【doc】非线性方程组解集边界求解方法及其在并联机构分析中的应用

【doc】非线性方程组解集边界求解方法及其在并联机构分析中的应用 非线性方程组解集边界求解方法及其在并 联机构分析中的应用 第40卷第12期机械Vol-40No.12 2004年12月CHINESEJOURNALOFMECHANICALENGINEERINGDee.2004 非线性方程组解集边界求解方法 及其在并联机构分析中的应用木 叶佩青李铁民郑浩峻 (清华大学精密仪器与机械学系北京100084) 摘要:并联机构的结构使其输入和输出运动之间具有复杂的非线性关系,在该类机构的运动学,动力学,作业空 间,误差分析及运动控制中均涉及大量的非线性方程组求解.介绍一种含参数的非线性方程组的解集边界求解方 法,基于流形理论和数值化连续算法,可直接搜索出一个非线性系统的解集边界,计算速度快,效率高.利用上 述算法,对一台实际的4自由度并联机床进行了作业空间边界的求解和分析,验证了算法的实用性和有效性. 关键词:并联机构非线性解集边界 中图分类号:TP242TG659TG502 0前言 并联机构的输入和输出之间具有复杂的非线性 关系,因此在机构的运动学,动力学,作业空间, 误差分析及运动控制中均涉及大量的非线性方程组 的求解.处理这类问题一般可利用解析法或数值法, 只有极特殊的情况才可以直接求得封闭解,绝大部 分都需要数值算法,或二者的结合.通常的数值解 法一般是一个离散的计算过程,无法显式地对整个 非线性方程系统进行分析,在搜索整个解集边界时, 效率低.多数情况下,研究者更关心的往往是系统 解集的边界状态,或在多个参数影响下解集的变化 规律,例如作业空间边界的求解,各构件非干涉区 域的边界判断,终端误差随输入误差变化的最大最 小边界等. 一 个机械系统的结构可通过一系列运动约束方 程来定义,这些方程通常是欠定的,因此就产生了 一 系列的含参数非线性代数方程.求解含参数非线 性方程组的连续法已经被用于机械系统的作业空间 分析【卜4J,经扩展后,又应用于Stewart平台灵活空 间的求解和作业能力评价[5-7].这种方法可以直接搜 索系统的解集边界,计算速度快,效率高;同时提 供了解集边界的数学描述,能够支持解集边界的特 性分析,但该算法在并联机构设计方面的应用研究 还有待加强. 首先阐述了一种含参数非线性方程组的解集边 界求解的基本思想,论述了基于数值连续法的求解 ?国家自然科学基金资助项目(50305016).20040512收到初稿,20040910 收到修改稿 过程.以一台实际的4自由度并联机床为例,研究 了应用以上算法进行作业空间边界求解的过程,并 对影响作业空间的各参数进行了分析.试验明, 该方法适合于解决并联机构中的各种非线性问题. 1算法描述 1.1基本概念 一 个机械系统可用一组满足一定约束(g)的 广义坐标g来描述,一般可表示为 q=【ql,q2,…,】'(1) q)=【口{(g),(g),…,(g)】'=0(2) 式中n——广义坐标的个数 m——互相独立的约束方程的个数 癣(g)——二阶连续可微的约束方程 系统的自由度d为 d=n—m(3) 它表示系统有,H个独立变量,其余为非独立变量. 广义坐标又可分为输入变量',,输出变量口和 中间变量三个子集.输入变量的数目等于系统自 由度,通常将用来考查系统某方面特性的变量定义 为输出变量,口可写成 q=[?TVT,](4) 式中?,',,——输出,输入和中间变量,??R, ',?R,,?R' ,nv,n——输出,输入和中间变量的个数 n+n+n=n(5) n+n=m(6) 式(2)可写成含参数非线性方程组的一般形式 2004年12月叶佩青等:非线性方程组解集边界求解方法及其在并联机构分析中 的应用101 烈z,',)=0(7) 式中',——输入矢量,即系统参数 z——输出变量和中间变量的组合矢量 z----[/4T,'.,T】T 方程式(7)的解在空间q=【zT,',T】T上构成了一 个流形.输入变量的数目决定了解流形的维数,维 数越高,分析难度越大.通常可以增加约束方程来 限制输入变量个数,降低系统自由度引. 1.2解集的边界 式(1)定义的系统解集空间为 S:{g?Rfg)=0}(8) 因为无法直接可视化地表示一个高维空间,一般的 处理方法是将高维空间投影到一个低维空间中.为 此定义下面投影操作符 :RRi=",V,w(9) 则可得到以下三个投影操作 (g):/4(1O) (g)=',(11) (g)='.,(12) 利用上述定义,可求出输出变量可达解集为 : {lf?Rflf=(g),g?S}(13) 由隐函数定理可知,输出变量解集边界的一个必 要条件是:式(2)对输入变量和中间变量的子雅克比 矩阵行秩下降[91,即 a,4cA'={H?A]rank(~(g))<m,烈g)=0)(14) 应当注意的是,'不仅包含系统的解集边界, 还包含了解集内部的满足式(14)的点,其中包括局 部边界和系统发生奇异的点. 