薛定谔

对薛定谔及薛定谔方程的深入理解 陇东学院  茹燕      指导教师  张广平 甘肃庆阳 745000 摘 要     薛定谔是奥地利物理学家，概率波动力学的创始人。他在物理学上的贡献是众所周知的，其中薛定谔方程便是一例。薛定谔方程是量子力学最基本的方程，亦是量子力学的一个基本假定，它在量子力学中的地位与牛顿方程在经典力学中的地位相当。本文先从薛定谔漫长的一生入手，分别就他的个人简介、个人档案、个人经历、人物生平、成就贡献等九个方面做一个系统全面的概述；然后介绍薛定谔方程，由方程的提出、定义、到推导、具体介绍、数学达式、物理含义、方程的解我将一一作出概括总结，使其更加全面深刻的为人所了解。 关键词：薛定谔；波动方程；概述；深入理解 一、薛定谔的一生 1、个人简介      埃尔温·薛定谔（Erwin Schrödinger，1887-1961年）1887年8月12日出生于奥地利首都维也纳，1961 年1 月4日卒于奥地利的阿尔卑巴赫山村。1906年至1910年，他就学于维也纳大学物理系，1910年获博士学位。毕业后，在维也纳大学第二物理研究所从事实验物理的工作。第一次世界大战期间，他应征服役于一个偏僻的炮兵要塞，利用闲暇时间研究理论物理。战后他仍回到第二物理研究所。直到 1920年以前主要在维也纳大学任教，1920年他到耶拿大学协助维恩工作。1921～1927年在苏黎世大学任教，开头几年，他主要研究有关热学的统计理论问题，写出了有关气体和反应动力学、振动、点阵振动（及其对内能的贡献）的热力学以及统计等方面的论文。1927年薛定谔接替普朗克到柏林大学担任理论物理教授。1933年希特勒上台后，薛定谔对于纳粹政权迫害爱因斯坦等杰出科学家的法西斯行为深为愤慨，移居牛津，在马达伦学院任访问教授。同年他与狄拉克共同获得诺贝尔物理学奖。1936年他回到奥地利任格拉茨大学理论物理教授。不到两年，奥地利被纳粹并吞后，他又陷入了逆境。1939年10月流亡到爱尔兰首府都柏林，就任都柏林高级研究所所长，从事理论物理研究。在此期间还进行了科学哲学、生物物理研究，颇有建树。出版了《生命是什么》一书，试图用量子物理阐明遗传结构的稳定性。1956年薛定谔回到了奥地利，被聘为维也纳大学理论物理教授，奥地利政府给予他极大的荣誉，设定了以薛定谔命名的国家奖金，由奥地利科学院授给。 他还研究过色觉理论，他对有关红绿色盲和蓝黄色盲频率之间的关系的解释为生理学家们所接受。 中文名： 埃尔温·薛定谔 外文名： Erwin Schrödinger 国籍： 奥地利 出生地： 维也纳 出生日期： 1887年8月12日 逝世日期： 1961 年1 月4日 职业： 物理学家 毕业院校： 维也纳大学 主要成就： 概率量子力学—波动力学的创始人 2、个人档案 出生：1887年8月12日 出生地：奥地利维也纳 逝世 ：1961年1月4日 　 逝世地 ：奥地利维也纳 研究领域：物理学家 著名成就 ：薛定谔方程 国籍：奥地利 居住地 ：奥地利 研究机构：弗罗茨瓦夫大学苏黎世大学 柏林大学 牛津大学 拉茨大学 都柏林高级研究学院 母校： 维也纳大学 博士导师： 弗里德里希·哈泽内尔 获奖： 诺贝尔物理学奖（1933年） 3、个人经历   1887年，8月12日出生于维也纳。   1906年，进入维也纳大学物理系学习。   1910年，取得博士学位，在维也纳大学第二物理研究所工作。   1921年，任瑞士苏黎世大学数学物理学教授。   1926年，证明波动力学与矩阵力学在数学上是等价的。   1927年，接替普朗克到柏林大学担任理论物理学教授，并成为普鲁士科学院院士。 1933年，因纳粹迫害移居英国牛津，在马格达伦学院任访问教授。同年与狄拉克共同获得诺贝尔物理学奖。晚年定居爱尔兰。 1956年，返回维也纳大学物理研究所，获得奥地利政府颁发的第一届薛定谔奖。 