30 二倍角的正弦、余弦、正切

30 二倍角的正弦、余弦、正切 一. 本周教学内容: 1. 内容:高一第一册(下) ?4.7 二倍角的正弦、余弦、正切 2. 目标:使学生掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，能正确运用这些公式进行简单三角函数式的化简、求值与恒等式(包括半角公式、积化和差公式、和差化积公式，但不要求记忆)。 通过倍角公式的推导，了解它们之间，以及它们与和角公式之间的内在联系，从而培养逻辑推理能力。并体会数学中普遍存在的运动变化、相互联系、相互转化等观点。提高学生的运算能力、分析问题和解决问题的能力。 2正弦、余弦、正切的倍角公式以及公式的两种变形及Ccoscos221,,,, 3. 重点: 2, 2 cossin212,,,,。 4. 难点:倍角公式与以前学过的同角三角函数的基本关系式、诱导公式、和(差)角公式的综合运用。 5. 学法指导: 切实掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式及其变形公式。在公式、中，角是SC,22,, 1,,任意的，但在公式中，只有当和时才成立。Tkkkz,,，,，,,,,() 2,422 二倍角公式不仅限于是的二倍的形式，还可以运用于将作为的倍、将作为2422,,,,, ,,,3,,的倍、将作为的倍、将作为的倍、将作为的倍等情况。应用倍角公式223,,22224236 时还应注意公式的灵活变形及公式的逆用。 ,,,1例如，，，sinsincossincossin,,,,233,,,6 2442 ,,,,,240tan:224sincos(sincos)sincossincos,,,,,222，，等。224,,,,:tan80244442140,:tan 在实际应用中，二倍角的正弦、余弦公式的变形公式运用极为广泛。 sin2,2如的变形公式在求积时应用较多;sinsincoscos22,,,,,,,,coscos221,, 2sin, 12,cos,12，cos,222,,,12sinsin,,的变形，常被称为“降幂公式”，而cos,, 22 22 122122，,,,coscoscossin,,,,，称为“升幂公式”。 只有熟练地掌握二倍角公式及其变形公式，才能灵活地运用公式。 【典型例题】 例1. 化简: ()120406080coscoscoscos:,:,:,: ()26426678sinsinsinsin:,:,:,: o 分析:(1)中，除60角是特殊角外，其它3个角均不是特殊角，但它们之间有倍数关系，可利用倍角公式进行化简。(2)中角之间的倍数关系不明显，但稍作变化，即可发现其中的规律。 1()原式1,:,:,:coscoscos204080 解: 2 1 sincoscoscos20204080:,:,:,: , 220sin: sincoscos404080:,:,: , 420sin: sincos8080:,: , 820sin: sin160:, 1620sin: sin20:, 1620sin: 1, 16 ()原式26482412,:,:,:,:sincoscoscos 266122448cossincoscoscos:,:,:,:,:, 26cos: sincoscoscos12122448:,:,:,:, 26cos: sincoscos242448:,:,:, 46cos: sincos4848:,:, 86cos: sin96:, 166cos: cos6:, 166cos: 1, 16 说明:本题主要考查二倍角的正弦公式，考查通过等价转换化简三角函数式的能力。 此例中，三角函数式是几个角正弦或余弦的连乘积，这些角之间具有倍数关系，故可连续 使用二倍角正弦公式进行化简。此时注意对所需化简式进行等价变形，“凑”出倍角公式 的结构。 n，1sin()2,*n类似地，可以证明恒等式:„„coscoscoscos(),,,,,,,,,242()nN n，12sin, 1已知，且，求、、的值。sincossincostan,,,,,,,，,,,022 例2. 3 分析: 利用、、的关系，可求出、sincossincossincossincossincos,,,,,,,,,,，,, 的值，再利用二倍角公式求值。 1？sincos,,，, 解: 3 122？，，,sinsincoscos,,,,2 9 188？,,,,,,2sincossin,,,1，即2 999 4？sincos,,,,,,,,,00且 9 ？,,sincos,,0 2 172 ？,,,,,,sincos(sincos)sin,,,,,12 3 1171722 ？