对于比较简单的问题,.,.,具有解析表达,当 哦.,.,是方阵时,可用. ,.,的行列式等于零来判断 . 的行秩是否下降.则可表示为 0il(22A':{H?A,det.,.,(g))=O,烈g)=0)(15) 求解系统解集边界相当于求解下面的扩展方程组 G? _I 当哦, ,.,不是方阵或无法直接获得哦. ,.,的解析表 达式时,根据参考文献【9】,哦.,., 非行满秩等价于存 在一个非零矢量?R,使得 .,., = 0(17) 这时,可表示为 (22A'={H?I哦,,.,(g).=口,.=1,奴g)=0)(18) 求解系统解集边界相当于求解下面的扩展方程组 I烈g)I G(q,),)=I哦,(g)),l=0(19) L一1j 式(19)是包含n+m个变量的n+m+l—nu个方 程,方程组解集的自由度,也就是的自由度为 d=一1(2O) 为降低求解难度和提高可视性,将输出变量的个数 定义为2,则式(19)定义了二维空间中的一维曲线, 该曲线包含了解集的边界. 1.3解集边界的求解算法 当一个机械系统可以用式(16)或(19)描述时,它 的解集边界也就被确定了.通过降维操作,可以产 生一个一维解流形.一些算法【8】采用数值迭代 的连续法来解决这类问题.连续法可以从一个起始 点出发,连续跟踪一个一维解流形,它的主要求解 技术是预测一校正[】.这种算法在并联机构的正解 计算中已经得到了很广泛的应用【】?. 通过建立扩展方程,已获得了一个一维子流形, 其形式为 G:S(22RR(21) G是一个C(,.?1)映射(即G是,.阶可微的).求解 目标是计算下面的正则解流形 M={q?R(G,)IG(g)=0}(22) 假设'是的一个连续分支,'也是一个 一 维的子流形,连续法基于'的结构,使用局部 参数化的方法计算'上的每一个点【8】. 从(qo?M')出发,产生一系列点 (k=O,1,2,…)来近似'上的点.由计算+1 的过程如图1所示.首先计算的切矢量,根据参 考文献【8】,如果G:ScRR(?2)在一个开 集ScR上充分可微,则对任意q?R(G,S),有 唯一的切矢量T(q),()可按下式计算 (g)(g)=0 IIr(q)ll,=1 c3 I(g)l 根据和T(q),计算预测点+. +1=q+T(q)(24) 式中——切矢量方向上的步长 确定校正平面.从R的个自然基矢量 lO2机械工程第4O卷第l2期 P.,P:,…,P中选择一个作为eik以获得校正平面,eik 必须满足下式 span((eik))+span(etk)spanR(t)T(qk)?0 (25) 式中(e)——的正交补 span((ei))——(P)张成的空间 span(e)——张成的空间 一 般会有多个(1?ik?n)满足上式,可参照切 向量的方向确定最优的. 按照下式构造一个超平面 W=+l+span((ei,))(26) 通过+.点,并且正交于,与的交点就 是需要计算的qk+..从+.出发,应用经典迭代算 法(如牛顿迭代法)就可以收敛于M上的q. 图1从q到q抖l的连续过程 2在并联机构作业空间分析中的应用 作业空间分析是并联机构运动学设计的主要内 容.求解作业空间边界需要大量的计算时间,目前 的算法普遍存在效率不高的问题.下面以一台龙门 混联4自由度机床XNZ2010(~I图2)为例,应用上 述算法对其作业空间边界进行求解和分析. 不考虑方向的工作台移动,机床的机构模型 如图3所示,主要机构参数为两立柱间距W,四杆 的长度,f2,厶,f4,右侧立柱上的两铰链点间距f5, 左侧立柱铰链点上下滑移的最大值zl.和最小值 Z1,右侧立柱下部铰链点上下滑移的最大值z:一 和最小值z:可伸缩杆厶的长度变化最大和最小 极限和fm.由于f]的伸缩只影响刀具的姿态, 与刀具位置完全解耦,因此在作业空间分析中不考 虑的作用. 