1961年1月4日，病逝于阿尔卑包赫山村。 4、人物生平   薛定谔（1887～1961）(德文：Erwin Schrdinger; 英文通常写作Erwin Schrodinger) 1913年与R.W.F.科尔劳施合写了关于大气中镭 A（即Po）含量测定的实验物理论文，为此获得了奥地利帝国科学院的海廷格奖金。第一次世界大战期间，他服役于一个偏僻的炮兵要塞，利用闲暇研究理论物理学。战后他回到第二物理研究所。1920年移居耶拿，担任M.维恩的物理实验室的助手。1925年底到1926年初，薛定谔在A.爱因斯坦关于单原子理想气体的量子理论和L.V.德布罗意的物质波假说的启发下，从经典力学和几何光学间的类比，提出了对应于波动光学的波动力学方程，奠定了波动力学的基础。他最初试图建立一个相对论性理论，得出了后来称之为克莱因—戈登方程的波动方程，但由于当时还不知道电子有自旋，所以在关于氢原子光谱的精细结构的理论上与实验数据不符。以后他又改用非相对论性波动方程──以后人们称之为薛定谔方程──来处理电子,得出了与实验数据相符的结果。1926年1～6月,他一连发表了四篇论文，题目都是《量子化就是本征值问题》，系统地阐明了波动力学理论。   在此以前，德国物理学家W.K.海森堡、M.玻尔和E.P.约旦于1925年7～9月通过另一途径建立了矩阵力学。1926年3月,薛定谔发现波动力学和矩阵力学在数学上是等价的,是量子力学的两种形式，可以通过数学变换,从一个理论转到另一个理论。 薛定谔起初试图把波函数解释为三维空间中的振动振幅，把粒子解释为波包。但他无法解决“波包扩散”的困难。最后物理学界普遍接受了玻恩提出的波函数的几率解释。   1927～1933 年接替 M.普朗克 ，任柏林大学物理系主任。因纳粹迫害犹太人，1933年离德到澳大利亚、英国、意大利等地。1939年转到爱尔兰，在都柏林高级研究所工作了17年。1956年回维也纳，任维也纳大学荣誉教授。1924年，L.V.德布罗意提出了微观粒子具有波粒二象性，即不仅具有粒子性，同时也具有波动性。在此基础上，1926年薛定谔提出用波动方程描述微观粒子运动状态的理论，后称薛定谔方程，奠定了波动力学的基础，因而与P.A.M.狄拉克共获1933年诺贝尔物理学奖 。1944年 ，薛定谔著《生命是什么》一书，试图用热力学、量子力学和化学理论来解释生命的本性。这本书使许多青年物理学家开始注意生命科学中提出的问题，引导人们用物理学、化学方法去研究生命的本性，使薛定谔成为蓬勃发展的分子生物学的先驱。   薛定谔在1935年发表了一篇论文，题为《量子力学的现状》,在这篇论文中，他发表了著名的薛定谔猫猜想，为量子力学的发展作出了贡献。在后期，薛定谔研究有关波动力学的应用及统计诠释，新统计力学的数学特征以及它与通常的统计力学的关系等问题。他还探讨了有关广义相对论的问题，并对波场做相对论性的处理。此外，他还写出了有关宇宙学问题的一些论著。与爱因斯坦一样，薛定谔在晚年特别热衷的是把爱因斯坦的引力理论推广为一个统一场论，但也没有取得成功。   薛定谔对哲学有浓厚的兴趣。早在第一次世界大战期间，他就深入研究过B·斯宾诺莎、A·叔本华、E·马赫、R·西蒙、R·阿芬那留斯等人的哲学著作。晚年，他致力于物理学基础和有关哲学问题的研究，写了《科学和人文主义——当代的物理学》（英文版，1951）等哲学性著作。　 5、趣闻轶事 （1）遭遇挑战 有一天，薛定谔就这一奇特现象作了一个讲座。他受到了一位物理学家同行彼得·德拜（Peter Debye）的挑战，他问薛定谔：如果电子是用波来描述的，那么它们的波动方程是什么？ （2）写出方程 自从牛顿创造了微积分，物理学家们得以用微分方程描述波，因此薛定谔将德拜的问题——写出微分方程当成一项挑战。那个月薛定谔外出度假，当回来的时候他已经写出了方程。