,,,，,,，,,,coscossin(cossin)(cossin)()2,,,,,,, 339 8,sin2,8179 tan2,,,,cos2,1717,9 说明:已知角的一个三角函数值及所在象限，可求出的正弦、余弦和正切。而本,,2 1题已知三角函数式，可利用同角三角函数的基本关系式得出的值，sincossincos,,,,，,3 进而得出的值，再由二倍角公式即可求得、、的值。也可以sincossincostan,,,,,,222 ,先求出、、的值再用二倍角公式，但要判断出。sincostan,,,,,,, 2 ,1,2,,已知，，且，，求的值。cos()sin()cos(),,,,,,,,,,，,,,,0,, 例3. 292322 ,,,,,，，,注意到，故可先利用两角差的公式求出的余弦()(),,,,,, 分析: 2222 值，再利用二倍角公式求的值。cos(),,， ,,？,,,,,,,，0 解: 22 ,,,,,？,,,,,,，0 42242 ,,,,,？,,,,,,,,,，, 42422 ,1,2又，？cos()sin(),,,,,,, 2923 ,,14522 ？,,,,,,,sin()cos()(),1,12299,,2522 cos()sin()(),,,,,,,,1,12233,,，,,？coscos[()()],,,,,, 222 ,,,,,,,,，,,,cos()cos()sin()sin(),,,, 2222 15452,,，，， 9393 75, 27 ,,，7523922？，,cos()cos(),,2,,，,,,121 227729 说明:求三角函数值需要特别注意确定角的范围和角的变换。本题首先考查已知角和 ,,，,,所求角之间的关系，发现是解题的关键，然后通过已知条件求出,,,,()(),, 222 ,,,,，,,,,,,,和的范围，并求得和的值，为运用差角公式求,,sin()cos()cos,22222 3 的值铺平道路。 (sincos)(sincos),,,,，,,，11 例4. 化简 sin2, 分析:为创造约分的条件，应对角进行转化。 解: ,,,,,,22(sincossin)(sincossin)2,，222222222 一: 原式,,,4sincoscos,,,22 ,,,,,sin(cossin)(cossin),，22222 ,,coscos,,2 ,,,22sin(cossin),,222 ,,coscos,,2 ,sincos,,2 ,,coscos,,2 ,,tan 2 22sin(cos),,,,1 方法二:原式, sin2, 22sincoscos,，,,,,21 , sin2, 222,coscos,, , 2sincos,, 1cos,,, sin, ,,tan 2 ,方法一利用二倍角公式，将分子、分母转化成的三角函数，创造约分的条件。 说明: 2 22 方法二先是用了平方差公式，又利用，最后用到半角的正切公式sincos,,，,1 ,,1,cossin,tan,,(该结论见课本练习第题)。P1 462sin,1，cos, ,,22tan1,tan22 本题的方法还有一些，如利用万能公式，，sin,,cos,,,,221，tan1，tan22 ,2tan,2tan,,，把和用表示后再进行化简。注意体会用三角公式化简三sincostan,,,221,tan2 角函数式的灵活性。 4 3424,，coscosAA4 例5. 求证:,tanA 3424，，coscosAA 分析:观察等式左右两边，易知应对角进行转换。 证明: 2342221,，,coscosAA左边, 方法一: 2342221，，,coscosAA 222422coscosAA,，, 222422，，coscosAA 2coscos2221AA,，, 2coscos，，2221AA 2A(cos)21,, 2(cos)21，A 22A(sin)2, 22(cos)2A 4 ,,tanA右边 ？等式成立 41214(cos)(cos),,,AA 方法二:左边, 41214(cos)(cos)，,,AA 224222,,sinsinAA, 224222,,cossinAA 22288sinsincosAAA,, 22288,cossincosAAA 22AA1sin(cos),, 22cos(sin)AA1, 4Asin, 4cosA 4 ,,tanA右边 ？等式成立 说明:在证明三角恒等式时，可以从左式出发证出右式，也可以从右式出发证出左式; 还可以从左右两端都向中间证明。 一般说来，多采用由“繁”的一边向“简”的一边证明。本例两种证法都是首先着眼 于“角”的变化，即把左式中的角“4A”通过倍角公式化为“2A”，最后化为关于“A” 的三角函数。 【模拟试题】 一. 选择题: 1. 