计算得贷价是50×4,200(元)，卖蟹人应要买蟹人付200元，至于蟹肚、蟹脚和蟹钳的具体价格可以由买蟹人自己去协商议定( 数学趣玩 ?中六合彩机会近乎零, 小甘的爸爸在午饭过后，突然心血来潮，欲前往投注站买六合彩。小甘欲从裤袋拿出一个硬币，并一脸认 真地对爸爸说:“你真的甘顾把钱投注在一个中奖机会近乎零的游戏中?不如你试用这个硬币去测试一下今天的运气吧。若然连续24次掷得硬币的同 一面(正面或背面皆可)，你再去投注也末迟吧。拿过小甘的硬币试掷数次后，爸爸已感意阑珊，打消了投注的念头。但爸爸则要求小甘解释「中奖机会近乎零」的道理，和如何与掷硬币扯上关系。 于是，小甘在报纸的空白处，把六合彩中头奖、二奖、三奖的概率(probability)逐一运算起来。 得头奖者，须从47个号码中选中6个与开彩出来相同的号码。二奖则须中5个号码和1个特别号码。若只中5个号码，便会得三奖。基于这些中奖的条件，小甘利用概率的乘法定律(multiplication law)计算出以下的概率: 654321,，，，，， 中头奖的概率 474645444342 1(准确至8位小数) ,,0.0000000910737573 6543211,,,，，，，，6， 中二奖的概率 ,,,4746454443421789596,, (准确至7位小数) ,0.0000006 65432401,,,，，，，，6，, 中三奖的概率 ,,47464544434244740,, (精确至5位小数) ,0.00002 因此，六合彩的中奖机会在其种程度上可说是近乎零呢。若以掷硬币来比较中头奖 n11,,,的机会，可说n为连续掷得同一面(正面或背面)硬币的次数，则。,,210737573,, 利用对数(logaruhms)的原理，便得知须连续掷出硬币的正面(或背面)达24次的概率，才可与中头奖的机会比拟一番。 ?欧维德游戏 数学是一种思维的方法，其影响的范围，及于 世间非常宽阔而多样的领域(下面讲的是一种游戏， 它玩起来也需要用数学加以分析( 我们对"吃井字"游戏全都非常熟悉(这是"吃井 字"游戏的一种变化，它的出现可以追溯到多才多艺 的罗马诗人欧维德(公元前43年,公元17年)的作品(欧维德游戏和游戏盘的变化(如右图的"磨坊"游戏)是在雅典卫城的台阶、埃托斯坎陶器场以及罗马瓷砖上发现的(在英国，"磨坊"游戏又以"九人摩尔舞"著称(可能因为玩法跟摩尔人跳舞有点相似)(在莎士比亚的《仲夏夜之梦》中就提到"九人摩尔舞"，在那里棋盘是画在一方草地上，而用九块石头做棋子( 欧维德游戏: 这是一个两人的游戏( ? 每人有三个棋子( ? 游戏的目标是将自己的三个棋子排成一行( ? 两人轮流放置各自的棋 子( ? 如果没有人能将自己的三 个棋子排成一行，那么每个人都能 移动自己的一个棋子到邻近未被占 据的地方，直至某人把他自己的三 个棋子排成一线(在你对以上规则 琢磨出一种策略之后，试添加以下的限制看看会发生什么: ? 任何人开局都不能把棋子放在中央( 欧维德游戏的盘: 棋盘上显示两个选手已放好了各自的棋子，但没有人做到让三个棋子排成一行(在这种情况下，选手们开始沿着线移动自己的棋子，直至其中一人成功地将自己的三个棋子排成一行( ?