正如在他之前的麦克斯韦采用法拉第的力场，提炼出了光的麦克斯韦方程；薛定谔采用德布罗意的物质波，提炼出了光子的薛定谔方程。 （3）浪漫故事 科学史家们作了些努力，试图搜索出薛定谔发现永久改变现代物理学和化学面貌的方程时究竟做了什么。显然，薛定谔是自由之爱的信奉者，并且一直由情人们或者他的妻子陪伴着度假。他甚至保留有一份关于他所有为数众多的情人们的详细日记存档，对每一次相会都精心作了编码。历史学家现在认为，在他发现方程的那个星期，他与他的一位女友住在阿尔卑斯山的赫维格别墅。 6、性情中人 作为一名科学家薛定谔确有其独特不群之处。简单说来，关注的至少有三点： 首先是他的人格形象。不同于一般的，或者说图式化的科学家形象，据穆尔的传记看来，此公似乎是一位性情中人，或者说一位多情种子，毕生陷于恋情的漩涡与纠葛中。不计青少年时期的情窦初开和数次情感遭遇，即使在33岁那年成婚后，他仍然是激情充溢，外遇不断，其对象既有已婚的研究助手的妻子，也有年方二八的他曾辅导过数学的女中学生，既有闻名遐迩的演员和艺术家，也有年轻的政府职员，而这种浪漫风流一直持续到年逾花甲，并且有不止一个非婚生的孩子。对于每一段情感履历，他都非常投入，并为此创作了不少缠绵的情诗。但奇怪的是，生活在维也纳和都柏林这样宗教色彩很浓的地方，他竟然能全然不顾忌传统礼数，认为这是他个人的自由，甚至设想过一妻一妾的生活；而同样令人称奇的是，他与其元配安妮的婚姻历经这种种事端，竟然能白头到老，而且安妮还亲自照料了他非婚生孩子的婴儿期。或许这与安妮自己没有孩子不无关系，但即便如此，这种薛定谔式的爱情，这样的家庭关系，与我们头脑中的科学家形象，恐怕还是会有很大反差，相去甚远的。另一段说明此公惯于我行我素的轶事，是尽管他一贯远离政治，保持距离，但在奥地利格拉茨大学任教时，迫于亲纳粹当局的压力，曾发表声明对自己以往的“不敬”行为表示“忏悔”，结果在当地报纸和《自然》杂志上都刊出了他向纳粹妥协的消息。但当终于逃到英国，面对其他人的问询时，他却又不屑于为自己的行为作任何辩解，认为这纯属他个人的自由，无须为此权宜之计而内疚，反倒令其他科学家颇为尴尬。而在五年前，也同样是他，在纳粹刚刚上台，开始刁难驱逐犹太科学家之时，因不愿与纳粹同流合污，主动辞去了柏林大学理论物理学教授的职位，而为其他科学家所赞赏，因为按照他的雅利安血统，宗教背景和普朗克继承人的学术地位，他当时是完全可以自保其身的。显然，在这种丰富复杂的性格形象面前，通常的政治标签似乎是显得过于苍白简单了。　   其次是独到的贡献。人其事如此，其科学上的成就也不乏独特之处。薛定谔于1926年提出其波动方程时已39岁，比起量子力学史上上的其他英雄们，可谓是大器晚成（发表他们的第一篇成名论文时，爱因斯坦26岁，玻尔28岁，海森伯24岁，泡利25岁，狄拉克24岁，约当23岁，乌伦贝克和戈德斯密特分别为25和23岁），在这一点上，他倒是与其柏林大学的前任普朗克不无相似。据说他的这种创造性的激情，恰恰来自圣诞节假期中与情人的幽会，且一发而不可收，在短短不到五个月时间里，一连发表了六篇论文，不仅建立起波动力学的完整框架，系统地回答了当时已知的实验现象，而且证明了波动力学与海森伯矩阵力学在数学上是等价的[狄拉克也证明了]，令整个物理学界为之震惊。颇有讽刺意味的是，尽管为革命性的量子力学作出了基础性的贡献，薛定谔本人的初衷却是恢复微观现象的经典解释；而更令人称绝的是，薛定谔本人坦承他的科学工作，常常并非是独创性的，但他总能敏锐地抓住一些始作甬者的创新性观念，加以系统的构建和发挥，从而构成第一流的理论：波动力学来自德布洛意，《生命是什么》来自玻尔和德尔布吕克，而“薛定谔的猫”则来自爱因斯坦。今天，量子力学已成为整个理论物理学和高科技的基础，从粒子物理和场论，到激光，超导和计算机。格利宾的书对量子力学的历史发展和应用作了相当通俗形象的描述。