2012高考数学精英解“立体几何”题

- 1 - (9) 数学精英解“立体几何”题 1.(2007年湖北卷第4题)平面α外有两条直线m 和n ，如果m 和n 在平面α内的射影分别是m '和n '，给出下列四个命题: ①m '⊥n '?m ⊥n; ②m ⊥n ? m '⊥n ' ③m '与n '相交?m 与n 相交或重合; ④m '与n '平行?m 与n 平行或重合. 其中不正确...的命题个数是 A.1 B.2 C.3 D.4 【解析】D 以教室空间为长方体模型,m ',n '作地面墙根线,m,n 在墙壁上选择，易知 m '⊥n '是m ⊥n 的不必要不充分条件.故①②为假命题.m ',n '相交或平行,m,n 可以异面；故③④也是假命题. 【说明】 抽象的线线(面)关系具体化.就是寻找空间模型，长方体教室是“不需成本”的立几模型.必要时，考生还可用手中的直尺和三角板作“图形组合”. 2.(2007年北京卷第3题)平面α∥平面β的一个充分条件是 A. 存在一条直线a,a ∥α,a ∥β B. 存在一条直线a,a ,α?a ∥β C. 存在两条平行直线a,b,a ,α?β?b ,a ∥β,b ∥α D. 存在两条异面直线a,b,a ,α?β?b ,a ∥β,b ∥α 【解析】D 以考场的天花板和一个墙面作为α,β，可以找出不同的直线a,b 满足A 、B 、C 项，从而排除前三项. 【说明】教室本身是一个好的长方体模型，而我们判断线线、线面关系时用它，简捷明了. 3.(2007年湖南卷第8题)棱长为1的正方体1111ABCD A BC D -的8个顶点都在球O 的表面上,E F ，分别是棱 1AA ,1DD 的中点，则直线EF 被球O 截得的线段长为( ) A . 2 B .1 C .12 + D 【解析】D 平面11AA D D 截球所得圆面的半径 ,111EF 22 AD R EF AA D D = =?∴ 面, 被球O 截得的线段为圆面的直径,2d d r =故选D. 【说明】 相关知识点：球的组合体 (1)球与长方体的组合体: 长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长. (2)球与正方体的组合体: 正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长, 正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长. (3) 球与正四面体的组合体: 棱长为a a , . 4.(2007年全国Ⅰ第7题) 如图，正四棱柱1111ABCD A BC D -中,12AA AB =，则异面直线1A B 与1AD 所成 角的余弦值为( ) A .15 B . 25 C . 35 D .4 5 【解析】D 连接CD 1，则∠AD 1C 即是异面直线A 1B 与AD 1所成的角, 设AB =1,5 45 52255cos 1= ?-+= ∠C AD . 【说明】 找出异面直线所成的角，是问题的关键. 5.(2007年浙江卷第6题)若P 是两条异面直线l m ，外的任意一点，则( ) A.过点P 有且仅有一条直线与l m ，都平行 B.过点P 有且仅有一条直线与l m ，都垂直 C.过点P 有且仅有一条直线与l m ，都相交 D.过点P 有且仅有一条直线与l m ，都异面 【解析】B 对于选项A ，若过点P 有直线n 与l ,m 都平行，则l ∥m ，这与l ,m 异面矛盾；对于B ，过点P 与l 、m 都垂直的直线即过P 且与l 、m 的公垂线段平行的那一条直线；对于选项C ，过点P 与l 、m 都相交的直线可能没有；对于D ，过点P 与l 、m 都异面的直线可能有无数条. 【说明】 空间线线关系，找空间模型. 6.(2007年山东卷第3 题)下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是( ) A B 1B 1A 1D 1C C D ①正方体 ②圆锥 ③三棱台 ④正四棱锥 - 2 - A ．①② B ．①③ C ．①④ D ．②④ 【解析】D 正方体三个视图都相同；圆锥的两个视图相同；三棱台三个都不同；正四棱锥的两个视图相同. 【说明】 空间想象力的发挥. 7.(2007年江苏卷第4题) 已知两条直线m n ，，两个平面αβ，．给出下面四个命题： ①m n ∥，m n α α ?⊥⊥； ②αβ∥，m α?，n m n β??∥； ③m n ∥，m n α α?∥∥； ④αβ∥，m n ∥，m n αβ?⊥⊥． 其中正确命题的序号是（ ） Ａ．①、③ Ｂ．②、④ Ｃ．①、④ Ｄ．②、③ 【解析】C 对于②，在两平行平面内的直线有两种位置关系：平行或异面；对于③，平行线中有一条与平面平行，则另一条可能与平面平行，也可能在平面内. 8.(2007年全国卷Ⅱ第7题)已知正三棱柱ABC -A 1B 1C 1的侧棱长与底面边长相等，则AB 1与侧面ACC 1A 1所成角的正弦等于 (A) 4 (B) 4 (C) 2 (D) 2 【解析】A 欲求直线AB 1与侧面ACC 1A 1所成角，关键是要找到直线AB 1在平面ACC 1A 1内的射影，即要找到B 1在这个平面内的射影，根据正棱柱的性质和平面与平面垂直的性质定理易知，B 1在这个平面内的射影是 11AC 的中点D . 