十二只棋子 请你把12只棋子放到6×6网 格的方格里，每个方格只能放一只 棋子，使每一横行，每一纵列和两 条对角线上都恰好有两只棋子(解: 1、先使纵列满足要求(图3,10)( ,11)(比较两图，读者可看出， 2、调整纵向各棋位置，使横行也符合要求(图3 我们在原图基础上，把第1列第二行的棋子移至第三行，使第二、三行都符合要求;把第3列第五行棋移至第六行，第6列第四行棋子也移至第六行，使第四、五、六行都符合要求( 3、现在一条对角线已符合要求，另一条上有三个棋子，不妨考虑移去第3列第四行上那个棋子，但在移动这个棋子时不能破坏纵、横两个方向棋子的个数，所以把这个棋子下移至第五行，同时把第6列中第五行的棋子移至第四行，作为对第四行移去一个棋子的补偿(图3,12)( 从上面解题中，读者可以看出，显然本题的解答不是唯一的，下面我们举几个比较规则，比较美观的解答供大家观赏(图3,13)( 名题赏析 ?强盗的难题 强盗抢劫了一个商人，他将商人捆在树上，预备在杀掉他之前，先戏弄一番(强盗头子对他说:"我本想立即杀掉你，但在临死之前，再给你一个机会(你说我会不会杀掉你，如果你说对了，我就放了你，决不反悔～如果说错了(我就杀掉你( 强盗以为，商人已逃不了一死，他怎么也没有想到，商人凭着自己的聪明才智逃过了这一劫(聪明的商人仔细一想，便说:"你会杀掉我("这下，轮到强盗发呆了，"如果我把你杀了，你就说对了，那么就应该放了你;如果把你放了，你就说错了，却又应该把你杀掉("强盗想不到自己陷入了进退两难的境地，心下对商人顿生佩服的感情，于是将商人放了( 这是古希腊哲学家嘴边常讲的故事(商人的一句:"你会杀掉我的("立马解除了眼前的困境，他是多么地聪明(假如他说:"你会放了我的("这样，强盗就说法，让强盗无论怎么做，都必定与许下的诺言自相矛盾( 像这样有趣的问题还有许多(比如，上帝是万能的，你说上帝能创造一块他也举不 起来的大石头吗, ?借马分马 有一位阿拉伯商人，一生勤俭，善于经营，积蓄了不少的金银财宝和牲畜。商人临终前将他的三个儿子叫到身边，对他们说:“我不久就要离开你们了，我死后财产将全部分配给你们兄弟三人，我已将分配方法写入遗嘱，遗嘱就锁在床头的保险柜内。我死后，你们有困难可去找我的朋友，数学家锡克。”老人说完最后一句话，用颤抖的手指了一下枕头边的保险柜钥匙，就安详地离开了人世。 三兄弟十分悲痛，在锡克先生的帮助下，处理完老人的后事。接下来，分家产之事就提到了日程。三兄弟小心翼翼地打开保险柜，只见保险柜内还有一个小保险箱，上面附有一张公文纸，只见纸上写着: 1、“这是遗嘱的一部分，先将马厩中的19匹良马分给三个儿子，老大得总数的2 11老二得总数的、小儿子得总数的，但分时不许把马宰杀掉。 45 马匹分配完后，老大、老二、老三所得马数即为小保险箱的密码数。遗嘱的另一部分在小保险箱内，得到密码你们就会得到全部遗产。” 读完遗嘱，三人来到马厩前，望着19匹膘肥体壮的良马，准备按遗嘱的规定分马。看似简单的问题，实际上分起来就不那么容易了。三兄弟分来分去总不能找到一种合理 111的分法，因为他们无论如何也分不出整数马匹来。事实上，19的是9，19的是224 1344，19的是3，这三个数都不是整数，按遗嘱，马又不能宰杀掉。聪明的老三已455 119133算出，9十4十3,18也不是整数，即使杀了马也无济于事，还有匹马没2442020分完。 三兄弟无计可施，不由地埋怨起老父亲来，老二说:“这是一份根本无法执行的遗嘱!” “谁说遗嘱无法执行啊?”随着说话声，锡克先生牵着一匹枣红马走进院子里来。三兄弟见到锡克先生像见到救兵一样，老大说:“您是数学家，按照遗嘱分马只能拜托您了。” 锡克先生将马缰绳交给老大说:“这样吧，我把我的马借给你们再按照遗嘱分马，分完后再还给我就是了。” 