但如何解释和理解量子力学的成果，却至今依然是学界，尤其是科学哲学上的热门话题。爱因斯坦和玻尔为之争论了一辈子，“薛定谔的猫”则被爱因斯坦认为是最好地揭示了量子力学的通用解释的悖谬性。其大意是：在一个封闭的盒子里装有一只猫和一个与放射性物质相连的释放装置。在一段时间之后，放射性物质有可能发生原子衰变，通过继电器触发释放装置，放出毒气，也有可能不发生衰变，因此依据常识，这只猫或是死的，或是活的。而依据量子力学中通用的解释，波包塌缩依赖于观察，在观察之前，这只猫应处于不死不活的迭加态，这显然有悖于人们的常识，从而凸显出这种解释的困境。为摆脱这种困境，人们设想出了种种，但似乎并不能填平这种常识与微观特异性之间的鸿沟。例如格利宾本人所赞成的多世界解释，认为猫死与猫活这两种结果分属两个独立平行且真实存在的世界，是我们的观察行为选择了其中之一为我们的世界。这似乎不仅没有消除，反倒是增加了人们的困惑。　   最后是丰富的思想。薛定谔的“猫悖论”，引出了我们对于他的第三点关注：他的丰富的哲学思想。“猫悖论”反映出在科学哲学层面上，他反对哥本哈根学派，试图用连续的波动图象，重建对微观对象的经典理解，当然，他的尝试并不成功；而在更抽象的形上层次，他则从叔本华那儿接受了古印度的吠檀多哲学，并从这种信仰中去追求自然的统一，追求自我与宇宙精神的统一。他曾先后写作了《生命是什么》《科学与人文主义》，《大自然与希腊人》，《科学理论与人》，《心与物》，《我的世界观》和死后出版的《自然规律是什么》等哲学论著和文集，甚至一度设想过在教书之余，以哲学为主要兴趣，以至于被当代著名物理学家西蒙尼认为“是我们世纪的物理学家中最为引人注目的哲学家”。这样的科学家形象，与当代职业科学家的技术化，工匠化，商业化和平面化趋势相比较，是否也会给我们若干启示呢？现在的社会就需要我们不断的探索新事物，从而发现更高层次的理论，以更好的建立物理理论大厦。 7、成果及荣誉   1926年他提出著名的薛定谔方程，为量子力学奠定了坚实的基础。方程的提出只是稍晚于沃纳·海森堡的矩阵力学学说，此方程至今仍被认为是绝对的，它使用了物理学上所通用的语言即微分方程。这使薛定谔一举成名，他还在同年证明了自己的波动力学是与海森堡和玻恩的矩阵力学在数学上是等价的。   1937年被授予马克斯·普朗克奖章。   1944年薛定谔出版了《生命是什么》，此书中提出了负熵的概念。他自己发展了分子生物学，想通过用物理的语言来描述生物学中的课题。他还发表了许多的科普论文，它们至今仍然是进入到广义相对论和统计力学的世界的最好向导。   最著名的思想实验是薛定谔的猫，在这个试验中他把量子力学中的反直观的效果转嫁到日常生活中的事物上来，并想以此来表达他对想要用一般的统计学说来解释量子物理的拒绝。 此外薛定谔还发表了50余本著作涉及到不同的题目，还进行了统一的语义场论的努力。 8、主要作品   薛定谔曾先后写作了《生命是什么》《科学与人文主义》，《大自然与希腊人》，《科学理论与人》，《心与物》，《我的世界观》和死后出版的《自然规律是什么》等哲学论著和文集，甚至一度设想过在教书之余，以哲学为主要兴趣，以至于被当代著名物理学家西蒙尼认为“是我们世纪的物理学家中最为引人注目的哲学家”。 9、主要成就 薛定谔的波动力学，是在德布罗意提出的物质波的基础上建立起来的。他把物质波表示成数学形式，建立了称为薛定谔方程的量子力学波动方程。薛定谔方程是量子力学最基本的方程，也是量子力学的一个基本假定，其正确性只能靠实验来检验。薛定谔方程是将物质波的概念和波动方程相结合建立的二阶偏微分方程，可描述微观粒子的运动，每个微观系统都有一个相应的薛定谔方程式，通过解方程可得到波函数的具体形式以及对应的能量，从而了解微观系统的性质。 薛定谔对分子生物学的发展也做过工作。