证明圆的切线方法

证明圆的切线方法 我们学习了直线和圆的位置关系，就出现了新的一类习题，就是证明一直线是圆的切线.在我们所学的知识范围内，证明圆的切线常用的方法有: 一、若直线l过?O上某一点A，证明l是?O的切线，只需连OA，证明OA?l就行了，简称“连半径，证垂直”，难点在于如何证明两线垂直. 例1 如图，在?ABC中，AB=AC，以AB为直径的?O交BC于D，交AC于E，B为切点的切线交OD延长线于F. 求证:EF与?O相切. 证明:连结OE，AD. ?AB是?O的直径， ?AD?BC. 又?AB=BC， ??3=?4. ? ? ?BD=DE，?1=?2. 又?OB=OE，OF=OF， ??BOF??EOF(SAS). ??OBF=?OEF. ?BF与?O相切， ?OB?BF. 0 ??OEF=90. ?EF与?O相切. 说明:此题是通过证明三角形全等证明垂直的 1 例2 如图，AD是?BAC的平分线，P为BC延长线上一点，且PA=PD. 求证:PA与?O相切. 证明一:作直径AE，连结EC. ?AD是?BAC的平分线， ??DAB=?DAC. ?PA=PD， ??2=?1+?DAC. ??2=?B+?DAB， ??1=?B. 又??B=?E， ??1=?E ?AE是?O的直径， 0 ?AC?EC，?E+?EAC=90. 0 ??1+?EAC=90. 即OA?PA. ?PA与?O相切. 证明二:延长AD交?O于E，连结OA，OE. ?AD是?BAC的平分线， ? ? ?BE=CE， ?OE?BC. 0 ??E+?BDE=90. ?OA=OE， ??E=?1. ?PA=PD， ??PAD=?PDA. 又??PDA=?BDE, 2 0 ??1+?PAD=90 即OA?PA. ?PA与?O相切 说明:此题是通过证明两角互余，证明垂直的，解题中要注意知识的综合运用. 例3 如图，AB=AC，AB是?O的直径，?O交BC于D，DM?AC于M 求证:DM与?O相切. 证明一:连结OD. ?AB=AC， C. ??B=? ?OB=OD， ??1=?B. ??1=?C. ?OD?AC. D ?DM?AC， ?DM?OD. ?DM与?O相切 证明二:连结OD，AD. ?AB是?O的直径， ?AD?BC. 又?AB=AC, ??1=?2. ?DM?AC， 0 ??2+?4=90 ?OA=OD， C ??1=?3. 0 ??3+?4=90. 3 即OD?DM. ?DM是?O的切线 说明:证明一是通过证平行来证明垂直的.证明二是通过证两角互余证明垂直的， 解题中注意充分利用已知及图上已知. 0例4 如图，已知:AB是?O的直径，点C在?O上，且?CAB=30，BD=OB， D在AB的延长线上. 求证:DC是?O的切线 证明:连结OC、BC. ?OA=OC， 0 ??A=?1=?30. 0 ??BOC=?A+?1=60. 又?OC=OB， ??OBC是等边三角形. ?OB=BC. D ?OB=BD， ?OB=BC=BD. ?OC?CD. ?DC是?O的切线. 说明:此题是根据圆周角定理的推论3证明垂直的，此题解法颇多，但这种方法较 好. 2例5 如图，AB是?O的直径，CD?AB，且OA=OD?OP. 求证:PC是?O的切线. 证明:连结OC 2 ?OA=OD?OP，OA=OC， 2 ?OC=OD?OP， 4 OCOP . ,ODOC 又??1=?1， ??OCP??ODC. ??OCP=?ODC. ?CD?AB， 0 ??OCP=90. ?PC是?O的切线. 说明:此题是通过证三角形相似证明垂直的 例6 如图，ABCD是正方形，G是BC延长线上一点，AG交BD于E，交CD于 F. 求证:CE与?CFG的外接圆相切. 