三兄弟十分纳闷，但苦于无法，只得按锡克先生的办法试一试:大儿子得20匹马的 111是10匹马，二儿子得20匹马的是5匹马，小儿子得20匹马的是4匹马。令兄245 弟三人惊奇的是:10十5十4,19，正好分完自己家的19匹马，剩下的自然是锡克先生的那匹马了。 按照这个分配方法，用三人所得马数确定了保险箱密码，按密码果然打开了保险箱，三兄弟顺利地得到了自己的那份遗产。三兄弟十分敬佩锡克先生的智慧，摆下酒席宴请锡克先。 宴会上，小儿子向锡克先生请教自己百思不解的分马问题。 111:: 原来锡克先生仔细研究了商人遗嘱的秘密，实际上商人是要求三个儿子按245这个比例去分，按这个比例分马的结果可化成整数，就是10:5: 4，且10十5十4,19，即为马匹数。 11119 那么，锡克先生“借马”给三兄弟又是怎么回事呢?这是因为，如，，,24520果将20匹马按遗嘱中的比数去分，只能分掉20份中的19份，三兄弟分得的马匹数正好是10、5、4。还有l份没有分掉，恰好是锡克先生的一匹。 数学家锡克在分马中利用“一借一还”的方法使得难以执行的遗嘱绝处逢生，正是数学解题方法的妙用。 ?部分小于整体, 在一个盒子里，装着黑白两种围棋棋子，哪种颜色的棋子更多一些呢,有人说，数一数不就完了吗,不错，分别数出两种颜色棋子的数目，然后比较数字大小，这是一种办法;还有一种更简单的方法，那就是对应，每一次从盒子里取出一黑一白两种棋子，放到另一个盒子里，一直取下去，最后剩下哪种棋子，就判定这种颜色的棋子多，如果刚好数完，就说明两种颜色的棋子一样多( 前面说的都是盒子里的棋子数有限的情形，若盒子里的棋子数是无限的(那么，至少有一种颜色的棋子数是无限的(这样，我们就无法确切数出这样颜色的棋子数，因而前一种方法在这儿行不通(后一种方法适用吗,如果若干次之后，只剩下某种颜色的棋子，说明这种棋子多，并且是无数多个，如果每拿出一个黑的，总能拿出一个白的，并且每拿出一个白的，也能拿出一个黑的，那么就说明棋子数一样多了，并且都是无数多个( 整体大于部分，这是一条古老而令人感到无可置疑的真理(哲学是如此，事物内部总是存在千丝万缕的联系，为了精确地分析万物的本质，我们通通先割裂它们(分别对事物的各个部分进行考察，但整体大于部分，它甚至大于各部分之和(从数学上来看，这一条真理真的和它看起来一样吗,17世纪的科学家伽利略发现，从数量上考察，涉及到数目无限时，情形就不一样了( 伽利略在《对话》中有这样的注解:"平方数的个数不小于所有的总数，所有数的总数也不大于平方数的个数"，表面上看起来，平方数的集合是所有数的集合的一个子集，属于明显的整体与部分的关系，伽利略的注解认为，它们的个数是一样多的，不妨用对应的思想来解释一下: …1 2 3 4 5 6 7 8 9 … n … …1 4 9 16 25 36 49 64 81… n2 … 每一个自然数，总能找到一个平方数与之对应，相反，每一个平方数也一定能找到一个自然数与之对应，那么这两个数的集合是一一对应的，也就是说自然数和平方数的个数是一样多的( 像这样的情形还有许多，整数和偶数是一样多的，整数与奇数也是一样多的，只要部分和整体的元素之间能建立一一对应的关系，那么它们含有同样多的元素( 在这个思想的启发下，19世纪后期德国数学家康托尔创立了集合论(它揭示出部分可以和整体之间建立起一一对应关系，这正是含有无穷多个元素的集合的本质属性之一(它告诫人们:不要随便把有限的情形下得到的定理应用到无限情形中去( ?