由于他的影响，不少物理学家参与了生物学的研究工作，使物理学和生物学相结合，形成了现代分子生物学的最显著的特点之一。薛定谔对原子理论的发展贡献卓著，因而于1933年同英国物理学家狄拉克共获诺贝尔物理奖金。 二、薛定谔方程  1、方程的提出　 当法国物理学家德布罗意的“微观粒子也像光一样具有波粒二象性”的假说被美国物理学家戴维逊和革末利用“电子的晶体粉末散射实验”证实后，薛定谔通过类比光谱公式成功地发现了可以描述微观粒子运动状态的方法——薛定谔方程。 2、定义 在量子力学中，体系的状态不能用力学量（例如）的值来确定，而是要用力学量的函数，即波函数（又称概率幅，态函数）来确定，因此波函数成为量子力学研究的主要对象。力学量取值的概率分布如何，这个分布随时间如何变化，这些问题都可以通过求解波函数的薛定谔方程得到解答。这个方程是奥地利物理学家薛定谔于1926年提出的，它是量子力学最基本的方程之一，在量子力学中的地位与牛顿方程在经典力学中的地位相当。 薛定谔方程是量子力学最基本的方程，亦是量子力学的一个基本假定，它的正确性只能靠实验来检验。 3、推导 由于我们要建立的是描写波函数随时间变化的方程，因此它必须是波函数应满足的含有对时间微商的微分方程。此外这方程还应满足下面两个条件：（1）方程是线性的，即如果和都是这方程的解，那么和的线性叠加是方程的解。这是因为根据态叠加原理，如果和都是粒子可能的状态，那么也应是粒子可能的状态；（2）这个方程的系数不应包含状态的参量，如动量、能量等，因为方程的系数如含有状态的参量，则方程只能被粒子的部分状态所满足，而不能被各种可能的状态所满足。 现在来建立满足上述条件的方程。我们采取的步骤是先对波函数已知的自由粒子得出这种方程，然后把它推广到一般情况中去。用平面波描写自由粒子的波函数：                           （1） 它是所要建立的方程的解。将（1）式对时间求偏微商，得到                               （2） 但这不是我们所要求的方程，因为它的系数中还有能量E。再把（1）式对坐标求二次偏微商，得到 同理有  将以上三式相加，得         （3） 利用自有粒子的能量和动量的关系式：                                     （4） 式中是粒子的质量。比较（2）和（3）两式，我们得到自由粒子波函数所满足的微分方程：                           （5） 它所满足前面所述的条件。（2）和（3）两式可改写为如下形式：                                 （6）                   （7） 式中是拉普拉斯算符： 由（6）式和（7）式可以看出，粒子能量E和动量 各与下列作用在波函数上的算符相当：                         （8） 这两个算符依次称为能量算符和动量算符。把（4）式左右两边乘以，再以（8）式代入，即得微分方程（5）。 现在利用关系式（8）来建立在力场中粒子波函数所满足的微风方程。设粒子在力场中的势能为。在这种情况下，粒子的能量和动量的关系式是                               （9） 上式两边乘以波函数，并以（8）式代入，便得到所满足的微分方程                 （10） 这个方程称为薛定谔波动方程，或薛定谔方程，也常简称为波动方程。                          4、薛定谔方程的具体介绍 薛定谔方程（Schrdinger equation）是由奥地利物理学家薛定谔在1926年提出的。它是量子力学中的一个基本方程，也是量子力学的一个基本假定。它是将物质波的概念和波动方程相结合建立的二阶偏微分方程，可描述微观粒子的运动，每个微观系统都有一个相应的薛定谔方程式，通过解方程可得到波函数的具体形式以及对应的能量，从而了解微观系统的性质。