广义积分
第四节 广义积分 教学目的:使学生熟练掌握无穷区间上的广义积分及无界函数的广义积
分
教学重点:无穷区间上的广义积分
教学过程:
一、无穷区间上的广义积分
定义1 设函数f(x)在区间[a~ ,,)上连续~ 取b>a , 如果极限
b limf(x)dx,a,,,b
,,存在~ 则称此极限为函数f(x)在无穷区间[a~ ,,)上的广义积分~ 记作~ 即 f(x)dx,a
,,b, f(x)dx,limf(x)dx,,aa,,,b
,,这时也称广义积分收敛, f(x)dx,a
,, 如果上述极限不存在~ 函数f(x)在无穷区间[a~ ,,)上的广义积分就没有意义~ 此时f(x)dx,a
,,称广义积分发散, f(x)dx,a
类似地~ 设函数f(x)在区间(,,~ b ]上连续~ 如果极限
blimf(x)dx(a0), tedt,0
,,1,pt,pt,,,pt,,tedt,[tedt],[,tde] 解 00,,,0p
11,pt,pt,,,[,te,edt] 0,pp
11,pt,pt,,,[,te,e] 02pp
1111,pt,pt,,,,,lim[tee] , 222t,,,pppp
t1,pttelim,lim,lim,0提示: , ptptt,,,t,,,t,,,epe
,,1 讨论广义积分(a>0)的敛散性, 例3dx,pax
,,,, ,,11,[lnx],,, 解 当p,1时~ , dx,dxa ,,paaxx
,,p11, ,,1 当p<1时~ , dx,[x],,,a ,pa1,px
1,p,,a111,p ,,dx,[x], 当p>1时~ , a,pa1,pp,1x
1,pa 因此~ 当p>1时~ 此广义积分收敛~ 其值为, 当p,1时~ 此广义积分发散, p,1
二、无界函数的广义积分
定义2 设函数f(x)在区间(a~ b]上连续~ 而在点a的右邻域内无界, 取,>0~ 如果极限
b limf(x)dx,,t,ta
b存在~ 则称此极限为函数f(x)在(a~ b]上的广义积分~ 仍然记作~ 即 f(x)dx,a
bbf(x)dx,limf(x)dx, ,,,at,ta
b这时也称广义积分收敛, f(x)dx,a
b 如果上述极限不存在~ 就称广义积分发散, f(x)dx,a
类似地~ 设函数f(x)在区间[a~ b)上连续~ 而在点b 的左邻域内无界, 取,>0~ 如果极限
tlimf(x)dx ,,a,tb
b存在~ 则称此极限为函数f(x)在[a~ b)上的广义积分~ 仍然记作~ 即 f(x)dx,a
btf(x)dx,limf(x)dx, ,,,aa,tb
bb这时也称广义积分收敛, 如果上述极限不存在~ 就称广义积分发散, f(x)dxf(x)dx,,aa
设函数f(x)在区间[a~ b]上除点c(a