说谎者悖论 公元前6世纪，古希腊克里特岛的哲学家伊壁门尼德斯有如此断言:"所有克里特人所说的每一句话都是谎话("如果这句话是真实的，那么也就是说，克里特人伊壁门尼德斯说了一句真话，但是断言却说:克里特人是不会说真话的(如果这句话是不真的，也就是说，克里特人伊壁门尼德斯说了句谎话，同时断言表明:克里特岛也有人不说谎(那么，他说的话又是真话(所以，怎样也难以自圆其说(这就是著名的说谎者悖论( 公元前4世纪，希腊哲学家也提出了这个悖论:"我现在正在说的这句话是谎话("因为你说的话若是真话，按话的内容分析，那么它又应是一句谎话;反之，若你说的话 是谎话，那么你的话又应是真话(说谎者悖论至今仍困扰着数学家和逻辑学家( 说谎者悖论有许多形式(比如，我预言:"你下面要讲的话是'不'，对不对,用'是'或者'不'来回答～"如果你说:"不"那表明你不同意我的预言(也就是说你应说"是"，这样与你的本意相矛盾(如果你回答说:"是～"这意味着你同意我的预言，那么你要的话就应当"不"，于是又产生矛盾( 数学家故事 ?华罗庚的退步解题方法 我国著名数学家华罗庚出生在一个摆杂货店的家庭，从小体弱多病，但他凭借自己一股坚强的毅力和崇高的追求，终于成为一代数学宗师( 少年时期的华罗庚就特别爱好数学，但数学成绩并不突出(19岁那年，一篇出色的文章惊动了当时著名的数学家熊庆来，从此，在熊庆来先生的引导下，他走上了研究数学的道路(晚年为了国家经济建设，把纯粹数学推广应用到工农业生产中，为祖国建设事业奋斗终生!华教授悉心栽培年轻一代，工作之余还不忘给青少年朋友写一些科普读物(下面就是华罗庚爷爷曾经介绍给同学们的一个有趣的数学游戏:有位老师，想辨别他的3个学生谁更聪明(他采用如下的方法:事先准备好3顶白帽子，2顶黑帽子，让他们看到，然后叫他们闭上眼睛，分别给戴上帽子，藏起剩下的2顶帽子，最后叫他们睁开眼，看着别人的帽子，说出自己所戴帽子的颜色( 3个学生互相看了看，都踌躇了一会儿，异口同声地说出自己戴的是白帽子( 聪明的小读者，想想看，他们是怎么知道帽子颜色的呢? 专题研究方案 ?“黄金分割”图形为什么是最美的图形 人们早就发现，长边与短边之比为0(618的长方形是最美的长方形，它能给人以肥 瘦适中、恰到好处的美感，因此，人们把1比0(618的比率称为黄金分割律( 黄金分割率应用极广，建筑、家具、书刊、商品包装等方面都可以看到它的影子(黄金分割图形成了人们生活中一种永恒的美的形象，但为什么黄金分割图形就是最美的图形呢? 上世纪80年代初，我国一位建筑工程师经过研究后提出了这样一个看法，黄金分割图形之所以是最美的图形，是因为它符合人体的比例，也就是说，黄金分割律是“人的比律”，人的身体许多部分都近似地显示着黄金分割律，例如正常人的脸高度与宽度的平均值之比就近似于1比0(618，其他部位，如眼睛、耳朵的长宽比，肩顶至臀部的长度与两肩宽度之比，脚长与手长之比，手掌的长宽比等等，如果明显偏离了黄金分割律，就会让人觉得不舒服，感到丑(那么为什么人体的比例是黄金分割律而不是什么别的比例呢?科学家们认为，这是生物在漫长的进化过程中自然选择的结果，这种比例是适于人类生存的最佳比例(在这种比例中，可以用最少的能量去进行最多的创造活动(也就是说，黄金分割律中，规律性、功利性和美有机地结合在了一起，达到了统一，达到了宇宙的最高和谐( 黄金分割律在生活中应用极广，比如你去买一样东西，有各种各样的价格，那么你选哪个最合适呢?下面这个公式可以帮你做决定:最高价X 0(618十最低价 X0(372( ?