黄金分割教案

黄金分割教案 《黄金分割与数学》 教学 刘燕明 2013.11. 第 1 页 共 5 页 《黄金分割与数学》教学设计 教学目标: 1(从数学课的角度:(1)使学生了解黄金分割、黄金比、黄金矩形的意义。 (2)使学生会确定一条线段的黄金分割点，明确黄金分割的尺规作图，体会数形结合的思想。 2.从美学的角度:通过对大自然中美的事物鉴赏，培养学生发现美、创造美的能力，同时陶冶学生情操。 3(从史学的角度:通过对黄金分割数学史料和“斐波拉契数列”的大致介绍，让学生对学习内容的意义有清晰的定位。 教学重难点:认识黄金分割的美学价值，确定一条线段的黄金分割点。 学生学具:直尺，圆规，量角器，学生用计算器。 活动流程设计 课前交流:课前、课中猜一猜老师的专业，随时告诉大家，如: “老师，我发现你是美术老师～”“我发现你不是数学老师”等等， 看谁猜得最准～ 一、创设问题情境，激发学生兴趣 1.计算几组算式(结果精确到0.001): 0.618?1= (1,0.618)?0.618= 1?(1+0.618)= 问:你发现什么有趣的现象了吗, 有人说，0.618为宇宙的钥匙，真有那么神奇吗, 2. 你觉得哪张照片的构图最合理,更能体现小松鼠若 有所思地在凝视前方, 3.多媒体展示三幅图片: 芭蕾舞演员在跳舞时，频繁的掂起脚尖，为练就这项本领，演员不知要付出多少艰辛与努力，目的是什么, 中华人民共和国国旗上镶着五颗五角星，给我们庄重肃穆之感;上海东方明珠, 塔身显得非常协调、美观;春天的气温在23度左右时，我们感觉到比较舒服，这些都给人以和谐、平衡、舒适、美的感觉。 你想过这些问题吗, 第 2 页 共 5 页 ,美是一种感觉～本来没有什么标准～但物体形状的比例提供了在匀称和协调上 的一种美感参考，这些都与0.618有关。, 二、动态探究，导出定义。 1、动态探究: 、媒体演示图片4，教师提出问题:舞台上，主持人站的位置有什么特点,,发1.1 现不是在舞台中间～而是在中间靠一侧点.主持人 站在舞台中间很别扭～如果靠一侧～则会给观众很 舒服、美观的感觉～声音传播的效果也较好,. 1.2、 把刚才的问题抽象成数学模型，研究主 持人位置的特殊性.(课件展示) (1)舞台抽象成一条线段AB，主持人是线段 上点C.点C将AB分成三条线段AC、CB、AB.如果 1点C在中点处,满足，如果点C向AC,CB,AB2 右侧运动， 则AC、CB、AB关系变为:CB,AC,AB. 2)以短、长、全命名它们。在点C由中点向右侧移动过程中，请观察下面两个( 比值的变化情况(几何画板演示).让学生发现: 全 短CB,(值由1,逐渐减小) 长AC B A C 长AC ,(值由0.5,逐渐增大)长 短 全AB 1.3、揭示定义: CBAC,随着点C的移动，两个比值逐渐接近，某一瞬间它们相等,即=0.618.ACAB这时我们称线段AB被点C黄金分割，点C叫线CBAC段AB的黄金分割点，AC与AB的比值(0.618)==0.618,ABAC叫做黄金比. ？点C是线段AB的黄金分割点。对于一条线段，其黄金分割点的位置很特 殊，如果把舞台看成一条线段，主持人站在这条 线段黄金分割点的位置主持节目，给观众舒服、美观的感觉，同时其声音的传播效果 也达到最好. 三、师生互动、探究作法。 1、分组探究、自主体验 五角星给人以庄重的美感，在图案中，是否也存在黄金分割呢，D 分四人一组，用刻度尺分别度量课本P108页的五角星点C到点A、 ACBCB的距离，量出线段的长度，然后计算与,它们的值接ABABAC 近一个什么样的数, AC(几何画板演示:随着正五角星大小的改变，AB、AC、CB的长发生改变，但与ABBC始终保持不变。) AC 第 3 页 共 5 页 结论1:点C是线段AB的黄金分割点。 启发:图中好像还有线段AB的黄金分割点，你发现了吗,能验证吗, 结论2:点D也是线段AB的黄金分割点。一般地，一条线段有两个黄金分割点，这两点关于线段的中点对称。 启发:你还发现图中其它类型的黄金分割现象了吗, 结论3:点C是线段DB的黄金分割点;点D是线段AC的黄金分割点。这叫做黄金分割点的再生性。 归纳与过渡:刚才的过程体现了从形到数的的转化，用数解释形的特点;现在我们由数回归到形，创造黄金分割。 