图2XNZ2010龙门机床 系统的广义坐标为 q=[1f,',]=[,z,zl,z2](27) 式中lf=[,z]——输出变量,刀具坐标系原点的 位置 ',=[z.,z:]——输入变量,滑块4和的位 置坐标 机构的运动学方程为 cg= (]:yw2一+(z:-+z1)z2一_z1:12:一:]c28 滑块4和应满足各自行程约束,即 Zimin?Zf~Zimaxf=1,2(29) 为将不等式约束转化为等式约束,引入变量 (j『=1,2),式(29)可表示为 zf=zo+Zfrsin0~f=1,2(30) 2004年l2月叶佩青等:非线性方程组解集边界求解方法及其在并联机构分析中的 应用103 式中z=1(zf+Zimin)1,2 z=妄(zf一一mi)江1,2 将式(30)代入式(28)中,输入变量,,变为 【,],子雅可比矩阵(g)为 一0] 式中a11=-[z一(z+zsinO1)]z~cos01 a22=_【z一(z+sinO2)]z~cosO2 为判断(g)是否满秩,构造一个单位矢量 : [,]'?R ' = 1(32) 即 +=1(33) (g)降秩等价于 (q)'=0(34) 将式(34)展开后,得到 口11=0(35) 口22=0(36) 将方程式(28),(33),(35)和(36)组合在一起构成了 求解机构作业空间解集的扩展方程 G(g)=0(37) 式中g:(,z,,o2,,)——系统广义坐标 利用连续法进行求解,可得机构作业空间边界 曲线图.在研究中采用的基本参数如下表,不同的 结构参数对作业空间的影响如图4,6所示. 表XNZ2010基本结构参数 12/mmZlmax/mmZlmin/l'HInZ2mnx/l'HInz2min/l'HIn 115O1200012000 图4作业空间随f1,f2的变化 图5作业空间随滑块行程的变化 图6作业空间随两立柱间距离的变化 根据上面关于作业空间边界的仿真结果,可以 得出以下结论. (1)作业空间的Y向边界随着,1和,2的增大而 增大. (2)作业空间的z向边界随着Z1ax和z2ax的 增大而增大. (3)随着W的增大,作业空间的向边界将增大, 而z向边界将缩小. 由以上计算结果可看出,含参数非线性方程组 解集边界的求解算法可以直接跟踪作业空间的边 界,因此效率很高;而且可得到作业空间边界的显 式描述,便于分析. 该算法已经在并联机构支链干涉检验[12】和精度 建模与分析【】3J中得NT应用.目前在研究中出现的主 要问题是,由于算法需要计算约束方程的切矢量,对 于过于庞大的系统,容易出现降秩次数较多,导致迭 代不收敛,因此构造扩展方程G(g)的过程非常关键. 3结论 介绍了一种含参数的非线性方程组解集边界求 l04机械工程?第40卷第l2期 解算法,并利用该算法对一台4自由度并联机床 XNZ2010进行了作业空间边界的求解. (1)含参数非线性方程组的连续解法能够直 接搜索非线性系统的解集边界,计算速度快,效 率高. (2)在处理多维非线性系统时,该算法利用一 维流形求解技术,可以获得可视化的系统边界. (3)试验表明,对于约束方程不过于庞大的系 统,应用该算法进行作业空间分析及精度研究很 有效. 参考文献 lJODYHaugEJ.Workspaceanalysisofmultibodyme- chanicalsystemsusingcontinuationmethods.Journalof Mechanisms,Transmissions,andAutomationinDesign, 1989,lll(4):581-589 2HaugEJ,WangJWuJK.Dextrousworkspacesofma- nipulators.partI:analyticalcriteria.MechanicsofStrut? turesandMachines,1992,20(3):321-36l 3WangJWuJK.Dextrousworkspacesofmanipulators. partII:computationalmethods.MechanicsofStructures andMachines,1993,2l(4):471-506 4Qiucc,LuhCM,HaugEJ.Dextrousworkspacesof manipulators.partIII:calculationofcontinuationcurvesat bifurcationpoints.MechanicsofStructuresandMachines, 1995,23(1):l15-130 5AdkinsFA.HaugEJ.Operationalenvelopeofaspatial Stewartplatform.JournalofMechanicalDesign,1997, ll9(2):330-332 6YangFC,HaugEJ.Numericalanalysisofthekinematic workingcapabilityofmechanisms.JournalofMechanical Design,1994,ll6(1):ll1-1l8 