两个齐次线性方程组的解集的关系的讨论

两个齐次线性方程组的解集的关系的讨论 两个齐次线性方程组的解集的关系的讨论 1. 1齐次线性方程组Ax=0的解一定是方程组BAx=0的解 T 2设A是实矩阵，则齐次线性方程组Ax=0与AAX,0同解 T 显然齐次线性方程组AX,0AAX,0的解都是的解。 TTTT 反过来：设AAX,0是的解，即，从而 ,AA,,0,AA,,0 a,,1,,a2T,, 既,，是列向量，令， A,(A,)(A,),0,A,,？,,,,a,,n 222T那么，每个元素都是实数， (,A)(,A),a，a，？，a,012n 所以，即 A,,0a,a,？,a,012n 3设齐次线性方程组Ax=0与Bx=0同解，则r(A)=r(B) T设A是实矩阵，则A与AA的秩相等 4齐次线性方程组Ax=0与Bx=0同解的充要条件是A, B的行向量组等价. A，，. : 设齐次线性方程组Ax=0与Bx=0同解, Ax=0与同解 X,0,,B，， A，， 事实上显然的解都是Ax=0的解,反过来,由于Ax=0的解也满足Bx=0,从而也是 X,0,,B，， AA，，，，的解, 所以,B行向量可由A的行向量(的极大无关组)线性表示, X,0r(A),r(),,,,BB，，，， 反之,A行向量可由B的行向量线性表示,所以,A, B的行向量组等价. : 若A, B的行向量组等价,则B的行向量可以写成A的行向量的线性组合, 所以方程组Bx=0中的每一个方程,都是Ax=0中的方程的线性组合,所以,方程组Ax=0的解都是Bx=0的解。反过来方程组Bx=0的解都是Ax=0的解, 所以：方程组Ax=0与Bx=0同解 . 设有齐次线性方程组Ax=0和Bx=0, 其中A,B均为m，n矩阵，现有4个命题： ? 若Ax=0的解均是Bx=0的解，则秩(A)秩(B)； , 秩(B)，则Ax=0的解均是Bx=0的解； , ? 若Ax=0与Bx=0同解，则秩(A)=秩(B)； ? 若秩(A) ? 若秩(A)=秩(B)， 则Ax=0与Bx=0同解. 以上命题中正确的是 (A) ? ?. (B) ? ?. (C) ? ?. (D) ? ?. 本题也可找反例用排除法进行分析，但? n-秩(A)=n - 秩(B), ?两个命题的反例比较复杂一些，关键是抓住? 与 ?，迅速排除不正确的选项. 若Ax=0与Bx=0同解，则n-秩(A)=n - 秩(B), 即秩(A)=秩(B)，命题?成立，可排除(A),(C)；但反过来，若秩(A)=秩(B)， 则不能推出Ax=0与Bx=0同解，如10，，，A,,,00，， 00，，，则秩(A)=秩(B)=1，但Ax=0与Bx=0不同解，可见命题?不成立，排除(D),B,,,01，， 故正确选项为(B). 若Ax=0的解均是Bx=0的解，Ax=0的解集是Bx=0的解集的子集 则，n－秩(A)n－秩(B)，秩(A)秩(B)，?成立． ,, 已知齐次线性方程组 ，2，3,0,xxx,123, （i） 2，3，5,0,xxx,123,，，,0,xxax,123 和 xbxcx，，,0,,123（ii） ,2xbxcx2，，(，1),0,123, 同解，求a,b, c的值. 方程组（ii）显然有无穷多解，于是方程组（i）也有无穷多解，从而可确定a，这样先求出（i）的通解，再代入方程组（ii）确定b,c即可. 方程组（ii）的未知量个数大于方程个数，故方程组方程组（ii）有无穷多解.因为方程组（i）与（ii）同解，所以方程组（i）的系数矩阵的秩小于3. 对方程组（i）的系数矩阵施以初等行变换 123101，，，， ,,,,， 235,011,,,, ,,,,11a00a,2 ，，，， 从而a=2. 此时，方程组（i）的系数矩阵可化为 123101，，，， ,,,, ， 235,011,,,, ,,,,112000，，，， T故是方程组（i）的一个基础解系. (,1,,1,1) 将代入方程组（ii）可得 x,,1,x,,1,x,1123 或 b,1,c,2b,0,c,1. 当时，对方程组（ii）的系数矩阵施以初等行变换，有 b,1,c,2 112101，，，， ， ,,,,,213011，，，， 显然此时方程组（i）与（ii）同解. 当时，对方程组（ii）的系数矩阵施以初等行变换，有 b,0,c,1 101101，，，， ， ,,,,,202000，，，， 显然此时方程组（i）与（ii）的解不相同. 综上所述，当a=2,b=1,c=2时，方程组（i）与（ii）同解. 123【】 本题求a也可利用行列式235,,a，2,0，得a=2. 11a本题也可这样考虑： 123，2，3,0,xxx, ,1232x，3x，5x,0,,方程组,必存在无穷多解，化系数矩阵为阶梯形，可确定，，,0,xxax123, ,x，bx，cx,0,123,2,2x，bx，(，c1)x,0,123 a=2,b=0,c=1或a=2,b=1,c=2，再对两组数据进行讨论即可. xx，,0,12,又知某齐次线性方程组(?)的通解为 ,xx,,024, 设4元齐次方程组(?) k(0,1,1,0)，k(,1,2,2,1)12 (1)求齐次方程组(?)的基础解系 (2)线性方程组(?)和 (?)是否有非零公共解?若有,求出所有非零公共解,若没有,请说 明理由. 0,1,,,,,,,,01,,,,(1)不难求的齐次方程组(?)的基础解系为 ,,,,,10,,,,,,,,01,,,, 0,10,1,,,,,,,,,,,,,,,,1201,,,,,,,,(2)设 kkkk，,，1234,,,,,,,,1210,,,,,,,,,,,,,,,,0101,,,,,,,, ,1,,,,1,,解方程组的，所有非零公共解 k,k,k,k,,k,k342122,,1,,,,1,, ，，，,0axax？ax,1111221,2n2n,，，，,0axax？ax,5已知线性方程组(?)2112222,2n2n的一个基础解系是 ,？？？？？, ,，，，,0axax？axn11n22n,2n2n, TTT(b,b,？,b)，(b,b,？,b)，…,(b,b,？,b)试写出线性方程组(?)nnnnnn11121,221222,212,2的通解 bx，bx，？，bx,0,1111221,2n2n,bx，bx，？，bx,0,2112222,2n2n (?) ,？？？？？, ,bx，bx，？，bx,0n11n22n,2n2n, TT两个齐次方程组都含有2n个未知量，(b,b,？,b)，(b,b,？,b)， nn11121,221222,2 T…,(b,b,？,b)是方程组(?)的基础解系，所以nnnn12,2 TTT(a,a,？,a),(a,a,？,a)(a,a,？,a)…线性无关，且是方程组(?)nnnnn11121,2n21222,212,2 TTT的解．(b,b,？,b)(b,b,？,b)(b,b,？,b)，，…,线性无关，方程nnnnnn11121,221222,212,2 TT (a,a,？,a),(a,a,？,a)n11121,2n21222,2 T组(?)的系数矩阵的秩是n，所以…是方程组(?)的基础解系． (a,a,？,a)nnnn12,2 方程组(?)的通解为 TTT… X,k(a,a,？,a)，k(a,a,？,a)，，k(a,a,？,a)nnnnnnn111121,2221222,212,2