3、独立探究:你能找到任一线段的黄金分割点吗, 学生可能会想到度量线段长 计算它的0.618倍 找点的方法。 过渡:能用作图方法直接作出这条线段的一个黄金分割点吗,引出下一议题。 4、自主学习,理解作法 (几何画板展示作一条线段的黄金分割点的方法与过程。) (1)如右图:已知线段AB，作图寻找右侧黄金分割点C: 作法:?取线段的中点D,将BD绕点B顺时针 A B 旋转90?，即BD?AB; 连接AD，在DA上截取DE=DB; ? ?在AB上截取AC=AE，则点C为线段AB的右侧黄金分割点. (2)运用定义，通过计算说明点C是线段AB的黄金分割点. 如果设AB=2，则BD=1,AD=,AC=-1,BC=3- 555 AC5,1？,,0.618 ， , AB2 ?点C为线段AB的黄金分割点. 或者可计算出 BC3532.236,,,,,0.618 AC2.2361,51, 也能得到点C为线段AB的黄金分割点. 归纳:两种方法有什么区别吗, 前者是近似地找到线段的黄金分割点，后者是较准确地用尺规直接作出任一线段的黄金分割点。 3、实际运用,伸延概念 想一想:古希腊时期的巴台农神庙,把它的正面放在一个矩形ABCD中，以矩形ABCD BCAB,的宽AD为边在其内部作正方形AEFD，那么我们可以惊奇地发现 ，那 BEBC点E是AB的黄金分割点吗,矩形ABCD的宽与长的比是黄金比吗,这样的矩形称为黄金矩形。 ACDB 四、及时巩固，初步应用 1. 如图，C、D是线段AB的两个黄金分割点,且AB=1?,则AD? cm,AC? cm,CD? ?(均精确到0.001);AC?AD? (结果保留3个有效数字)。 五、开阔眼界 1.黄金分割与人的关系相当密切: 第 4 页 共 5 页 地球表面的纬度范围是0—90?，对其进行黄金分割，则34.38?—55.62?正是地球的黄金地带。无论从平均气温、年日照时数、年降水量、相对湿度等方面都是具备适于人类生活的最佳地区。 人为什么在环境22至24?时感觉最舒适,因为人的体温为37?，与0.618的乘 ，这一温度中肌体的新陈代谢、生理节奏和生理功能均处于最佳状态。人积为22.8? 们的肚脐是人体总长的黄金分割点，人的膝盖是肚脐到脚跟的黄金分割点。 对应练习:小颖身高为169cm，下肢长98.9cm,演出时为了使身材更匀称优美，应穿多高的高跟鞋最为合适, 有些植茎上，两张相邻叶柄的夹角是137?28'，这恰好是把圆周分成1:0.618的两条半径的夹角。据研究发现，这种角度对植物通风和采光效果最佳。 在很多科学实验中，选取常用一种0.618法，即优选法， 它可以使我们合理地安排较少的试验次数找到合适的配方或条 件。优选法由美国数学家基弗于1953年首先提出的，70年代由数 学家华罗庚提倡在中国推广。 建筑师们对数学0.618…特别偏爱，无论是古埃及的金字塔， 还是巴黎圣母院，或者是近世纪的法国埃菲尔铁塔，都有与0.618…有关的数据。人们还发现，一些名画、雕塑、摄影作品的主题，大 多在画面的0.618…处。艺术家们认为弦乐器的琴马放在琴弦的 0.618…处，能使琴声更加柔和甜美。 2.与黄金分割有关的数学史料: 关于黄金分割比例的起源大多认为是公元前六世纪古希腊数学家毕达哥拉斯所发现，。中世纪后，黄金分割被披上神秘的外衣，意大利数学家帕乔利将中末比为神圣比例，并专门为此著立说。在相当一段时期里，人们非常崇拜黄金分割，比如古希腊的许多矩形建筑中，宽与长的比都等于黄金比。 "斐波那契数列":1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144、„这些数被称为"斐波那契数"。特点是除前两个数(数值为1)之外，每个数都是它前面两个数之和。 斐波那契数列的发明者，是意大利数学家列昂纳多?斐波那契。 斐波那契数列与黄金分割有什么关系呢,经研究发现，相邻两个斐波那契数的比值是随序号的增加而逐渐趋于黄金比的。不仅如此，随便选两个整数,然后按照斐波那契数的规律排下去，两数之比也是会逐渐逼近黄金比的。 大多数植物的花，其花瓣数都恰是斐波那契数。 六、归纳总结， (1)课堂小结:师生共同归纳本节课的收获。 数学化 回归 黄金 创造 生活中 美 分割 的美 生活 第 5 页 共 5 页