分类思想 分类思想是数学和其他各门学科常用的处理问题的思想方法(要学好数学，必须掌握这种思想方法( 在生活中我们常常遇到对事物进行分类的问题，如幼儿园老师在桌上散乱地放置一些物品:2本书、3个苹果、一支铅笔、1辆玩具汽车、2个橘子、1只玩具小白兔，、 1块橡皮„„老师对一位小朋友说:“你能将桌上的物品整理一下吗?’’结果这位小朋友将 桌上的物品整理成三部分——水果、玩具、文具用品(这位小朋友在整理物品时采用的就是分类方法( 分类方法是科学的方法( 一堆硬币，按币值分为若干类后，再计算这堆硬币的总值就比较方便了 下面是一个十分有趣的头发问题: 一位数学家来到一个有百万人口的城市以后，突然宣布:在这个城市中，至少有两人，他们的头发根数相等(这位数学家是将每个人的头发都数过一遍以后才得出这个结论的吗?肯定不是，他采用的是分类的方法( 生物学家告诉我们，每人的头发不可能超过50万根(于是这位数学家便在头脑中做了》》下的编排:50万间房屋编上房号——0，1，2，3，„，500 000，然后命令每个 人将自己的头发数一数，并根据头发数进入相应的房间(光头进入0号，只有一根头发进入1号，„)( 这时，数学家的结论被证实了(你知道这是为什么吗? ?例谈一元一次不等式在现实生活中的应用 一元一次不等式是初中数学中的重点内容之一，它在现实生活中有着广泛的应用，现举例如下，供同学们学习时参考( 例1在一次“人与自然”知识竞赛中，竞赛题共有25道，每道题都给出4个答案，其中只有一个答案正确，(要求学生把正确的答案选出来(每道题选对得4分，不选或选错倒扣2分(如果一个学生在本次竞赛中的得分不低于60分，那么这个学生至少选对了多少道题? 解:设这个学生至少选对了x道题，则由题意，得 4x—2(25-x)?60(解得x?18.3,因此，这个学生至少选对了19道题( 例2小明用100元钱去购买笔记本和钢笔共30件，已知每本笔记本是2元钱，每支 钢笔是5元钱，那么小明最多能买多少支钢笔? 解:设小明最多能买x支钢笔，则由题意，得5x+2(30-x)?100(解之，得x?13.3(因此，小明最多能买 13支钢笔? 。 例3 1公顷生长茂盛的树木每天大约可以吸收二氧化碳1吨，每人每小时平均呼出二氧化碳38克，如果要吸收掉10000个人一天呼出的二氧化碳，那么至少需要多少公顷的树木?(每天按24小时计算，结果保留两位小数) 解:设至少需要x公顷的树木，则由题意，得 1000000x~38x24x10000(解之，得x>12(因此，如果要吸收掉10000个人一天呼出的二氧化碳,那么至少需要9.12公顷的树木. ?统计世界 我们今天生活的世界，是一个信息迅速变化的世界，而表达信息变化的重要指标之一就是数据(如果大家看看报纸、电视，就会发现无论是新闻、经济论坛、天气预报、广告或是体育比赛，都十分频繁地使用着数据(而生动、形象的统计图使图像变得更加“醒目”( 为了了解自己感兴趣的事情，人们往往需要收集数据、整理数据、分析数据，这个过程就是一个统计(stat~stms)过程(statistics是一个有很多意义的半月，这这十单月的前年部分是早词state(政府)的变形(在300多年前，这个单词首次被应月，专指政府部门记录人们出生和死亡信息的工作(时至今日，统计仍然是世界上各个层次政府机构的支柱( 除了来自国家政策的起源外，这个单词的另一个简单意思是数值数据，即我们希望通过统计的帮助把数据中的信息变成实际的知识(现在，几乎所有的地方,你都可以找到应用统计的实例，人们正以种种方式应用统计来改变我们的生活(