所以1B AD ∠就是所求. 故选A. 【说明】 若在直角三角形内的角边关系混淆，易选错为B ；若对 直线和平面所成角的概念不清，易选错为C 或D 。 9.(2007年天津卷第6题) 设a b ，为两条直线，αβ，为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（ ） Ａ．若a b ，与α所成的角相等，则a b ∥ Ｂ．若a b αβ，∥∥，αβ∥，则a b ∥ Ｃ．若a b a b αβ??，，∥，则αβ∥ Ｄ．若a b αβ⊥⊥，，αβ⊥，则a b ⊥ 【解析】D A 中，a 、b 可能平行、相交、异面； B 中，a 、b 可能平行、相交、异面； C 中a 、b 可以同时与α、β的交线平行； D 中a 、b 可以看作是α、β的法向量. 【说明】 还可以教室的一角为模型，再选择不同的墙线作为直线举反例. 10. (2007年重庆卷第3题)若三个平面两两相交，且三条交线互相平行，则这三个平面把空间分成（ ） Ａ．5部分 Ｂ．6部分 Ｃ．7部分 Ｄ．8部分 【解析】C 以点代线，以线代面，可画示意图如下： 【说明】 图直观，无须说理. 11. (2007年辽宁卷第7题) 若m 、n 是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，则下命题中的真命题．．． 是（ ） A ．若m ?β，β⊥α，则α⊥m B ．若α∩γ=m ，β∩γ=n ，m ∥n ，则α∥β C ．若m β⊥，m ∥α，则β⊥α D ．若γ⊥α，β⊥α，则γ⊥β 【解析】C A 中，直线m 与平面α的位置关系各种可能都有；B 中，平面α与β也可能相交；C 中，∵m ∥α，过m 作平面γ交平面α于m ′，则m ∥m ′. 又∵m β⊥，∴m ′β⊥. 由面面垂直的判定定理可知，β⊥α；D 中，平面β与γ也可能相交成或平行. 【说明】 本题考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系. 12. (2007年福建卷第8题) 已知m n ，为两条不同的直线，αβ，为两个不同的平面，则下列命题中正确的是 （ ） A ．m n m n ααββαβ ???，，∥，∥∥ B ．m n m n αβαβ ???∥，，∥ C ．m m n n αα?⊥，⊥∥ C B A D C 1 A D ．n m n m αα?∥，⊥⊥ 【解析】D 对于A ，当m 、n 为两条平行直线时，可知A 错误. 对于B ，m 、n 两条直线可能为异面直线，对于C ，直线n 可能在平面α内. 【说明】 本题主要考查空间中线面位置关系. 13. (2007年福建卷第10题) 顶点在同一球面上的正四棱柱ABCD A B C D ''''-中，1AB AA '==，A C ，两点间的球面距离为（ ） A ． π 4 B ． π2 C ． 4 π D ． 2 π 【解析】B 如下图所示， 设球的半径为R ，则有12 11)2(2 22=++= R ，连结AC ，连结AC ′、A ′C 交于点O ，则O 为外接球的心， 在△AOC 中，AO =OC =1，AC =2，所以∠AOC =2 π. 所以A 、C 两点间的球面距离为 2 π. 【说明】 本题考查组合体的知识. 13（2007年全国卷Ⅰ第16题）一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上．已知正三棱柱的底面边长为2，则该三角形的斜边长为 ． 略解：记题中等腰直角三角形为ABC ，A 为直角顶点，过A 平行于底面的截面为α. 若B 、C 在α同侧（图1），易证∠ABC 为锐角，不合题意； 若B 、C 在α异侧（图2），过点B 作平行于底面的截面BPQ ，依“等腰”易证CP=2AQ. 取BC 中点G ，BP 中点H ，连AG 、GH 、HQ ，可证AGHQ 为矩形，故BC=2AG=2HQ= 这个解法的关键是“猜”图，心算即可. 当然，图2中令AQ = x ，CP = 2x ，利用勾股定理得 ()()2 2222222x x +=+求解也简单. 图1 图2 只是从图形上看，似乎图1与图2没有本质的区别.这是因为作者没有注明哪个平面是α，所以看起来B 、C 都在平面α的同一边.若果然如此，分类就没有必要了. 在下关于这题的解法是： 【解析】延长MN 、CB 交于P ，连AP. 第1，可证M 为PN 的中点.：作MD ∥BC ，交CC 1于D.显然：△AMB ≌△MND.故DN=BM=CD ，即BM= 12 CN 是△PNC 的中位线，∴M 为PN 的中点. 第2，由AM 是PN 的垂直平分线可以推出△APN 是等腰直角三角形. 以下由△ABP 中BA=BP=2，ABP=120°，得AP =AN = B C A G H B C A P Q 温馨推荐 您可前往百度文库小程序 享受更优阅读体验 不去了 立即体验