它揭示了微观物理世界物质运动的基本规律，就像牛顿定律在经典力学中所起的作用一样，它是原子物理学中处理一切非相对论问题的有力工具，在原子、分子、固体物理、核物理、化学等领域中被广泛应用。 量子力学中求解粒子问题常归结为解薛定谔方程或定态薛定谔方程。薛定谔方程广泛地用于原子物理、核物理和固体物理，对于原子、分子、核、固体等一系列问题中求解的结果都与实际符合得很好。   现在我们来讨论薛定谔方程的解。一般情况下也可以是时间的函数，目前我们只讨论与时间无关的情况。 如果不含时间：薛定谔方程（10）可以用分离变量法进行求解。考虑这方程的一种特解：                             （11） 方程（10）的解可以表示许多这种特解之和。将（11）式代入方程（10）中，并把方程两边用去除，得到                     因为这个等式左边只是的函数，右边只是的函数，而和是相互独立的变量，所以只有当两边都等于同一常数时，等式才能被满足。以表示这个常量，则由等式左边等于，有                                   （12） 由等式右边等于，有                                         （13） 方程（12）的解可以直接得出：                                                     为任意常数。将这结果代入（11）式中，并把常数放到里面去，这样就得到薛定谔方程（10）的特解                                                 （14） 这个波函数的角频率是确定的.按照德布罗意关系，就是体系处于这个波函数所描写的状态时的能量。由此可见，体系处于（14）式所描写的状态时，能量具有确定值，所以这种状态称为定态，（14）式称为定态波函数。在定态中，概率密度和概率流密度都与时间无关。函数由方程（13）和在具体问题中波函数应满足的条件得出。方程（13）称为定态薛定谔方程。函数也称为波函数，因为知道后，由（14）式就可以求出。 5、薛定谔方程的数学表达形式 这是一个二阶线性偏微分方程，是待求函数，它是三个变量的复数函数（就是说函数值不一定是实数，也可能是复数）。 6、物理含义 　　这是一个描述一个粒子在三维势场中的定态薛定谔方程。质量为的粒子在势能为的势场中运动时，有一组 与粒子稳定态相对应。定态薛定谔方程每一个解，即一组 的每一个, 表示粒子的一个定态。这个解对应的常数就是这个定态具有的能量,称为本征值,相应的函数叫本征波函数。 所谓势场，就是粒子在其中会有势能的场，比如电场就是一个带电粒子的势场；所谓定态，就是假设波函数不随时间变化。其中，是粒子本身的能量；是描述势场的函数，假设不随时间变化。薛定谔方程有一个很好的性质，就是时间和空间部分是相互分立的，求出定态波函数的空间部分后再乘上时间部分以后就成了完整的波函数了。 7、 薛定谔方程的解——波函数的性质 （1）虽然任意给定的都可以解出一个函数解，但只有满足一定条件的分立的一些值才能给出有物理意义的波函数； （2）由于薛定谔方程是一个线性微分方程，所以任意几个解的线性组合还是薛定谔方程的解。 （3）求解时会引入四个参变量，(主量子数，大致决定了粒子的能量大小），（角量子数，一定程度上影响着粒子能量的大小），（磁量子数），(自旋磁量子数）。 其中取值为非负整数，可为、、……，为、、、...、，为或。且这四个参变量均具有明确的物理意义。 利用薛定谔方程，再加上波函数标准条件，可以 “自然地” 得到微观粒子的重要特征—量子化结果, 而不需像普朗克假设那样强制假定量子化。薛定谔方程的结果，已被无数实验所证实。