分析:此题图上没有画出?CFG的外接圆，但?CFG是直角三角形，圆心在斜边 FG的中点，为此我们取FG的中点O，连结OC，证明CE?OC即可得解. 证明:取FG中点O，连结OC. ?ABCD是正方形， ?BC?CD，?CFG是Rt? ?O是FG的中点， ?O是Rt?CFG的外心. ?OC=OG， ??3=?G， ?AD?BC， ??G=?4. ?AD=CD，DE=DE， 0 ?ADE=?CDE=45， ??ADE??CDE(SAS) 5 ??4=?1，?1=?3. 0 ??2+?3=90, 0 ??1+?2=90. 即CE?OC. ?CE与?CFG的外接圆相切 二、若直线l与?O没有已知的公共点，又要证明l是?O的切线，只需作OA?l， A为垂足，证明OA是?O的半径就行了，简称:“作垂直;证半径” 例7 如图，AB=AC，D为BC中点，?D与AB切于E点. 求证:AC与?D相切. 证明一:连结DE，作DF?AC，F是垂足. ?AB是?D的切线， ?DE?AB. ?DF?AC， 0 ??DEB=?DFC=90. ?AB=AC， ??B=?C. 又?BD=CD， ??BDE??CDF(AAS) ?DF=DE. ?F在?D上. ?AC是?D的切线 证明二:连结DE，AD，作DF?AC，F是垂足. ?AB与?D相切， ?DE?AB. ?AB=AC，BD=CD， ??1=?2. 6 ?DE?AB，DF?AC， ?DE=DF. ?F在?D上. ?AC与?D相切. 说明:证明一是通过证明三角形全等证明DF=DE的，证明二是利用角平分线的性 质证明DF=DE的，这类习题多数与角平分线有关. 0例8 已知:如图，AC，BD与?O切于A、B，且AC?BD，若?COD=90. 求证:CD是?O的切线. 证明一:连结OA，OB，作OE?CD，E为垂足. ?AC，BD与?O相切， ?AC?OA，BD?OB. ?AC?BD， 0 ??1+?2+?3+?4=180. 0 ??COD=90， O 00 ??2+?3=90，?1+?4=90. 0 ??4+?5=90. ??1=?5. ?Rt?AOC?Rt?BDO. ACOC ?,. OBOD ?OA=OB， ACOC ?,. OAOD 0 又??CAO=?COD=90， ??AOC??ODC， ??1=?2. 又?OA?AC，OE?CD, 7 ?OE=OA. ?E点在?O上. ?CD是?O的切线. 证明二:连结OA，OB，作OE?CD于E，延长DO交CA延长线于F. ?AC，BD与?O相切， ?AC?OA，BD?OB. ?AC?BD， ??F=?BDO. 又?OA=OB， ??AOF??BOD(AAS) ?OF=OD. 0 ??COD=90， ?CF=CD，?1=?2. 又?OA?AC，OE?CD， ?OE=OA. ?E点在?O上. ?CD是?O的切线. 证明三:连结AO并延长，作OE?CD于E，取CD中点F，连结OF. ?AC与?O相切， ?AC?AO. ?AC?BD， ?AO?BD. ?BD与?O相切于B， ?AO的延长线必经过点B. ?AB是?O的直径. ?AC?BD，OA=OB，CF=DF， 8 ?OF?AC， ??1=?COF. 0 ??COD=90，CF=DF， 1 ?. OF,CD,CF2 ??2=?COF. ??1=?2. ?OA?AC，OE?CD， ?OE=OA. ?E点在?O上. ?CD是?O的切线 说明:证明一是利用相似三角形证明?1=?2，证明二是利用等腰三角形三线合一证明?1=?2.证明三是利用梯形的性质证明?1=?2，这种方法必需先证明A、O、B三点共线. 此题较难，需要同学们利用所学过的知识综合求解. 以上介绍的是证明圆的切线常用的两种方法供同学们参考. 9