下列f(x)与g(x)中，不能表示同一函数的是( ) A. fxxgxxx()sin()sincos,,22， 22fxxgxxx()cos()cossin,,,2， B. 22fxxgxx()cos()sin,,,,2112， C. 2tanx D. fxxgx()tan(),,2，21,tanx 5 544 2. 已知是第三象限角，且sincossin,,,，,，那么2等于( ) ,9 222222 A. B. C. , D. , 3333 sincoscossin6241242:,:,:,: 3. 的值为( ) 1111, A. B. C. D. 1616328 ,,2,cos()cos()sin,,，,,,,,,()，则02, 4. 若的值是( ) 4462 27734 A. B. C. D. 3366 ,tantan()xx,,,22，则 5. 若( ) 4 4343,, A. B. C. D. 3344 6. 化简等于( ) 120120，:,,:sinsin 210cos:210sin:,:210cos,:210sin A. B. C. D. 二. 填空题 sinsin,,，2 7. 化简=___________。 12，，coscos,, sinsin1575:,: 8. =___________。 sincostancot,,,,，,,，2，则等于 9. 若___________。 11,3tantan,,,,,,,,,，,，，，，则0,,,,, 10. 已知___________。 2322三. 解答题: 11. 化简: 1，cosnnn,,,22()()14，,sincosnN244 ,,1(sincos)(sincos)，，,,,22()2180360():,,:,22，cos, ,22cossin,,,1,2 12. 已知的值。 tan222,,,,,，，求2,,,22sin()，,4 sin21,，11,，tan, 13. 求证:。 122，，cossin,,22 ,810581053sincoscossinsin()sin(),,,,,,，,，,，,,，，，求证:, 14. 已知。 3 6 【试题答案】 1. D 提示:考查函数的定义域和对应法则 144222222 2. A 提示:sincos(sincos)sincos(sin),,,,,,,，,，,,,212 2 26cos: 3. A 提示:分子、分母同乘以 ,,,,, 4. B 提示:。 ，,,,，,,,()cos()sin(),，故,,42444 ,tan()x, 5. C 提示:先求出的值。 4 2 6. B 提示: 1201010,:,:,:sin(sincos) 2 7. 提示: sinsincoscoscos22122,,,,,,，,，tan, 1sincos1515:,: 8. 提示:原式= 4 9. 2 提示:由已知可得 122，,sin, sin,cos,12？,，,，,,,sintancot21,,,，2 cos,sinsincossin,,,,2 5, 10. 提示: tan(),,,,,,，,,，,12，且4 nn,,22()原式1,，,cossin1 11. 解: 22 ,,,,,2(cossincos)(sincos)2，,222222()原式2, ,24cos2 ,,,,,cos(cossin)(sincos)2，,22222,,|cos|22 ,,,22cos(sincos),222, ,|cos|2 ,coscos,,2,,|cos|2 ？180360:,,:, ,？:,,:901802 ,？,cos0 2 ,,,coscos,2？,原式,cos,,,cos2 12. 解: ？tan222,,, 7 2tan,？,,2221,tan, 2解之得或tantan,,,,,22 ,又？,,2,,2 ,,？,,,42 ？,tan,0 2？,,tan,舍去 2 cossin,,, ？,原式222(cossin),,，22 cossin,,,,cossin,,， 1,tan,,1，tan, 12,,12， ,,，322 22sincossincos,,,,，，2左边, 13. 证明: 2cossincos，22,,, 2(sincos),,，,cos(cossin),,,，2 sincos,,，, 2cos, 11,，tan,22 ,右边 ？原式成立 14. 证明: ？810581053sincoscossin,,,,，,，,， 164160100，，,sin(),, 两式平方相加得 2？，,,sin(),,5 又由得81051058sincoscossin,,,,，,,, 由得8105310538cossinsincos,,,,，,,, 两式平方相加得10016480803,,,sincos,, 132即sincos,,，,225 ,2？，,sin(),35 ,因此sin()sin(),,,，,,，3 8 9