例谈正弦、余弦函数有界性的应用

例谈正弦、余弦函数有界性的应用 彰显魅力～演绎网站传奇～ 例谈正弦、余弦函数有界性的应用 山东 孙道斌 正弦、余弦函数的有界性，即。此结论在解题中有着广泛的应用。|sinx|,1,|cosx|,1 举例说明。 1.求值域或最值 4,cosx例1求函数y,的值域。 2cosx，3 4,3y解:原函数可变为:， cosx,2y，1 4,3y因为，即， ||,1|cosx|,12y，1 3解得,y,5， 5 3[,5]故所求函数的值域为。 5 2例2求函数的最值。 y,sinx，sinxcosx 111y,，sin2x,cos2x解:由原函数得:， 222 12,即， y,，sin(x,)224 ,|sin(x,)|,1又， 4 11(1,2),y,(1，2)所以， 22 11y,(1,2),y,(1，2)故。 minmax22 2.证明等式或不等式 3,(0,)cos，cos,cos(，),,、,,且,,,,例3已知， 2 ,,,cos,1求证:。 2 3cos，cos,cos(，),,,,,证明:因为， 2 3，,，,,,,,,22coscos2cos1？,，,， 2222 ，，,,,,,,,24cos,4coscos，1,0即 ? 222 学数学 用专页 第 1 页 共 3 页 搜资源 上网站 彰显数学魅力～演绎网站传奇～ ,，,因为是实数， cos2 ,,,2， ？,,16cos,16,02 ,,,,,,即，而， |cos|,1|cos|,122 ,,,所以， |cos|,12 又， ,、,,(0,,) ,,,,,,,,所以，， ,,,cos,02222 ,,,所以cos,1。 2 ，1,,,,,,,,cos,又当cos,1时，方程?有解，故cos,1。 2222 ABC1,ABCsinsinsin,例4在中，求证:。 2228 ABC1A,BA，BCsinsinsin,(cos,cos)sin证明: 2222222 111,1ABCCCC22sinsincossin,sin,= ,222222222 1111C2(sin),,，,=， 22288 C1A,Bcos,1sin,当且， 222 ,A,B,C,即时，取等号。 3 3.求参数的范围 4m,6sin,3cos,,,例5要使有意义，求的范围。 m4,m 0解:因为， sin,,3cos,,2sin(,,60) 2m,30sin(,60),,故， 4,m 0又， |sin(,,60)|,1 2m,3||,1即， 4,m 7,1,m,解得。 3 4.讨论函数的性质 xf(x),R例6证明函数在上有界。 21，x 学数学 用专页 第 2 页 共 3 页 搜资源 上网站 彰显数学魅力～演绎网站传奇～ 证明:令x,tan,，则 tan,tan,11|()||||||sincos||sin2|， fx,,,,,,,,22221tansec，,, x故函数在上有界。 f(x),R21，x 例7设为无理数，求证函数不可能是周期函数。 af(x),cosx，cosax T,0证明:假设是周期函数，则存在常数，使对于任意的f(x),cosx，cosax 都成立。 x,cos(x，T)，cosa(x，T)cosx，cosax x,0令得: cosT，cosaT,cos0，cos0,2 ? 因为， |cosT|,1,|cosaT|,1 cosT,cosaT,1所以?成立必有， 所以， T,2k,,aT,2l,(k、l,Z) llk、l,Z所以a,，由于，所以为有理数，即为有理数，这与已知为无理数aakk 矛盾，故函数不可能是周期函数。 f(x),cosx，cosax 学数学 用专页 第 3 页 共 3 页 搜资源 上网站