椭圆面积公式推导

椭圆面积公式推导 2010-08-01 17:28 今天我想到了一个推导椭圆面积的方法，过程如下。 先从一个单位圆(圆心在坐标原点，半径为1的圆)开始，研究它在第一象限的图像和方程，方程为y= ?(1-x^2)， 0<=x<=1,0<=y<=1. 用微积分算出第一象限图像与坐标轴围成的面积，将横轴[0,1]分成n份，每份长1/n，可列算式 1/n[根号(1-1/n^2)+根号(1-4/n^2)+……+根号(1-(n-1)^2/n^2)] ,记作1式，当1式中n趋近于无限大时，1式趋近于所求面积等于(1/4)pi(pi为圆周率) 现在换椭圆。 设椭圆方程为x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)同样研究第一象限，方程为y=(b/a)*根号(a^2-x^2),0<=x<=a,将横轴[0,a]分成n份,求面积则可以列出算式(a/n)*(b/a)[根号(a^2-a^2/n^2)+……+根号(a^2-a^2(n-1)^2/n^2)]= ab/n[根号(1-1/n^2)+根号(1-4/n^2)+……+根号(1-(n-1)^2/n^2)] ,记作2式，当2式中n趋近于无限大时，2式根据1式无限接近(ab/4)pi,即原椭圆在一象限图像与坐标轴围成的面积，因为椭圆为上下左右轴对称图形，所以原椭圆总面积为ab×pi。 所以一个椭圆的面积等于它的长半轴长乘短半轴长乘圆周率，当a，b相等时，即为圆的面积公式。 构造 是一种古老的绘画椭圆的简易工具。常见的椭圆规由有十字形滑槽的底板和旋杆组成。 在十字形滑槽上各装有一个活动滑表标。滑标下面有一根旋杆。此旋杆与纵横两个滑标连成一体。移动滑标，其下面的旋杆能作360?的旋动画出符合椭圆方程的椭圆。 编辑本段用法 如图， 滑动点A和B在两条夹缝中移动.PAB是杠杆上相连的三点。你将看到点P的轨迹是一个椭圆。 具体操作可看右图(点击看动态图)。 编辑本段证明 设 PA=a, PB=b, 和 t=?ABO(O为十字形中心)以十字形构建直角坐标系。 则点P的坐标是(a cos t, b sin t) ，点P的轨迹是以2a和2b为轴心的椭圆。 椭圆面积S=?×a×b 范施古登定理:在一个三角板中，如果两个角的顶点沿着一个固定的两边滑动，则第三个角顶的轨迹是一个椭圆。 {根据椭圆共轭直径绘制椭圆曲线的算法 ------CNKI}