7LuhCM,AdkinsFA,HaugEJ,eta1.Workingcapability analysisofStewartplatforms.JournalofMechanicalDe- sign,1996,ll8(2):220-227 8RheinboldtWC.NumericalAnalysisofParameterized NonlinearEquations.NewYork:JohnWiley&Sons.1986 9LitvinFL.Applicationoftheoremofimplicitfunction systemexistenceforanalysisandsynthesisoflinkage. MechanismandMachineTheory,1980,l5(1):l15-125 l0李庆扬,莫孜中,祁力群.非线性方程组的数值解法. 北京:科学出版社,1987 llRaghavanM.TheStewartplatformofgeneralgeometry has40configurations.JournalofMechanicalDesign,1993, ll5(2):277-28l l2汪琦,李铁民,汪劲松.6自由度并联机床支链干涉建模 及试验研究.机械工程,2002,38(12):121-125 l3白杰文.并联机床铰链制造误差分析与补偿.:【硕士学 位论文1.北京:清华大学,2001 METHoDFoRF姗INGSoLUTIoN BoUNDARYoFANoNLEAR EQUATIoNSYSTEMANDITS APPLICATIoN1NPARAILEL M[ECHANISMS YePeiqingLilleminZhengHaojun (DepartmentofPrecisionInstrumentsand Mechanology,TsinghuaUniversity,Beijing100084) Abstract:Thestructuresofparallelmechanismsresultina nonlinearrelationshipbetweentheirinputandoutputmotions, soagreatmanynonlinearequationsareinvolvedinsuchques- tionsastheanalysisofkinematics,dynamics,workspacespace anderror,andmovingcontrolofparallelkinematicmachines. Basedonmanifoldtheoryandcomputationalcontinumion methods,anewapproachtonumericalcalculationandanalysis oftheboundaryofsolutionsetofaparameterizednonlinear equationsystemisintroduced.AJacobianmatrix'srowrank deficiencyconditionisexploredasthecriterionforthebound. aryofsolutionsetofanonlinearequationsystem.Anumerical methodformappingtheboundaryisdeveloped,anditCalldi. rectlycalculatetheboundaryofthesolutionseteffectivelyand rapidly.Atlast,anexample,whichisinvolvedincalculatingthe workspaceboundaryofareal4degree-of-freedomparallel kinematicmachinetool,isanalyzednumerically.111eexamina. tionresultsshowthatthismethodissuitableforsolvingthe boundaryofanonlinearequationsystem,andcanbeusedin analysis,designandcontrolofparallelmechanisms. Keywords:ParallelmechanismNonlinear Solutionboundary 作者简介:叶佩青,男,1963年出生,博士,副教授.主要研究方向为 数控技术,机床和机器人技术. E-mail:yepq@pim.tsinghua.edu.cn